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数学建模队员的选拔-层次分析法

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. . . .页脚. 数学建模队员的选拔 摘要 一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。但在对参赛队员进行选拔时，往往会遇到很多难题，以致有时并不能选出真正优秀的队员代表学校参加全国竞赛。本文通过对学生自身具备的与数学建模有关的素质的考察，解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。本文主要采用层次分析法，通过对建模队员的综合能力以及专项能力的考察，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，给出了选拔队员的模型，并最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，建立了最佳的组队方案。 问题一，我们给出了选拔队员时应考察的情况，并针对数学建模应具备的关键素质，给出了相关素质的权重。 问题二，我们全面考察了15名队员的六项指标，并利用层次分析法及matlab编程求出了各指标的权重，然后根据权重得到15名队员的的综合排名，最后剔除后六名，得到前九名队员，依次是：2S,1S,14S,8S,11S,4S10S,6S,13S。为了

组成3个队，使得这3队的整体水平最高，我们建立了求每个队竞赛水平的模型，根据题目要求，为使三名队员的技术水平可以互补，参赛学生最好来自不同专业，我们在多种组合方式下经计算比较后得到最佳组合方案。如下表： 问题三，我们如果只考察计算机而不考察其它能力，选出最佳队员S11和S13,其成绩分别为第五和第九，并非特别拔尖。而且通过对计算机编程能力在关键素质中所占的比例24.9%分析（1/4不到），这种直接录用的选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，而且有失公平，所以不可取。 问题四，我们在前几问的基础上，综合数学建模的关键素质所占的权重分析，给出了对数学建模教练组在选拔队员时的建议。

关键词：最佳组队；层次分析法；matlab编程，权重. . .

.页脚. 一、问题重述 由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。 数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。 目前选拔队员主要考虑以下几个环节 数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含一位数学基础较好的同学、计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。每个学生的基本条件如下表（见附录）。 现在需要解决以下几个问题： 1．根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？ 2．根据上表息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。 3．有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。 4．为数学建模教练组写1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

二、问题分析 2.1对问题一的分析 每年的全国大学生数学建模竞赛都需要选出优秀的队员组成队伍，以达到最好的、最合理的优化组合参加比赛，提高获奖的几率。这是一个考虑多因素的资源配置问题。根据我们所了解的数学建模知识，一组中需要分别包含数学分析和建模能力较好的同学、计算机编程能力强的同学、语言表达和写作能力较强的同学，通过交流与合作，以达到最好效果。考察素质时一方面可由学生自己的主观因素提供，一方面可根据相关考试等客观事实来判断。 数学知识和计算机能力是建模的关键，组队时我们应该优先考虑这两方面才能的人。数学分析及建模的能力可通过笔试成绩及思维敏捷度来判断，而计算机能力则可通过对机试成绩进行分析，也可由其它情况（如是否学过matlab等）进行附带说明。 2.2对问题二的分析 第二问是要求建立出数学模型，在15名同学中选出9名最优的、合适的同学组成三队参加竞赛。这是一个半定量半定性、多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。我们主要采用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各学生对各指标的权重，然后建立数学模型对每个队员的总成绩进行. . . .页脚. 排名，剔除掉落后的6名学生。 2.3对问题三的分析 这一问是在第二问的基础上进行假设，假设计算机编程能力是选拔队员的关键因素。选拔出几名计算机能力最强的同学，与前一问的综合排名进行对比。通过对结果的分析来确定这种直接录用而不考虑其他因素的做法是否可取。 2.4对问题四的分析 根据前几问的条件，来判断选拔队员时还缺少了哪些信息、有些信息是否可以忽略，然后对数学建模教练组提供相关选拔队员的建议，以帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

