2017年中考数学精学巧练备考秘籍 第5章 图形的性质 第32课时 与圆有关的位置关系

【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 （ ）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为 （ ）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 （ ）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题 第3题 第4题 第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为 （ ）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。

与圆有关的位置关系班级 姓名 日期 【复习目标】1.掌握点与圆、直线与圆的位置关系；2．掌握切线的概念，探索切线的性质与判定；能判定一条直线是圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，以及切线长定理的应用与内切圆。

【重点难点】 直线与圆的位置关系及应用 【课前热身】1.如图：矩形ABCD 中，AB=3，AD=4 （1） 以A 为圆心，AD 为半径画圆；（2）点B 在⊙A 的 部，点C 在⊙A 上 部。

2.⊙O 的直径为10，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ． 相交 B ． 相切 C ． 相离 D ． 无法确定3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C ．D ．4. 如图，在△ABC 中，点O 是内心，（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°, 则∠BOC = °（2）若∠A=50°， 则∠BOC = °5.线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，点D 在⊙O 上，连接AD 、BD ，若BD 是⊙O 的切线30A ∠=，则∠B=6.直角三角形的良直角边长为3和4，则它的外接圆半径为 ，内接圆半径为 。

7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 平分∠DAB 交⊙O 于点C ， AD ⊥DC ． (1) 求证：CD 是⊙O 的切线； (2) 若AD ＝2，AC ＝4，求AB 的长PAP【知识梳理】圆心到直线的距离3.（1 （24．已知PA 、PB 结论有 。

【例题教学】例1.如图， Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tan 2C DE =，求AD 的长．例2.如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，弦AE 与CD 交于F ，则有结论AD 2=AE·AF 成立(不要求证明)．(1)若将弦CD 向下平移至与⊙O 相切于B 点时，如图2，则AE ．AF 是否等于AG 2?如果不相等，请探求AE·AF 等于哪两条线段的积?并给出证明．D(2)当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由【课堂检测】1.已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线AB 的距离是3，则直线AB 与⊙O 的位置关系是 .2.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,BD=OB,∠CAB=30°,•请根据已知 条件和所给图形,写出三个正确的结论(除AO=OB=BD 外)•:• ①____________;•②______________;③____________. （选择一个给予证明）3.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ， 点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与⊙O相切；（2）若⊙O 3DE =，求AE ．4.如图：在△ABC 中，∠ACB=Rt ∠，以OC 为半径的⊙O 切AB 于点D ，若AD=3,B D=2．（1） 求BC的长（2） 求⊙O的半径．5如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．（１）当点P 在⊙A 上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.【课后巩固】1.P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sinP2.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板， 他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm ，则此光盘的直径是_____cm. 3.正三角形内切圆与外接圆半径的比为 ，正六边形内切圆与外接圆半径的比为 。

34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质 例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（ ）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（ ）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为 ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为 ．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（ ）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。

考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
思想方法
本题考查了切线的性质及等腰三角形的性质与判定， 而解答本题的关键是利用切线的性质得出∠OAC＝90°.
考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
热考四 圆的切线的判定应用
例 4 [2013· 延庆一模] 如图 32－2，AB 是⊙O 的 直径，AC 和 BD 是它的两条切线，CO 平分∠ACD. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AC＝2，BD＝3，求 AB 的长．
考点聚焦
京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
思想方法
数形结合思想——与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系主要有两个方面， 即点和圆的位置 关系、直线和圆的位置关系．充分强调了数(数量关系)形(位 置关系)结合思想，而在处理“与圆有关的位置关系”时， 我们就可以充分利用数形结合的思想，对圆心与点的距离、 圆心与直线的距离与相应的半径进行比较， 巧用数形结合思 想处理“与圆有关的位置关系”．
第32课时 与圆有关的位置关系
第32课时┃与圆有关的位置关系
考 点 聚 焦
考点1 点和圆的位置关系
d＞r d＝r d＜r
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京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
考点2 直线和圆的位置关系
d＜r d＝r d＞r
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考点3 圆的切线的性质与判定
垂直 切点 圆心 唯一 半径
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京考探究
第32课时┃与圆有关的位置关系
解：(1)证明：过 O 点作 OE⊥CD，垂足为 E.
∵AC 是切线，∴OA⊥AC. ∵CO 平分∠ACD，OE⊥CD， ∴OA＝OE， ∴CD 是⊙O 的切线．