[理学]流体力学 第4章-基本方程
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流体力学第4章9
2014-10-1
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通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
2014-10-1 11
第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
2014-10-1 31
2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
(完整版)流体力学重点概念总结
第一章绪论表面力：又称面积力，是毗邻流体或其它物体，作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面积成比例。
剪力、拉力、压力质量力：是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
重力、惯性力流体的平衡或机械运动取决于：1.流体本身的物理性质（内因）2.作用在流体上的力（外因）流体的主要物理性质：密度：是指单位体积流体的质量。
单位：kg/m3 。
重度：指单位体积流体的重量。
单位： N/m3 。
流体的密度、重度均随压力和温度而变化。
流体的流动性：流体具有易流动性，不能维持自身的形状，即流体的形状就是容器的形状。
静止流体几乎不能抵抗任何微小的拉力和剪切力，仅能抵抗压力。
流体的粘滞性：即在运动的状态下，流体所产生的阻抗剪切变形的能力。
流体的流动性是受粘滞性制约的，流体的粘滞性越强，易流动性就越差。
任何一种流体都具有粘滞性。
牛顿通过著名的平板实验，说明了流体的粘滞性，提出了牛顿内摩擦定律。
τ=μ(du/dy)τ只与流体的性质有关，与接触面上的压力无关。
动力粘度μ：反映流体粘滞性大小的系数，单位：N•s/m2运动粘度ν：ν=μ/ρ第二章流体静力学流体静压强具有特性1.流体静压强既然是一个压应力，它的方向必然总是沿着作用面的内法线方向，即垂直于作用面，并指向作用面。
2.静止流体中任一点上流体静压强的大小与其作用面的方位无关，即同一点上各方向的静压强大小均相等。
静力学基本方程: P=Po+pgh等压面：压强相等的空间点构成的面绝对压强：以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强 Pabs相对压强：以当地大气压为基准起算的压强 PP=Pabs—Pa（当地大气压）真空度：绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值 PvPv=Pa-Pabs= -P测压管水头：是单位重量液体具有的总势能基本问题：1、求流体内某点的压强值：p = p0 +γh；2、求压强差：p – p0 = γh ；3、求液位高：h = （p - p0）/γ平面上的净水总压力：潜没于液体中的任意形状平面的总静水压力P，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc之积。
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
25
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
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2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
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[理学]流体力学 第4章-基本方程
dt V r,t 应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方 程可表述为：
控制体净输出
的动量矩流量
控制体内的动 量矩变化率
作用于控制 体的总力矩
(r )
( A)
dA
t
V
(r
)
dV
M
24/57
角动量方程 推导
应力张量就是对称的 zy yz , xz zx , yx xy
7/57
质量守恒定律 推导
质量守恒原理指 物体质量在运动中保 持不变，换言之，物 体质量随时间的变化 率为零。
如右图所示，在 考察的物质系统内， 围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
8/57
质量守恒定律 推导
对于系统，由质量守恒定律有：
d dV 0
dt V r ,t
取如右图所示系 统，函数 (r, t) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
图3.1 流体实体容积
4/57
输运定理
推导
r,t dV r,t dV
V r,t t
V r ,t t
d
dV
lim
1
r, t t dV r,t dV
0
质量守恒定律的微分形式：
t
div v dV
0
div 0
t
或 grad div 0
t
对不可压缩流体， 0 ，则方程简化为
t
divv 0
11/57
质量守恒定律
柱坐标形式
控制体净输出
的动量矩流量
控制体内的动 量矩变化率
作用于控制 体的总力矩
(r )
( A)
dA
t
V
(r
)
dV
M
24/57
角动量方程 推导
应力张量就是对称的 zy yz , xz zx , yx xy
7/57
质量守恒定律 推导
质量守恒原理指 物体质量在运动中保 持不变，换言之，物 体质量随时间的变化 率为零。
如右图所示，在 考察的物质系统内， 围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
8/57
质量守恒定律 推导
对于系统，由质量守恒定律有：
d dV 0
dt V r ,t
取如右图所示系 统，函数 (r, t) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
图3.1 流体实体容积
4/57
输运定理
推导
r,t dV r,t dV
V r,t t
V r ,t t
d
dV
lim
1
r, t t dV r,t dV
0
质量守恒定律的微分形式：
t
div v dV
0
div 0
