点的投影及其辅助投影直线的投影及直线上的点(课堂PPT)

2投影法和三视图2.1体的三视图及其投影规律2.1.1常用的投影方法在工程上常用各种投影方法绘制工程图，常用投影方法有中心投影法、平行投影法。

（1）中心投影法如图2-1-1所示的投影法中，所有的投影线都汇交于一点，称为中心投影法。

中心投影法得到的物体的投影与投影中心、空间物体和投影面三者之间位置有关，投影不能反映物体的真实大小，但是图形富有立体感。

因此，中心投影法通常用来绘制建筑物或富有逼真感的立体图，也称为透视图。

图2-1-1 中心投影法（2）平行投影法如图2-1-2所示，投射线Aa、Bb、Cc是相互平行的，称为平行投影法。

平行投影法又称为正投影法和斜投影法。

(a)正投影法 (b)斜投影法图2-1-2 平行投影法投射线垂直于投影面，为正投影法；投影线倾斜于投影面为斜投影法。

在平行投影法中，如果平面与投影面平行，得到的投影就能反映平面的真实形状和大小并且投影同平面和投影面的距离无关。

2.1.2投影规律在机械图中常用正投影法，它具有以下规律：1.真实性：当空间物体平行于投影面时，投影反映空间物体的实形。

2.积聚性：当空间物体垂直于投影面时，投影积聚为直线和点。

3.类似性：当空间物体倾斜于投影面时，投影与原图形类似。

2.2点的投影特性点是组成形体的最基本的几何要素。

2.2.1点的单面投影（如图2-2-1所示）设定投影面P，由一个空间点A做垂直于P面的投影线，相交于P面上一点a，点a就是空间点A在P面上的投影。

由此可见：一个空间点在一个投影面上有唯一确定的投影。

反之，如果已知点A在投影面P上的投影a，不能唯一地确定该点的空间位置，这是由于在从点A所做的P面的垂直线上所有各点的投影都位于a处。

图2-2-1 点的单面投影由于单面投影不能够确定点的唯一位置，所以在工程上常把几何体想象成放在相互垂直的两个或两个以上投影面间，在投影面上形成的投影就是多面正投影。

2.2.2点的两面投影（1）两投影面体系的建立相互垂直的正投影面V和水平投影面H它们相交投影轴OX，便组成了V、H投影面体系。

3.1 点3.2 直线3.3 平面3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置任何物体的表面都可以看成是由点、线和面所组成，任何复杂的空间几何问题都可以抽象成点、线、面的相互关系问题。

因此，要正确、迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题,须掌握点、线、面的表示方法和投影性质。

过空间点A的投射线与投影面P的交点a称为点A在投影面P上的投影。

仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。

点的投影a可以是过a的投射线上任一点（如A、A1、A2等）的投影。

正投影法采用多面正投影来确定点的空间位置。

点A在V/H两投影面体系中的投影:根据正投影的原理，已知点A的水平投影及正面投影则可确定点A的空间位置。

因此，点的两面投影即可完全确定点的空间位置。

1.点的三面投影2.点的投影规律投射线Aa和Aa′构成平面Aaa x a′，因Aa⊥H面，Aa′⊥V面则Aaa x a′⊥H面，又⊥V面因三平面互相垂直，其交线必互相垂直，故a′a x⊥OX，aa x⊥OX投影面展开后，得a′a⊥OX，又因Aaa x a′是一矩形，故aax=Aa′=点A至V面的距离a′a x=Aa=点A至H面的距离同理可得：a′a″⊥OZa′az=Aa″=点A至W面的距离a″a z=Aa′=点A至V面的距离2.点的投影规律综上所述，点的三面投影规律是：(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。

即：a′a⊥OX；a′a″⊥OZ；aa x= a″a z(2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离。

即：a′a x= a″a y W= Aa (点A至H面的距离)；aa x= a″a z= Aa′(点A至V面的距离)；a′a z= aa y H= Aa″(点A至W面的距离)。

2.点的投影规律3.点的投影与直角坐标的关系互相垂直的三个投影轴构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用坐标值A（x,y,z）表示。

投影法一、投影法的基本知识(从自然现象引深到投影理论，建立概念)投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到该物体图形的方法，称为投影法。

