2012高二数学会考专题辅导练习：专题二十 等比数列

等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1，，若数列 { a n }的前 n 项和为 S n 2013），则 S 的值为（A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1=，a 1= ，则 a 2017=（ ）A.B.C.D.3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334. 已知正项数列 { a n } 满足，若 a 1=1，则 a 10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295. 若数列{a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（）A. 2B.C. -1D. 20186. 已知等差数列 { a n n 6 37 ）} 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（A. 49B. 42C. 35D. 287. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2-10x+16=0 两根，则a 2+a 1007+a 2012=（） A. 10B. 15C. 20D. 408. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5，则 k=（）A.2B.3C.4D.59.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么a n=______．3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______．4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n=______．5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n= } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N______ ．6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ．7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．三、解答题1.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列 { a n} 是首项为 23，第 6 项为 3 的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差 d；（Ⅱ）设此等差数列的前 n 项和为 S n，求 S n的最大值；（Ⅲ）当 S n是正数时，求 n 的最大值．3.已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { S n} 的前 n 项和 T n．4.已知数列 { a n} 具有性质：① a1为整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若 a1=64，求数列 { a n} 的通项公式；（2）若 a1，a2，a3成等差数列，求 a1的值；（3）设（m≥3且 m∈N），数列 { a n n} 的前 n 项和为 S ，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】 ( 选择题解析在后面 )1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C 9. B 10. D12. 2n 13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. - 17. 18. 8119.解：（ 1）当 n=1，a1= ，当 n＞1，S n+ a n=1，S n-1+ a n-1=1，∴a n- a n-1 =0，即 a n= a n-1，数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，∴a n= ．（2）S n=1- a n=1-（）n，∴bn=n，∴==-，∴=1-+-+ +- =1- = ．20. 解：（Ⅰ）由 a1=23，a6=3，所以等差数列的公差 d= ；（Ⅱ）= ，因为 n∈N*，所以当n=6 时 S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得 0＜n＜．因为 n∈N*，所以 n 的最大值为 12．21.解：（Ⅰ）列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n=2a n-2①．则： S n+1=2a n+1-2②，②-①得： a n+1=2a n，即：（常数），当 n=1 时， a1=S1=2a1-2，解得： a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- -2，=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，，，，，a9=0，，即{ a n} 的前 7 项成等比数列，从第8 起数列的项均为 0．（2 分）故数列 { a n} 的通项公式为．（ 4 分）（2）若 a1=4k（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知即 2 （2k ）=k+4k，解得 k=0，故a1=0；若 a1=4k+1（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k）=（4k+1）+k，解得 k=-1，故 a1=-3；（ 7 分）若 a1=4k+2（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+2）+k，解得 k=0，故 a1=2；若 a1=4k+3（k∈Z）时，，，由 a1，a2，a3成等差数列，可知 2（2k+1）=（4k+3）+k，解得 k=-1，故 a1=-1；∴a1的值为 -3 ，-1，0，2．（ 10 分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则 a k是奇数，从而，可得当 3≤n≤m+1 时，成立．（ 13 分）又，a m+2=0，故当 n≤m 时， an＞0；当≥（ 15 分）n m+1 时， a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为 a1+a2++a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3 -1）+ +（21-1）=（2m+2m-1+2m-2++21）-m-3=2m+1-m-5，故．（18分）1. 解：∵数列 { a n} 满足 a1=a2=1，，∴从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为a3n-2a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =cos（2nπ- ）=cos（- ）=cos =-cos =- ，∵2013 ÷3=671，即 S2013正好是前 671 组的和，∴S2013=- ×671=-．故选 D．由数列 { a n 12} 满足 a =a=1，，知从第一项开始， 3 个一组，则第 n 组的第一个数为 a3n-2，由a3n-2 +a3n-1+a3n=cos =- ，能求出 S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n 项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴- =1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为 1．∴=2+2016=2018．则 a2017= ．故选： C．a n+1=，a1=，可得- =1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2 ×2016+1=2由 a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵2 2，∴a n+1 -2a n a n+1 +a n =9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或 a n+1-a n=-3，∵{ a n} 是正项数列， a1=1，∴a n+1-a n=3，即 { a n} 是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选 B．