数学建模——层次分析法

在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
数学建模
—— 层次分析法
主讲教师
曾慧平
§2
层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按

它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘 出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。 下面举例说明。
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
• （1）在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显 的等级，分别为相同、影响稍强、影响强、影响明显强、影 响绝对的强。
• （2）心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人 的判断能力。最多大致在 7 2 范围。如以9个为限，用1－ 9尺度表示它们之间的差别正合适
2 构造成对比较矩阵
4 计算组合权向量并做组合一致性检验
在旅游决策问题中我们已经得到了第二层（准则层）对 第一层（目标层）的权向量，记作 w(2) 成对比较阵，不妨设它们为：
1 1 B1 2 1 5 1 5 2 , B2 3 8 1 1 1 3 8 1 1 1 , B3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 4 1 3 4 3 1 1 3 , B4 1 1 , B5 1 1 3 4 4 4 1 1 1 1 1 4
4 计算组合权向量并做组合一致性检验
即
B 层第 i 个因素对总目标的权值为： a j bij
j 1
m
4 计算组合权向量并做组合一致性检验
层次总排序的一致性检验：
设 B层的 B , B ,, B 对上层( A层)中因素 A ( j 1, 2, , m) j 1 2 n 的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指标为 RI j ，
(2) T ( w1(2) ,..., w5 )
用同样的方法构造第3层（方案层）对第2层的每一个准则的
2 1 1 2
1 1 1 3
1-9尺度的含义
2 构造成对比较矩阵
3、问题的提出
（8.2.2）中 a 2 表示景色 C1 与费用 C2对选择旅游 21
地这个目标 表示景色 C1 O 的重要性之比为1：2 ；a13 4 与居住条件 C3 之比为4：1；a23 7 表示费用 C2 与居住条件
C3 之比为7：1。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最
确定各层次各因素之间权重的方法： （1）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较； （2）采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较 的困难，以提高准确度。 1.两两比较 假设要比较某一层
n个因素 c1 , c2 ,..., cn对上一层一个因素
的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游 o 地这个目标中的重要性。每次取两个因素 Ci和 C j ，用 aij表示 Ci 和 C j 对 o 的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表 示。
2 构造成对比较矩阵
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
（8.2.1）
依次表示景色、费用、
由于（8.2.1）式给出了 aij 的特点。A 称为正互反矩阵。
显然必有 居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法（做 5 4 次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为： 2 C5 2 1/ 2 4 3 3 1 2 1 7 5 5 (8.2.2) A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 1 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5
w1 ,..., wn ，在作成对比较时
w1 wn w2 wn
wn wn
w w1 1 w2 1 w w w2 2 w2 A w1 wn wn w w2 1
(8.2.3)

2 构造成对比较矩阵
这些比较显然是一致的， n 块小石头对大石头的权重（即
尺度 1 3 含义
Ci 与 C j 的影响相同
Ci 比 C j 的影响稍强
Ci 比 C j 的影响强 Ci 比 C j 的影响明显的强 Ci 比 C j 的影响绝对的强 Ci 与 C j 的影源自文库之比在上述两个相邻等级 之间 Ci 与 C j 的影响之比为上面的互反数
5 7
9
2 ， 4 ， 6， 8
1，1/2，…，1/9
3 计算权向量并做一致性检验
注：随机一致性指标
RI 定义一致性比率 CI CR RI
：
一般，当一致性比率 CR CI 时，认为 A 的不一致程 RI 度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可 用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较
矩阵 A ，对
aij 加以调整。
3 计算权向量并做一致性检验
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
o 的权重呢？
2 构造成对比较矩阵
由给出的成对比较阵 A 可以发现，既然 C与 C2之比为 1 1:2， C1 与 C3 之比为4:1，那么 C2与 C3 之比应为8:1,而不 是7:1，才能说明成对比较是一致的。但是， n 个要素要作
n(n 1) 次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。 2 问题2. 怎样确定这种不一致的容许范围？
为了解决上面两个问题，我们先考察成对比较完全一致的
情况
2 构造成对比较矩阵
设想把一块单位重量的大石头
O 砸成
块小石头 C1 , C2 ,..., Cn
如果精确地称出它们的重量为
令 a w / w ，那么得到 ij i j
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
4 计算组合权向量并做组合一致性检验
计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权 值，称为层次总排序。 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
4 计算组合权向量并做组合一致性检验
A 层 m个因素 A1 , A2 ,, Am ,
对总目标
Z 的排序为：
a1 , a2 ,, am ，B 层 n 个因素对上层 A 中因素 A j 的层次
1.建立层次结构模型
例1 大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时， 用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来 说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：


①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥 自己的专长）；
②工作收入较好（待遇好）；


③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；
④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
1.建立层次结构模型
1.建立层次结构模型
例2 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。
1.建立层次结构模型
例3 科研课题的选择 某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只 能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡 献大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)
“选择旅游地”中，准则层对目标的成对比较阵
最大特征根：
5.073
权向量(特征向量)：
=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) T
一致性指标： 随机一致性指标
RI 1.12
(查表可得)，
一致性比率为
通过一致性检验。
CR=0.018/1.12=0.016<0.1
A 称为一致性矩阵，简称一致阵。
2 构造成对比较矩阵
容易证明阶一致阵 A有下列性质。
1. 2.
A 的秩为1，A 的惟一非零特征根为 n ；
A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量。
如果得到的成对比较阵是一致阵，像（8.2.3）式的A 自
然应取对应于特征根
n
的，归一化的特征向量（即分量之
则层次总排序的一致性比率为：

a1CI1 a2CI 2 amCI m CR a1 RI1 a2 RI 2 am RI m 当 时 CR 0.1，认为层次总排序通过一致性检验。层次
总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元
素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最 后决策。
课题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。
在这些因素的影响下，如何选择课题?
1.建立层次结构模型
1.建立层次结构模型
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层
的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方 案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成 选择方案的原则。
2 构造成对比较矩阵
单排序为 b1 j , b2 j , , bnj , j 1, 2, , m
B
层的层次总排序为：
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B : a b a b a b 2 1 21 2 22 m 2m Bn : a1bn1 a2bn 2 ambnm
和为1）表示诸因素 C1 , C2 ,..., Cn
这个向量称为权向量。
，对上层因素
O 的权重，
2 构造成对比较矩阵
如果成对比较阵
不是一致阵，但在不一致的容许范围内， A
则用最大特征根（记作
为权向量 。 w
）对应于的特征向量（归一化后）作
直观地看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖于 矩阵的元素，所以当aij 离一致性的要求不远时， A 的特征根 和特征向量与一致阵的相差不大。
3 计算权向量并做一致性检验
对应于成对比较矩阵的最大特征根
max的特征向量，
经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为 W 。W 的元 素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的
排序权值，这一过程称为层次单排序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓 一致性检验是指对 A 确定不一致的允许范围。 定理1 n 阶一致阵的唯一非零特征根为 n 。
n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
3 计算权向量并做一致性检验
定义一致性指标:
n CI n 1


CI 0 CI 接近于 0
，有完全的一致性 ；
，有满意的一致性；
CI 越大，不一致越严重。
3 计算权向量并做一致性检验
为衡量 CI 的大小，引入随机一致性指标 1.随机构造500个成对比较矩阵：