-流体力学基本方程

提示：假定流动是一维的，不计横向的变化。
习2-如图所示，设 平面的倾角已知。 试求出水的射流作 用在斜面上的力。 此力垂直于平面。 射流：入口，出口 处的压力，均为大 气压。 依伯努利方程，如 果认为高度一致， 则有入口及出口处 速度大小相等。
思路：选取控制体；选定坐标轴； 确定动量方程的左右两端。
§4-5
能量守恒原理
能量守恒定律可表述为：系统内，单位时间外力作功和
流入系统的热量之和等于系统总能量的变化率。
Q W ( dE )系统 dt
能量守恒原理是针对封闭物质系统而言的。开放物质 系统能量的变化取决于它和环境的相互作用。若一个系统 和它的环境有力的作用，则总能量变化指动能和内能之和的变
0 r , p0 r , 0 r , T0 r 为已知函数。

（2）边界条件
边界条件是指流体运动的边界上方程组的解应满足的条件。 a) 无穷远条件：在无限大的流场中，无穷远处的 边界条件为无穷远处的相应的流动参数值。
r 时 v v , p p , ,T T
习3-设水从导管上 1/8in的夹缝中水平 地流出，如图所示。 总流量为1ft3/sec， 速度呈线性变化， 一端有最大值，一 端为零。试求出从 夹缝流出的流体对 垂直导管管轴的力 矩。
作业：汪 P65-5.6.12, 共计3题。
定常流动，不可压缩
质量守恒
动量方程
Q1 Q2 , v1 A1 v2 A2
div(v ) 0
Q(v2 x v1 x ) Fx
Q(v2 y v1 y ) Fy Q(v2 z v1 z ) Fz
对于Q而言，流出为正，流入为负；对于v而言，与 坐标轴方向相同为正，相反为负；

（7）
du ρ − ρ f − divP δτ = 0 ∫∫∫ dt τ 其中P是应力张量，则， du ρ = ρ f + divP dt
∂ Pij du i ρ = ρfi + dt ∂x j
2011-12-1
（8） （9） （10）
----------微分形式的动量方程。
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2 微分形式的连续方程 据输运公式， d Φ dτ
dt
∫∫∫ τ
=
∫∫∫ τ
∂Φ + div (Φ u ) d τ ∂t
（1）式变为：
∂ρ + div(ρu )dτ = 0 ∫∫∫ ∂t τ
（3）
假设被积函数连续,
τ 任意,则被积函数一定为0,于是
（4a）
控制体
τ
d 1 ∫∫∫ Φdτ = lim ∫∫∫ [Φ(r , t + ∆t ) − Φ(r , t )]dτ + ∫∫∫ Φ(r , t + ∆t )dτ dt τ ∆t →0 ∆t τ (t ) ∆τ
4)式的意义: 体积分(1)的变化由两部分组成,右边第一 项表明 Φ 随 t 变化而引起,第二项代表由于流体体积改 变了 ∆τ 后所引起的参量变化,显然4)式右边第一项为: ∂Φ ∫∫∫ ∂t dτ （5） τ 再看4）式右边第二项： 因为： 于是：
d 1 ρ e + 2 u i u i = ρ dt
( )
i
∫∫ qi ni ds = ∫∫∫
s
∂ qi
τ ∂ xi
dτ
f u
+ i
∂ ∂
x
(u

动能:Eu=mu2/2=Vρu2 /2 总能量: Vρgz+ pV+ Vρu2 /2 =C1
两边同除以Vρg，
动能-压力能：测速计 势能-动能：倒水，虹吸 动能-势能：喷泉
z+ p/ρg+ u2/2g=C
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3.实际液体的伯努力方程1
z1

p1
g

u12 2g
(3-19)

z2

p2
g

u22 2g
s s s t
这就是理想液体的运动微分方程，也称液流的欧拉方程
13
2.理想液体的伯努力方程1
要在图3-10所示的一段微流 束上，寻找它各处的能量关 系 ， 将 式 (3-10) 的 两 边 各 乘 上ds，并从流线s上的截面1 积分到截面2，即
2
1
g
z s

1

p s
5. 如 图 所 示 ， 液 压 泵 输 出 的 流 量
A1
qp=0.5L/s，全部进入液压缸，液压 缸 大 腔 截 面 积 A1=2000mm2 ， 小 腔 截 面 积 A1=1000mm2 ， 进 、 回 油 管 直径d=10mm。求活塞的运动速度，
进、回油管中油液的流速。
qp
A2
v
d
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当容器没有惯性加速度，即当液 体仅受重力作用时，则
j cos gz / s 质量力为 dsdAgz / s
这一微元体积的惯性力为
ma dAds du dAds u ds u dAds u u u
dt
s dt t
Q1
q A udA
在过流截面上各点的流速是不相等的。

2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
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欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
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2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0