由递推式化简即可得出{ a n} 是公差为 3 的等差数列，从而得出 a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列 { a n} 满足： a1=2，a n+1=，则a2== ，a3= =-1a4==2a5= = ，a6= =-1．a7==2．故选： A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6.解：∵等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选： B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n 项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程 x2-10x+16=0 的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选： B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10 是关键．8. 解：已知数列 { a n} 的前 n 项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1 满足 a n，∴a n=2n-4，∵它的第 k 项满足 2＜a k＜5，即 2＜2k-4＜5，解得 3＜k＜4.5，因为 n∈N，∴k=4，故选 C；先利用公式 a n=求出 a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k 的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9.解：∵a k=a1+a2+a3+ +a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差 d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选 B由已知 a k=a1+a2+a3++a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10.解：由等差数列的性质可得： 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即 a1+a11=6．则 S11=×=11 3=33．故选： D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.解：由 S n=n2+n，得a1=S1=2，当 n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[ （n-1）2+（n-1）]=2n．当 n=1 时上式成立，∴a n=2n．故答案为： 2n．由数列的前 n 项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得 a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是基础题．13.解：由 = （n∈N*），可得 a2n+1=a n?a n+2，∴数列{ a n} 为等比数列，∵a1=1，a2= ，∴q= ，∴a n= ，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{ a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14.解：∵对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，∴取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，∴数列 { a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列 { a n} 前 10 项的和 S10= =-110．故答案分别为： -6；-110．对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，取 m=1，则 a n+1-a n=a1=-2，可得数列 {a n} 是等差数列，首项为 -2，公差为 -2，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列 { a n}中，由，可知数列是公差为 2 的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1） =2n-1；由，可知数列是公比为 2 的等比数列，又a1=1，∴．故答案为： 2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为 2 的等差数列，由，可知数列是公比为 2 的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16.解：由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得 a n-a1=1- = ，∵a1=-1，∴a n=- ，故答案为 - ．由题意， a n+1-a n= - ，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），可知数列 { } 是等差数列，首项为，公差为：5．可得 = +5（n-1），解得 a n═．故答案为：．判断数列 { } 是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18.解：等差数列 { a n} 中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列 { a n} 前 9 项的和：．故答案为： 81．根据等差数列项的性质与前n 项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n 项和公式的应用问题，是基础题目．19.（1）根据数列的递推公式可得数列 { a n} 为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得 b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20.（1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前 n 项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由 S n＞0，且 n∈N*列不等式求解 n 的值．本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21.（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用．22. （1）由，可得{ a n}的前7项成等比数列，从第8 起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n} 的通项公式即可；（2）对 a1进行分类讨论：若 a1=4k（k∈Z）时；若 a1=4k+1（k∈Z）时；若 a1=4k+2（k∈Z）时；若 a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出 a1的值；（3）由（m≥3），可得 a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当 3≤n≤m+1 时，成立，又当 n≤m 时，a n＞0；当 n≥m+1 时，a n=0．故对于给定的 m，S n的最大值为 2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。

