(理数)湛江一中2013届高二上学期期中考试
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1 湛江一中2013届高二上学期期中考试
数学（理科）
考试时间：120分钟 满分150分
一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分）
1、2007名学生中选取50名学生参加湖北省中学生夏令营，若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等，且为502007 D.都相等，且为140
2、设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3、4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里,使每个盒子都不空的放法种数为（ ）
A. 2343CA B. 1334AA C. 3242CA D. 132442CCC
4、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为( )
A．90 B．100 C．900 D．1000
5、右图给出的是计算23101111+++...+2222的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i≥10? B．i>11? C．i>10? D．i<11?
6、有6根细木棒，长度分别为1，2，3，4，5，6(cm)，从中任取三根首尾相接，能搭成三角形的概率是（ ）
A.14 B.25 C.310 D.720
7、某流程图如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A.2()fxx B.1()fxx
C.()xxxxeefxee D.()sin1fxx 2 8、某市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是( )
A．0.20 B．0.40 C．0.60 D．0.80
（第7题图）
（第8题图）
二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）
9、为了甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8∶00~12∶00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，则甲交通站的车流量在[10,60]间的频率是 ；甲、乙两个交通站 （填甲或乙）站更繁忙。
10、一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________
11、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 。
12、在区间,22内任取一个实数x，则所取实数x落在函数2sin(2)6yx增区间内的概率为 ．
13、给出下列结论
①函数f(x)=sin(2x+2)是奇函数；
②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽样方法； 3 ③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件；
④若数据：xl，x2，x3，…，xn的方差为8，则数据x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差为9．
其中正确结论的序号 (把你认为正确结论的序号都填上)．
14、伦敦奥运会的第三天先后共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏的，则这天奏国歌的不同顺序有 种。
三、解答题：（共80分）
15、（本题满分12分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50
70
（1）画出散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa.
（参考公式： xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiininiii;)())((1221121）
16、（本题满分12分）已知向量).0,1(),cos,cos(),sin,(coscxxbxxa
（1）若cax,,6求向量的夹角；
（2）当]89,2[x时，求函数12)(baxf的最小值．
17、（本题满分14分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）。求在1次游戏中，
（1）摸出3个白球的概率；
（2）获奖的概率；
18、（本题满分14分）
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下： 4 组别 PM2.5（微克/立方米） 频数（天） 频 率
第一组 (0,15] 4 0.1
第二组 (15,30] 12 y
第三组 (30,45] 8
0.2
第四组 (45,60] 8 0.2
第五组 (60,75] x
0.1
第六组 (75,90) 4 0.1
（1）试确定,xy的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）完成相应的频率分布直方图.
（3）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.
19、（本题满分14分）
已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。
（1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;
（2）若点E为PC的中点，求证BDEPA平面//；
（3）求由点A绕四棱锥P－ABCD的侧面一周回到点A的最短距离
20．（本题满分14分）
对任意函数,fxxD，可按右图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列nx。
（1）若定义函数421xfxx，且输入04965x，请写出数列nx的所有项；
（2）若定义函数sin02fxxxx，且要产生一 5 个无穷的常数列nx，试求输入的初始数据0x的值及相应数列nx的通项公式nx；
(3)若定义函数23fxx，且输入01x，求数列nx的通项公式nx。
6 参考答案
一、选择题：（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B C D C B
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9、12；甲 10、12 11、10 12、12 13、②③ 14、120
三、解答题：（共80分）
15.（本题12分）
(1)根据表中所列数据可得散点图如图：
(2)列出下表.
i 1 2 3 4 5
ix 2 4 5 6 8
iy 30 40 60 50 70
iixy 60 160 300 300 560
因此，252505,5055xy,
55522111145,13500,1380iiiiiiixyxy.
于是可得51522215138055506.5145555iiiiixyxybxx; …………………………8分
506.5517.5aybx， ……………………………10分
因此，所求回归方程是 6.517.5yx. ……………………………………12分
16、（本题12分） 解：（1）当6x时，
22220)1(sincoscos||||,cosxxxcacaca ………………2分
.65cos6coscosx ……………………………4分 3分 7 ,,0ca .65,ca ……………………………6分
（2）1)cossincos(212)(2xxxbaxf …………………7分
)1cos2(cossin22xxx
)42sin(22cos2sinxxx ………………………………9分
],89,2[x
]2,43[42x …………………………………10分
故],22.1[)42sin(x
∴当32,42x即78x时，min()2fx ………………12分
17、（本题14分）解：（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件(0,1,2,3),iAi则21323225315CCPACC ……………………………7分
（2）设“在1次游戏中获奖”为事件B，则23BAA，又
221113222222222535312CCCCCPACCCC…………………………………10分
且A2，A3互斥，所以23117()()().2510PBPAPA …………………………14分
18、（本题14分）
解：(1)3.0,4yx， ………………………… 2分
众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……………………4分
（2）其频率分布直方图如图所示：
…