三、模型假设 假设参赛队员的外部环境都相同，不考虑其他随机因素的影响，在正式比赛中每个队员都可以发挥出各自的正常水平。 2.假设题中给定数据都是客观公正的，且竞赛水平的发挥只取决于题中所给的条件。 3.假设数学建模的笔试成绩，机试成绩，思维敏捷度，知识面宽广度，听课情况已及其他情况（如是否学过matlab等），这六项对学生参加建模竞赛时的影响占主体地位，而且影响程度是依次递减的。 4.假设对每个人的量化指标能充分且准确地反映此人的综合实力。 5.假设组队后各队是相互独立的，即各组之间不会相互影响。 6.假设一队中不能有同专业的学生。

四、符号说明 CI………………………………………………………………一致性指标 RI…………………………………………………………随机一致性指标 CR…………………………………………………………一致性检验指标

1w……………………………………………准则层对目标层的特征向量

2w……………………………………………措施层对准则层的特征向量

w……………………………………………措施层对目标层的特征向量

max……………………………………………………………最大特征值

QBS（Si）…………………………………………学生Si的笔试加权成绩 BS（Si）……………………………………………学生Si的笔试成绩 C1（Si）…………………………………………表示学生Si的笔试权重 QJS（Si）…………………………………………学生Si的机试加权成绩 JS（Si）……………………………………………学生是Si的机试成绩 C2（Si）……………………………………………学生Si的机试权重 S1,S2...S15………………………………………………15名学生的编号

五、模型建立与求解 . . . .页脚. 5.1问题一： 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，因此数学建模要求学生具有一系列的素质，包括较好的数学基础和建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力等。于是我们建议考察学生的下列能力： 1.较好的数学基础知识（高等数学、线性代数、微积分和概率论等） 2.必要的数学建模知识（数学建模软件的熟练掌握） 3.计算机编程能力 4.语言表达和写作能力 5.良好的团队合作精神及协调能力 6.思维敏捷度（分析、归纳、总结的能力） 7.对数学建模的兴趣及悟性 8.能否持之以恒的耐性 各能力所占比例如下表所示：

我们认为下列素质是数学建模的关键素质： 1.对数学知识和数学建模知识的熟练掌握 2.计算机编程能力及数学建模软件的掌握和运用 3.较强的语言表达和写作能力 4.分析、归纳、总结的能力及团队协调合作能力 可通过下列方式进行考察： 1.成立以数学建模为主体的协会并开展讲座，看爱好者的活跃程度； 2.看平时考试的数学成绩和举办数学竞赛，来考察数学方面的能力； 3.举办数学建模论文竞赛和模拟答辩等，考察队数学建模知识的了解及论文的写作能力； 4.计算机系的学生可通过对编程成绩的查阅来考察计算机编程能力； 5.组织一次开放性、全校性的数学建模选拔赛来考察数学建模的综合能力，或者具有某方面特长的学生。

5.2.问题二的模型建立及求解 . . . .页脚. 5.2.1参赛队员的选取 该题是一个多因素的综合排序问题，也是一个多目标的决策问题。为了从15名队员中选出9名，我们采用层次分析法计算权重，然后综合总成绩进行排名，即可选出。 题目给出了七项指标，为了方便计算，我们首先应将各指标量化。由于班级排名这一项统计不全，故可以忽略掉此项的影响。在量化时我们遵循以下原则：笔试成绩以10为满分进行计算；思维敏捷、机试和知识面的A、B、C、D等级分别按4分、3分、2分、1分计；其它情况在1分的基础上加分，如学过matlab和上过建模选修课、考过程序员加1分，过计算机三级加2分。下表是15名学生的量化分数表：

学生 笔试 机试 思维敏捷 知识面 其它情况 听课次数 S1 9.6 3 4 4 1 2 S2 9.3 3 4 3 3 6 S3 9.2 1 2 2 1 4 S4 8.2 3 3 4 2 4 S5 8.2 2 3 3 1 3 S6 8.2 3 4 1 1 6 S7 8 3 2 3 1 5 S8 7.9 3 4 4 2 4 S9 7.8 2 4 2 2 4 S10 7.7 3 4 3 2 5 S11 7.6 4 2 3 1 6 S12 7.4 2 4 4 1 2 S13 7.8 4 3 1 1 2 S14 7.6 3 4 4 1 5 S15 6.6 3 2 3 1 6

