1.2.1任意角的三角函数第一课时 优质公开课赛课

第1页（共2页） 1.2.1 任意角的三角函数的定义

卢氏一高 高三数学 房双波

教学目标：

（1）借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括从任意角三角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

（4）坐标定义三角函数的过程体现化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想.

教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点:任意角的三角函数概念的构建过程；三角函数中的对应关系.

教学设想：

一、创设情境

1、提问：锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

2、引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则

sinMPbOPr;cosOMaOPr;

tanMPbOMa.

3、思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？

（结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关）

显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sinMPbOP; cosOMaOP; tanMPbOMa.

4、思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以便推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数的定义.

仅供个人参考

不得用于商业用途 For personal use only in study and research;

not for commercial use

1.2.1 任意角的三角函数的定义

卢氏一高 高三数学 房双波

教学目标：

（1）借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括从任意角三角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

（4）坐标定义三角函数的过程体现化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想.

教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点:任意角的三角函数概念的构建过程；三角函数中的对应关系.

教学设想：

一、创设情境

1、提问：锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

2、引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则

sinMPbOPr;cosOMaOPr;

tanMPbOMa.

3、思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？

（结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关）

显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sinMPbOP; cosOMaOP; tanMPbOMa.

1.2.1任意角的三角函数（第一课时）

要点1任意角三角函数的定义

定义一：如图所示，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x，y)，

那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sinα＝y.

(2)x叫做α的余弦，记作cosα＝x.

(3)yx叫做α的正切，记作tanα＝yx.

定义二：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐

标为(x，y)，且OP＝r，则：

sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.

要点2三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域

sinyR1,1

R1,1R

要点3三角函数值在各象限的符号

(2)符号的记忆口诀：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正)cosy

tanyZkk,2

上正下负横为0左负右正纵为0交叉正负000

00

01

-11-1不存在

不存在高中数学资料共享群：1073631656要点4特殊角的三角函数

要点5诱导公式一角

的弧度数角

αsin

αcos

αtan360270180906045300

22323460

01012322210

10102122231

0031331不存在不存在



tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(



kkk高中数学资料共享群：1073631656题型一任意角的三角函数

例1已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的

值．【解析】r＝（－4a）2＋（3a）2＝5|a|.

若a>0，r＝5a，角α在第二象限，则sinα＝yr＝3a5a＝35，cosα＝xr＝－4a5a＝－45，tanα＝yx＝3a－4a＝－34；

若a<0，r＝－5a，角α在第四象限，

则sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.

例2已知角α的终边在直线y＝3x上，求sinα，cosα，tanα的值．【解析】因为角α的终边在直线y＝3x上，

第 1 页 共 6 页 1.2.1 三角函数线

一、教学目标：

知识与技能：

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

过程与方法：

掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

情感、态度与价值观

通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数形结合的思想方法，帮助学生形成科学的世界观、

价值观。

二．重点难点

重点：正弦、余弦、正切线的概念。

难点：正弦、余弦、正切线的利用。

三、教材与学情分析

利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

1.导入新课

思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?

思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容

第 2 页 共 6 页 的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.