投影法的形成投影四要素: 投影中心、投影线、物体、投影面。

二、投影法的分类中心投影法：投影线相交于投影中心，如上图所示。

平行投影法：投影中心移至无限远时，投影线相互平行，平行投影法又分为正投影和斜投影，正投影的投影线垂直投影面，斜投影的投影线倾斜投影面。

斜投影法正投影法平行投影法机械图样中的图形主要采用正投影法绘制。

正投影图能正确表达物体的真实形状和大小，且作图方便，所以正投影是我们所要学习一种主要投影方法。

三、正投影的投影特性(对照立体图讲清投影特性，要求熟记结论)1.实形性：当直线、平面平行于投影面时，则在平行的投影面上的投影反映直线实长或平面的实形。

下图中平面 P、直线 AB 等。

2.积聚性:直线、平面和投影方向一致时，则它们在投影面上的投影分别积聚为点、直线、曲线。

下图中平面 Q、直线 AC 等。

3.类似性: 当直线、平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，平面的投影为平面图形的类似形。

下图中平面 R、直线 EF 等。

正投影法投影特性四、工程上常用的投影图1.透视图这种图是用中心投影法绘制，这种图符合人眼的视觉效果看起来形象逼真，。

但不能很明显地表达物体的真实形状和度量关系，同时作图很复杂，所以目前主要在建筑工程上作辅助性的图样使用。

2.轴测图这种图是用平行投影法绘制，有比较强立体感，一般都能看懂，但作图比较复杂，并且对复杂机件也难以表达清楚，故在工程上常作为辅助图样来使用。

3.多面正投影图多面正投影图能准确表达物体各部分之间的相互位置关系，且度量性好、作图简单，所以在工程上被广泛应用。

缺点是立体感差，要用多个图形才能表达清楚物体的形状特征。

4.标高投影图它是一种带有数字标记的单面正投影图。

它用正投影反映物体的长度和宽度，其高度用数字标注，标高投影图常用于表达地面的形状。

第二章 投影作图的基本定理与方法知识点：四个定理和面上取点取线、线面平行、面面平行、线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直、直角三角形求直线实长等作图方法。

点线面综合问题解题方法。

难点：线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直作图方法。

点线面综合问题解题方法。

时间：8学时讲课内容：§2-1导言在第一章中，我们仅仅解决了点、直线、平面这些几何元素的投影表达问题。

或者说仅解决了图示问题。

而对它们之间的几何关系及其定位和度量，例如从属问题、平行问题、相交问题、垂直问题以及长短、大小、角度、距离等的度量等等，尚需进一步研究。

此外，为区分投影重合时所产生的遮挡现象（如居前的将挡住在后的，居左的将挡住在右的，居上的将挡住在下的），也有必要对投影图进行可见性判定，分清可见的与不可见的。

如直线的可见的投影部分以粗实线画出，而不可见的投影部分则以虚线表达。

凡此，可称为重影问题。

以上这些问题，无疑是进行投影作图——图解的主要问题。

本章所要讨论的，正是投影作图的几个基本投影定理以及几个主要的投影作图方法。

应用初等几何的知识，配合这些投影作图的定理和方法，也就在纸平面上取得了自由权，可以准确无误地解决一些定位严谨逻辑的空间逻辑思维方法。

§2-2从属问题一．属于直线的点设体系空间有一线段AB 。

若K 点属于AB直线，那么由图2-1可以容易看到：1．K 点的投影（k ，k ′，k ″）也必定属于AB 的投影（ab ，a ′b ′，a ″b ″）； 图2-1 直线上的点2．同时，由于平行投影法的各投射线互相平行的结果，根据初等几何学的“平行线之间所截得的各对应线段成比例”的 定理（平行截切定理），有：AK ∶KB=ak ∶kb=a ′k ′∶k ′b ′=a ″k ″∶k ″b ″若K 点不属于直线AB ，我们由图2-1可以得到如下结论，即理：（见图2-2）[定理1]——若点在(属于) 若 K ∈AB ，则 k ∈ab ，k ′∈a ′b ′，k ″∈a ″b ″ 且 KB AK =kb ak =''''b k k a =""""b k k a这一定理，是一切从属问题乃至相交问题的基础。

§3-2 点、直线、平面的投影任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。

如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。

由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影1。

因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，须掌握这些基本几何元素的投影规律。

图3-11三棱锥一、点的投影１．点的三面投影形成如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″2即为点A 在三个投影面上的投影。

按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。

图中a x、a y、a z分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。

图3-12点的三面投影形成２．点的三面投影规律从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。

（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa x＝a″a z.此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距1本书中，体的多面投影称为视图。

点、线、面等几何元素的投影一般称为投影图。

2空间点用大写字母表示，H面投影用相应的小写字母表示，V面投影用相应的小写字母加“′”表示，W 面投影用相应的小写字母加“″”表示。

离。

如：a′a z＝aa YH反映点A到W面的距离；a′a x＝a″a Yw反映点A到H面的距离； aa x＝a″a z反映点A到V面的距离.根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。

〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。