考点24 等比数列及其前n 项和一、选择题1.（2012·新课标全国高考理科·T5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）（A ）7 (B)5 (C)-5 (D)-7【解题指南】利用等比数列的性质将56a a 替换为47a a ，然后联立方程组求得47,a a 的值，最后将47,a a 及公比q 的值整体代入110a a +求出其值. 【解析】选D.{}n a 为等比数列，∴5647a a a a =8=-，联立312q ∴=-或32q =-，故34110737a a a a q q +=+⋅=-.2.（2012·安徽高考理科·Ｔ4）公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7【解题指南】由等比数列的性质得到311a a ⇒311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得.【解析】选B .23311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=.3.（2012·安徽高考文科·Ｔ5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ）（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8【解题指南】由等比数列的性质得到31116a a =⇒3117710721016432log 5a a a a a a q a =⇔⇔=⇒=⨯=⇔=，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得.【解析】选A .4.（2012·北京高考文科·Ｔ6）已知{n a }为等比数列，下面结论中正确的是（ ） （A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2221322a a a +≥ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2 （D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 【解题指南】利用等比数列的基本量和均值不等式进行计算. 【解析】选B. 选项 具体分析结论 A 13,a a 不一定都是正数，所以不一定能使用均值不等式不正确 B 因为22130,0a a >>，所以由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥= 正确 C 由13a a =可得1q =±，当1q =时，12a a =；当1q =-时，21a a =-.不正确D因为4321,a a q a a q ==，所以当0q >时，42a a >；当0q <时，42a a <. 不正确5.（2012·湖北高考理科·Ｔ7）与（2012·湖北高考文科·Ｔ7）相同 定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x ）=x²；②f（x ）=2x ；③；④f（x ）=ln|x |，则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） (A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④【解析】选 C. 1n na q a +=,则对于①:可知①符合题意;对于B 111()22()2n n nn a a a n a n f a f a ++-+==结果不能保证是定值;对于③:11()()n n n nf a a qf a a ++==,可知也符合题意.此时可知结果.二、填空题6.（2012·广东高考文科·Ｔ12）若等比数列{a n }满足241,2a a =则2135a a a =.【解题指南】本题考查了等比数列的性质：已知,,,m n p N *∈若2,m n p +=则2m n p a a a ⋅=.【解析】224311,22a a a =∴=，24135314a a a a ∴==. 【答案】147. （2012·浙江高考理科·Ｔ13）设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q=______________.【解题指南】两式作差可由前n 项和间的关系得出项与项之间的关系，从而用等比数列的通项公式求出公比.【解析】由S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2相减可得，344233a a a a +=-，同除以2a 可得，2230q q --=，解得312q q ==-或，因为q ＞0，所以32q =．【答案】328.（2012·辽宁高考文科·Ｔ14）已知等比数列｛n a ｝为递增数列.若10a >,且212()5n n n a a a +++= ,则数列｛n a ｝的公比q = _____________________.【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可.【解析】由于{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由212()5n n n a a a +++=得111112()5n n na qa qa q-++=，解得12q =或2q =.由于等比数列{}n a 为递增数列且10a >，所以2q =. 【答案】29.（2012·辽宁高考理科·Ｔ14）已知等比数列｛n a ｝为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛n a ｝的通项公式n a =______________.【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可.【解析】由于{}n a 为等比数列，设其公比q ， 由212()5n n n a a a +++=得111112()5n n na q a qa q-++=，解得12q =或2q =.又由2429510111()a a a q a q a q=⇒=⇒=，则10a >，由于等比数列{}n a 为递增数列且10a >，所以2q =，且12a =. 故112n nn a a q -==.【答案】2n10.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ14）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若3S +32S =0，则公比q=_______.【解题指南】 将所给等式转化为关于1,a q 的方程，消去1a ，解关于q 的方程，求出q. 【解析】由323S S =-可得()123123a a a a a ++=-+，即()()211131a q q a q ++=-+，化简整理得2440q q ++=，解得2q =-.【答案】-211.（2012·江西高考文科·Ｔ13）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，公比不为1.若1a =1，且对任意的n N ,*∈都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=______________.【解析】设公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1-2a n ＝1111120n n n a q a q a q +-+-=，即220q q +-=，解得2,1q q =-=（舍去），所以()()55121112S --==--.【答案】11 二、解答题12.（2012·福建高考理科·Ｔ13）已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.【解题指南】运用等比数列的定义设边，运用余弦定理求解．【解析】依次设三边为,2a a (a>0)，则最大边为2a ，最大角的余弦值为222cos 4θ==-.【答案】4-13.（2012·陕西高考文科·Ｔ16）已知等比数列{}n a 的公比为12q =-.（1）若314a =，求数列{}n a 的前n 项和.（2）证明：对任意k N +∈，ka ，2k a +，1k a +成等差数列.【解题指南】（1）求出等比数列的首项是关键.（2）用首项和公比表示21,,k k k a a a ++，再根据等差数列的定义证明. 【解析】（1）∵314a =，12q =-，∴2111144a q a ==14，解得11a =， ∴数列{}n a 的前n 项和11[1()]211()2n n S ⨯--=--1112()2112()3332n n --+-==+⋅-.（2）对任意k N +∈，1111121,,k k k k k k a a q a a q a a q -+++===， ∴11211112()2()k k k k k k a a a a q a q a q +-++-+=-+121(21)k a q q q -=--.