t
或 grad div 0
t
对不可压缩流体， 0 ，则方程简化为
t
divv 0
11/57
质量守恒定律
柱坐标形式
流体力学中的理论模型
流体力学中的理论模型引言流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，是物理学的一个重要分支。
在流体力学中，理论模型是研究和解决流体问题的基础。
理论模型的建立可以帮助我们理解和预测流体行为，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍流体力学中常用的一些理论模型及其应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述不可压缩流体力学的基本方程之一。
它是从质量守恒和动量守恒的原理出发推导而来。
欧拉方程可以用来描述流体的运动速度和压力分布。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mathbf{g}$$其中，$\\mathbf{v}$表示速度矢量，t表示时间，$\\rho$表示流体密度，p表示压力，$\\mathbf{g}$表示重力加速度。
欧拉方程的应用非常广泛，例如在航空航天领域中用于计算飞行器的气动力、在水力工程中用于设计水电站的水轮机等。
二、雷诺方程与欧拉方程相对应的是雷诺方程，它是描述可压缩流体力学的基本方程之一。
雷诺方程是通过在欧拉方程中引入粘性效应而得到的。
其基本形式如下：$$\\frac{\\partial \\mathbf{v}}{\\partial t} + (\\mathbf{v} \\cdot \abla)\\mathbf{v} = -\\frac{1}{\\rho}\ abla p + \\mu \ abla^2 \\mathbf{v} +\\mathbf{g}$$其中，$\\mu$表示动力粘度。
雷诺方程可以用于研究流体的湍流行为和边界层分离等问题。
它在航空航天、汽车工程、海洋工程等领域中都有重要应用。
三、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述不可压缩流体力学的基本方程。
它是通过在欧拉方程中引入粘性效应并考虑不可压缩条件得到的。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学基本方程
微分形式的能量方程
D Dt
1 e u u dv u pn ds u fdv n qds 2 V S V S Fra bibliotek
第二雷诺输运定理
高斯定理
D Dt
S
V
e u u dv
1 2
duy 1 p yy 1 xy zy fy x dt y z
duz 1 pzz 1 xz yz fz dt z x z
2.3
能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
1 系统总能量， e u u dv，
单位质量流体的动能 1 u u 2 Wp pnv dS W t t dS 表面力作功功率， S S
2.2
动量守恒定理
微分形式的动量方程
D udv pn ds fdv V S V Dt
D udv Dt V
Du dv Dt V
n σ ds σ dv
S
pn n σ
Du dv σ dv fdv Dt V V V
2.3
能量方程
微分形式的能量方程
v2 v2 1 1 e1 v e1 f v v khT t 2 2
或写为：
2 d v 1 1 e1 f v v khT dt 2
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
流体力学-04-1 积分形式的基本方程
4 控制体积分形式的基本方程控制体积分形式的基本方程44控制体分析法建立控制体方程的22种方法建立控制体方程的•从控制体上基本定律的文字表述入手，进而获得基本定律的数学表达式。
•建立一个通用的公式来描述质量、动量、角动量、建立个通用的公式来描述质量动量角动量，当然，这热力学能、熵等五大定律的五个基本量，热力学能熵等五大定律的五个基本量当然这热力学能、熵等五大定律的五个基本量也可以节省计算空间和时间。
流线方程4-1系统的基本方程1.1 质量守恒定律质量守恒定律4-1.1M是常数写成变化率的形式系统的质量M 是常数，写成变化率的形式1.2 牛顿第二定律牛顿第二定律-1.24 1.2写成变化率的形式：惯性坐标系中运动的成变化率的形式惯性坐标系中运动的系统作用于系统上所有的外力等于系统动系统，作用于系统上所有的外力等于系统动量随时间的变化率动量矩定理1.3 动量矩定理4 1.3-13角动量的变化率等于作用于系统上的所有外力距之和，或者说，系统所受的合外力矩为零时，其角动量保持不变。
热力学第热力学第定律4-1.4热力学第一定律变化率的形式：系统从环境吸热，传热速率为正值；环境对系统做功时，做功速率为正值。
时做功速率为正值热力学第二定律1.5 热力学第二定律4 1.5-1.5变化率的形式为输运公式2 输运公式4 2-2•强度性质——与系统中所含物质的质量无关，无加和性（如p，T等）；无关无加和性（如•广度性质——与系统中所含物质的质量U有关，有加和性（如V，U 等）。
系统的某广度性质，除以另外个广•系统的某一广度性质，除以另外一个广，就转化度性质，特别是除以系统的量，度性质，特别是除以系统的量成了强度性质。
质量守恒定律牛顿第二定律动量矩定理热力学第定律热力学第一定律热力学第定律热力学第二定律推导2.1 推导4 2.1-2.1目标——把系统中任意广度性质N的变化率与此特性参数在控制体中随时间的变化关联在一起特性参数在控制体中随时间的变化关联在起tNsystem 的变化率第①项第②项②小区域(3):CSⅢ是区域是区域ⅢⅢ和控制体共有的表面。
流体力学方程各项的意义 知乎
流体力学方程各项的意义知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：流体力学方程是描述流体运动规律的基本方程，它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这三个方程分别对应了流体运动中质量守恒、动量守恒和能量守恒的基本原理，通过这些方程我们可以推导出流体在不同情况下的运动规律和流态特性。
下面将分别介绍各项方程的意义。
连续性方程是描述流体在空间内不同位置和不同时间的质量变化关系。