5.2.2用层次分析法 将选拔优秀队员看做一个目标，作为目标层；将六项指标作为准则层；将15名同学作为措施层。如下图：

选拔优秀队员

笔试成绩机试成绩思维敏捷度知识面 听课情况其他情况

目标层O：准则层C：措施层P：S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15

我们已经假设数学建模的笔试成绩，机试成绩，思维敏捷度，知识面宽广度，听课情况已及其他情况（如是否学过matlab等），这六项对学生参加

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层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用

层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用

教育教学
层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用
肖郑利
（天津机电职业技术学院，天津市 300131）
［摘 要］ 通过建立系统的递阶层次结构，构造两两比较判断矩阵，并进行一致性检验，计算出各个因素的组合权重，从而构造出层次分析 法模型，并将该模型应用到数学建模竞赛的队员选拔过程中。该模型能使队员的选拔过程更加客观、准确、系统、有效。 ［关键词］ 数学建模；选拔；层次分析法；权重；矩阵
m
m
m
Σ Σ Σ 因素的组合权系数为 aiωi1， aiωi2，…， aiωin，按照从高到低的
i= 1
i= 1
i= 1
顺序一层层求下去，直到求出所有层所有因素的权系数为止。最后根据
最低层即方案层权系数的分布给出一个关于各个方案优先程度的排序。
记 Bk 为第 k 层次上所有因素相对于上一层相关因素的权向量按列 组成的矩阵，则第 k 层的组合权系数向量为 Wk= B·k Bk- 1……B·2 B1，其中 B1= （1）。
[1] T.L.Saaty.The Analytic Hierarchy Process [M].McGraw- Hill International Book Company,1980. [2] 胡运权.运筹学教程(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2003. [3] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2003. [4] 邹琴,方云.AHP 法在数学建模参赛队选拔中的应用[J].韶关学院学报, 2008.
最后求出组合权系数。 第一层因素 A- B1：0.54 A- B2：0.297 A- B3：0.163 第二层因素 B1- C1：0.151 B1- C2：0.091 B1- C3：0.758 B2- C4：0.125 B2- C5：0.875 B3- C6：0.333 B3- C7：0.667
数学建模5-层次分析法

数学建模5-层次分析法

数学建模5-（离散模型）层次分析法层次分析法的基本步骤如下：层次结构分析模型实例：（选择旅游地）每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）由成对比较阵求权向量的特征根法：（原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。

若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。

（实现方法）——和法例子：一致性检验：一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）随机一致性指标：一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。

组合权向量的计算组合一致性检验：关于层次分析法的一些问题：1.不完全层次结构中组合权向量的计算：例：如何得到合理结果？用支配因素的数量对权向量进行加权修正2.成对比较阵残缺时的处理：设Θ表示残缺；3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层次自上而下，逐层传递的支配关系）对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。

附：层次分析法的简单MATLAB实现clc;clear;A=[1 1.2 1.5 1.5;0.833 1 1.2 1.2;0.667 0.833 1 1.2;0.667 0.833 0.833 1];%因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A[m,n]=size(A); %获取指标个数RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];R=rank(A); %求判断矩阵的秩[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；tz=max(D);B=max(tz); %最大特征值[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置C=V(:,col); %对应特征向量CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CICR=CI/RI(1,n);if CR<0.10disp('CI=');disp(CI);disp('CR=');disp(CR);disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');Q=zeros(n,1);for i=1:nQ(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化endendQ。

数学建模队员的选拔及组队问题研究综述

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数学建模队员的选拔及组队问题研究013082组 黄梦遥 朱文意 李培一一、摘要全国大学生数学建模竞赛[1]（以下简称“国赛”）是全国高校规模最大的课外科技活动之一。

数学建模是一种运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立模型，能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学手段。