∵12q =-，∴2211212()()1022q q --=⨯----=，即212()0k k k a a a ++-+=，∴212k k k a a a ++=+，∴对任意k N +∈，k a ，2k a +，1k a +成等差数列. 14.（2012·陕西高考理科·Ｔ17）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且534,,a a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的公比.（2）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q （0,1q q ≠≠）， 由534,,a a a 成等差数列，得3542a a a =+，即2431112a qa q a q =+，由10,0a q ≠≠得220q q +-=，解得12q =-，21q =（舍去），所以12q =-.（2）（方法一） 对任意k N +∈，21212()()k k k k k k k S S S S S S S +++++-=-+-121k k k a a a +++=++112(2)0k k a a ++=+⋅-=，所以对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列. （方法二）对任意k N +∈，12(1)21k k a q S q-=-， 212111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q++++++----+=+=---，∴2111212(1)(2)2()11k k k k k k a q a q q S S S q q++++----+=--- 211[2(1)(2)]1k k k a q q q q++=-----21(2)01k a q q q q =+-=-，因此，对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列.。

高二数学必修五《等比数列》专项练习题参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n－2． 14.251+．．16.123-n ．三、解答题： 17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列． (2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －1 18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④ ∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63① ②20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2) ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)。

高二数学等比数列习题高二数学等比数列习题：一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件【答案】B【分析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480【答案】C【分析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1D.2【答案】C【分析】∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f是概念在R上恒不为零的函数，对任意实数x,yR,都有ff=f,若a1= ,an=f,则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］【答案】C【分析】因f=ff,则an+1=a1an= an，数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.an=n.Sn= =1-n.∵nN*, Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是A. B.C. D. 或【答案】B【分析】∵a3=a2+a1,q2-q-1=0,q= ，或q= ..6.在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为A.32B.64C.64D.256【答案】B【分析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.假如P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S和n表示P，那样P等于A.（SSB.C.nD.【答案】B【分析】设等比数列的首项为a1,公比q（q1）则P=a1a2an=a1n ,S=a1+a2++an= ,S= ++ ,=; font-family: arial, 宋体, georgia, verdana, helvetica, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 22px;" />当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】384【分析】易知q1，由S5= =93及 =186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=327=384.9.在数列{an}中，Sn=a1+a2++an,a1=1,an+1= Sn,则an=【答案】（）n-2【分析】∵an+1= Sn,an= Sn-1.①-②得,an+1-an= an,.∵a2= S1= 1= ,当n2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc也成等比数列③若{an}的通项an=cbn-1,则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】②④【分析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap,a3=ap2, ,故②④不正确，①③⑤均可用概念法判断正确.三、解答卷（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为什么值时，数列{an}的前n项和Sn 大于数列{bn}的前n项和Sn.证明：∵ =q,为常数，则{bn}是等比数列.【分析】Sn=a1+a2++an= ,Sn=b1+b2++bn= ,当Sn＞Sn时，.又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,,即qn＞q7,n＞7,即n＞7时，Sn＞Sn.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,,an,,架构一个新数列：a1,,,,,此数列是首项为1，公比为的等比数列.求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【分析】由已知得an-an-1=n-1,a=1,an=a1++++= ［1-n］.Sn=a1+a2+a3++an= - ［ +2++n］= - ［1-n］= n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.求数列{cn}的前n项和Sn.是不是存在nN*,使得成立？请说明理由.【分析】由已知得an=a1qn-1=2n.cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2++cn= =-n2+10n.假设存在nN*,使得即 .22n+32n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n2,故没有nN*满足 .14. 已知函数f= ,x,数列{xn}满足xn+1=f,,且x1=1. 设an=|xn- |,证明：an+1＜an;设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ . 证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f- |= .∵xn＞0,an+1＜|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.由（1）的证明过程可知an+1＜|xn- |＜2|xn-1- |＜＜n|x1- |=n+1Sn=a1+a2++an＜|x1- |+2++n =+2++n= ［1-n］＜ .。