其数学表示形式为质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0ρ表示流体的密度，v表示流体的流速，t表示时间。
这个方程实际上是描述了在流体流动过程中，质量不能被“创造”或“消失”，而只能在空间内不同位置之间转移。
连续性方程可以帮助我们理解和描述流体在不同位置之间的质量变化关系，对于研究流体运动的整体特性和稳定性具有重要意义。
动量方程是描述流体运动过程中力的作用和运动状态变化的方程。
其数学表示形式为牛顿第二定律：p表示压力，τ表示应力张量，F表示外力。
这个方程可以描述流体在外力作用下产生的加速度和流速的变化情况，进而帮助我们理解和分析流体运动中各种复杂的现象和特性。
通过动量方程，我们可以研究流体在不同条件下的运动规律和动力学特性，为流体力学的应用和实践提供理论基础。
ρ[∂(e + v^2/2)/∂t + ∇·[(e + p)v]] = ∇·(k∇T) + φe表示单位质量的内能，k表示热传导系数，T表示温度，φ表示能量来源。
能量方程可以描述流体的内能和动能随着时间和空间的变化情况，进而帮助我们研究和分析流体的温度、热量传递和能量转换过程。
通过能量方程，我们可以深入理解流体在不同环境下的能量交换和转化机制，为热力学和热传导等领域的研究提供依据和支持。
流体力学方程是研究流体运动规律和性质的基本工具，每一个方程都有其独特的物理意义和数学含义。
通过对这些方程的建立和求解，我们可以深入探讨流体在宏观尺度下的行为和特性，为工程应用和科学研究提供理论支持和指导。
第4章流体动力学微分形式的基本方程
x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
ux
ux x
dx 2
ux
x
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
以x方向为例 ：
Fx max
外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
yx
u (
y
u x )
x
y
yz
zy
(u z y
u y ) z
zx
xz
u (
x
u z )
z
4-1-2流体力学基本方程
div( v ) 0
不可压缩流体：
柱坐标系中质量守恒微分方程为：
vr vx cos v y sin
div(v ) 0
vn
v vx sin v y cos
vz
1 rvr 1 v vz 0 t r r r z
二
质量守恒方程——积分形式
(dm/dt)sys=0，即A+B-C=0 其中， A表示控制体内的质量变化率； B表示输出控制体的质量流量； C表示输入控制体的质量流量。 A等于
B-C等于
dm ( ) CV dV dt t CV
qm 2 qm1
n A A0 A1 A2 CS
v1 A1 v2 A2 v3 A3
v3=-1m/s
该瞬时自由面A3的下降速 度为1m/s。
13
例4.1 如下图所示，逐渐扩张的管道进出口截面面积分别为 Ai，Ae，若其中不可压缩流体的进出口平均流速Vi，Ve已知， 有一导管将部分流体疏导至管外，求单位时间内导管出口 的流体重量Ws？
14
二
D 1.连续性方程表示控制体的________守恒
(A) 能量 (B) 动量 (C) 流量 (D) 质量
C 2.控制体是_______
(A) (B) (C) (D) 包含一定质量的系统 位置、形状都变化的空间体 固定的空间体 形状不变，位置移动的空间体
3.单位时间内，控制体里面由于密度变化引起的质量增量 D 等于从控制面_______。 (A)流出的动量 (B) 流入的动量
2.控制体 （欧拉描述） 流场中某一个确定的空间区域，这个区域 定义： 的周界称为控制面（control surface）。 特点： （1）控制体内流体质点是不固定的； （2）控制体的位置和形状不会随时间变化； （3）控制面上不仅可以有力的作用和能量 交换，而且还可以有质量的交换； （4）微分和积分的顺序是可以交换的。
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
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r
rvr
1 r
v
z
vz
0
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第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
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动量方程 推导
对于系统，由动量守恒定律（牛顿第二定律）有：
d dV F
20/57
柯西方程 直角坐标形式
笛卡儿坐标系下的柯西方程：
x t
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒定律 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒原理 §6 初始条件和边界条件
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输运定理
引言
所有的力学定律,都是从系统的观念推导而得的，而以系统为 对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪并识别边界，这 在实际流动过程中显然是很困难的。况且，工程上所关心的问题 也不在于跟踪质量确定流体的运动，而在于确定的设备空间中流 体的流动行为。
r
r
1 r
r
r
zr z
z
t
r
z
r
r
z
z
z
z
gz
1 1 r rz 1 z
ห้องสมุดไป่ตู้ r r r
z
z
该偏微分方程组就是所谓的流体运动的应力形式的动量方程， 代入不同流体的本构方程就可以得到不同流体的运动方程。
输入控制体 动量流量
作用于控制 体的合力
控制体净输出 的动量流量
14/57
动量方程 推导
外力
体积力 表面力
单位质量上的体积力 单位面积上的表面力
应力矢量 应力张量 矩阵形式
r,t,n T r,tn
应力张量和方 向矢量缩并得
应力矢量
x y
Txx Tyx
dt
V
2 2
dV
V
g dV
TdA
qdA
( A)
( A)
V r ,t
V
dV l dA (Vdt) dA
lim 1 dV vdA
t 0 t V
A
d dV dV dA
dt V
V t