数学建模在物流、交通等领域中日益广泛的应用对数学建模竞赛产生了很大的促进作用。

由此，各大高校也越发看重学生在这项大赛中取得的成绩，如何选拔参赛队员以及如何合理组队这些问题就显得非常重要。

本文以清晰的思路建立了数学模型，并对模型做了合理的假设，对队员选拔、成员组队等问题进行了较为深入的探讨，并提出了模型的解答。

1.每名队员的优势能力不同，问题一要求我们在这20名队员中做出取舍，我们想到了用层次分析法。

我们给各项能力按照题目的要求合理地给定了权重，并按照层次分析法的步骤利用MATLAB 计算出了每名队员的综合实力，在Excel 中按降序排列，8、9两名队员是最后两名，因此落选。

我们又想到了每学期期末考试后我们计算平均学分绩的方法，对20名队员的能力进行了简便的直接加权，那么每名队员的综合实力可表示为：6161i S jjj i jj bw m w===∑∑同样按照降序排列，淘汰8、9两名队员。

2.对问题二，我们有两个思路。

思路1.用逐项选优方法，用目标函数()6,,,,1,k l mk l mS S S S S S jj jj j f bw b w ==∑表示成员编号为k l m S S S 的队伍的整体竞赛水平：。

利用上述目标函数在18名队员中找到3个人，使队伍整体竞争水平最高，接着按以上方法依次选队员，直到18名队员分成6组。

思路2.用仿真法，使得六个组的平均竞赛水平达到最大值并且六个组的竞赛水平方差最小。

首先将18名队员按综合实力降序排名分成人数相等的三组，三组中各取出一名队员使之组成一支参赛队伍，用MATLAB 编程，取10万个可能的组合，由此计算出使得六个组的平均竞赛水平最高且各组水平最均衡的分组情况。

数学建模队员选拔和组队

数学建模队员选拔和组队

数学建模队员选拔摘要针对题目的要求，我们建立了两个模型，分别用于选拔队员与编队，来实现团队获奖最大化。

为了选出最合适的18名队员，已知不同指标在不同成员里波动不同，于是我们计算出各个指标所代表的数值的标准差，根据标准差的大小来确定各项能力的离散程度即重要性，然后将加权的综合能力定义为各个能力与其标准差之积平均值，并将总加权能力值排序取前18名同学。

为了将18名队员最合理的分成6组，建立差值模型，确定每个队员的相对优势。

队员按综合能力排名分成3组：优、中、劣。

每次分别从优、中、劣选出一人，组成新的一组，以此选出6组。

此时为使6组的实力尽可能大且接近，建立总偏差函数模型与最大能力值函数，该函数值越大表明相对队员总体水平越高。

关键词：离散程度加权平均数差值相对优势总偏差函数目录5.2.3.1组队方案的选取过程 (10)5.2.3.2对各指标下队员进行分组 (10)5.2.3.3建立模型构造函数 (10)5.2.3.4选择方案 (11)一、问题描述全国大学生数学建模竞赛是由教育部发起的18项大学生创新训练项目之一，是高等院校的重要赛事。

我校每年都会有一定数量的学生参加此项赛事，并取得了一定的成绩。

在一年一度的竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题，这本身就是一个最实际而且是首先需要解决的数学模型问题。

假设我校选拔队员主要参考如下三个环节：(1)校数学建模公选课成绩；(2)校内数学建模竞赛成绩；(3)按照一定的准则，教师组对每个学生的某些能力和素质给出一个等级评分。

现有25名学生准备参加竞赛，根据上述参考的三个环节选出18名优秀学生分别组成6个队，每个队3名学生去参加比赛。

假设在竞赛中不考虑其他随机因素的影响，所有队员竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件，并且参赛队员都能正常发挥自己的水平。

研究以下问题：1、假设学生基本素质中各项能力在综合评价中地位等同，按择优录取原则，在25名学生中选择18名优秀队员参加竞赛。