第26讲平面图形面积2009

第26讲 面积和旋转体积的计算
讲授内容
一、平面图形的面积
1.直角坐标
由连续曲线()()0≥=x f y ，以及直线()b a b x a x <==,和x 轴所围曲边梯形的面积为
().⎰⎰==b
a b
a y d x dx x f A 如果()x f 在[]
b a ,上不都是非负的，则所围图形的面积为
().⎰⎰==b
a b a dx y dx x f A
一般地，由上、下两条连续曲线()x f y 2=与()x f y 1=以及两条直线a x =与()b a b x <=所围的平面图形(图10-1),它的面积计算公式为
()()[
].12⎰-=b
a dx x f x f A （１）
例1求由抛物线x y =2与直线
032=--y x 所围平面图形的面积A .
解：该平面图形如图10－２所示，先求出抛物线与直线的交点()1,1-P 与()3,9Q 。

用1=x 把图形分为左、右两部分，应用公式（１）分别
求得它们的面积为
()[
]
,3421
01
1=
=--=⎰⎰dx x dx x x A .328
23912=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎰dx x x A
所以3
3221=
+=A A A . 本题也可把抛物线方程和直线方程改写成()()[].3,1,32,212-∈=+===y y g y x y g y x 并改取积分变量为y ，便得()()[]().3
32323
1
2
3
112=-+=-=
⎰⎰--dy y y dy y g y g A 2.参数方程
设曲线C 由参数方程()()[]βα,,,∈==t t y y t x x 给出，在[]βα,上()t y 连续，()t x 连续可微且()0'≠t x （对于()t y 连续可微且()0'≠t y 的情形可类似地讨论）。

记()()βαx b x a ==,（b a <或a b <），则由曲线
C 及直线b x a x ==,和x 轴所围的图形，其面积计算公式为
()().'⎰=β
αdt t x t y A (2)
例２ 求由摆线()()()0cos 1,sin >-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴
所围平面图形的面积。

例３ 求椭圆122
22=+b
y a x 所围的面积。

3. 极坐标
设曲线C 由极坐标方程()[]βαθθ,,∈=r r 给出，其中()θr 在[]βα,上连续，παβ2≤-。

由曲线C 与两条射线βθαθ==,所围成的平面图形，通常也称为扇形。

此扇形的面积计算公式为
().212
⎰=
βα
θθd r A （3） 可由定积分的基本思想而得，如图10-5
所示，对区间[]βα,作任意分割
,:110βθθθθα=<<<<=-n n T
射线()1,,2,1-==n i i θθ把扇形分成n
个小扇形。

由于()θr 是连续的，因此当T 很小时，在每一个[]i i i θθ,1-=∆上()θr 的值变化也很小。

任取
i i ∆∈ξ，便有()().,,2,1,,n i r r i i =∆∈≈θξθ这时，第i 个小扇形的面积(),2
12i i i r A θξ∆≈∆于是
(),2
1
12∑=∆≈n
i i i r A θξ由定积分的定义和连续函数的可积性，当0→T 时，上式右边的极限即为公式（3）.
例4 求双纽线θρ2cos 22a =所围平面图形的面积. 解：由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14A A =
θθπ
d a A 2cos 2
144
2
⎰
=.2a = 例5 求心形线)cos 1(θ+=a r 所围平面图形的面积)0(>a .
θθd a dA 22
)cos 1(2
1+=
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
最基本的旋转体是由连续曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体。

取积分变量为x ，],[b a x ∈，在],[b a 上任取小区间],[dx x x +，取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dx x f dV 2
)]([π=，于是旋转体的体积为
dx x f V b
a
2)]([⎰=π
类似地，如果旋转体是由连续曲线)(y x ϕ=、直线c y =、d y =及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，体积为⎰
=
d
c
V π dy y 2)]([ϕ
y o
x
dx
x +)
(x f y =
例 6 直线r
y x h
=、h x =及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋转构成圆锥体，计算圆锥体的体积．
解：取积分变量为x ，],0[h x ∈，小区间],[dx x x +，体积元素为dx x h r dV 2
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=π，圆锥体的体积
dx x h r V h
2
0⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰π.32
hr π=
例7 求椭圆122
22=+b
y a x 绕x 轴旋转一周的体积。

解：
例8 推导球体的体积33
4V r π= 解：。