( A)
5/57
输运定理
推导
控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引 起的变化量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。这 就是著名的输运定理，是由欧拉首先提出的。
（切应力张量第一下标表示作 用面法向，第二下标表示力的 方向）。
16/57
z
动量方程 推导
dz
o
dy
dx
xA
Txxnx Txyny Txznz i
Tyxnx Tyyny Tyznz j
By
Tzxnx Tzyny Tzznz k
法向应力： 法向
z Tzx
Txy Tyy
Txz
Tyz
nx
ny
Tzy
Tzz
nz
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动量方程 推导
在笛卡儿坐标系中， 应力向量的各分量为：
Txxnx Txyny Txznz i Tyxnx Tyyny Tyznz j Tzxnx Tzyny Tzznz k
xz
y
z
zz
表面力合力
div g div T
t
（应力张量的散度表示流
体应力状态的不均匀性）
单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。
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动量方程
柯西形式
div g div T
2. 控制体：在空间上体积固定不变的连续、封闭区域。 特点：（1）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的； （2）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而 且可以有质量的交换。
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输运定理
推导
为了将系统分析法转换成控制体积分析法，我们必须将数学导 式转换成针对某一特定的区域（而非个别的质点）来作，此变换称 为雷诺输运定理(Reynolds transport theorem)，该定理可应用在任一 基本定律上。
7/57
质量守恒定律 推导
质量守恒原理指 物体质量在运动中保 持不变，换言之，物 体质量随时间的变化 率为零。
如右图所示，在 考察的物质系统内， 围绕任意点取一无限 小体积。
图3.2 流动流体的物质体积
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质量守恒定律 推导
对于系统，由质量守恒定律有：
d dV 0
dt V r ,t
在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象，而如何 将基于系统的基本原理表达成适用于控制体的形式，这就是输运 定理所要解决的问题。
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输运定理
概念
1.系统： 系统是一团确定不变的物质的集合。 特点：（1）系统边界随流体一起运动，其形状、大小可随 时间变化； （2）系统可以通过边界与外界发生力的作用和能量 交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不 变的。
r
r
r r
z
z
g
1
1 r2
r
r 2 r
1 r
z z
r t
r
r r
r
r
2 r
z
r z
gr
1
1 r
r
0
质量守恒定律的微分形式：
t
div v dV
0
div 0
t
或 grad div 0
t
对不可压缩流体， 0 ，则方程简化为
t
divv 0
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质量守恒定律
柱坐标形式
直角坐标系中质量守恒方程为：
dV
dA
gdV
TdA
V t
( A)
V
( A)
散度定理
V
t
div
dV
g
V
div
T dV
x x yx
z x
x y y y z y
dt V r,t 应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方 程可表述为：
控制体净输出
的动量矩流量
控制体内的动 量矩变化率
作用于控制 体的总力矩
(r )
( A)
dA
t
V
(r
)
dV
M
24/57
角动量方程 推导
应力张量就是对称的 zy yz , xz zx , yx xy
取如右图所示系 统，函数 (r, t) 在 整个系统区域上是连 续的、单值的、可微 的。
图3.1 流体实体容积
4/57
输运定理
推导
r,t dV r,t dV
V r,t t
V r ,t t
d
dV
lim
1
r, t t dV r,t dV
22/57
第三章 基本方程组
§1 输运定理 §2 质量守恒方程 §3 动量方程 §4 角动量方程 §5 能量守恒方程 §6 初始条件和边界条件
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角动量方程 推导
角动量守恒原理是指一定体积V 流体的角动量变化率等于作
用在该流体上的所有外力矩之和。
对于系统，由角动量守恒定律有：
d (r )dV M
yx x
y y
yz z
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
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柯西方程 柱坐标形式
柱坐标系下柯西方程：
t
r
dt V r,t
d dV dV dA
dt V
V t
( A)
应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时动量守恒方程
V
t
dV
( A)
( dA)
F
dt dA dt
( A)
控制体内的
动量变化率
输出控制体 动量流量
dt V
t0 t V r ,t t
V r ,t
dV
lim r, t t r, t dV dV
V r ,t tt 0
t
V t
r, t dV r, t dV r, t dV
V r ,t t
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第三章 基本方程组