拉格朗日中值定理教学设计说明

教 学 设 计 第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。 2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。 2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：

知识回顾 引出定理，探究案例 类比学习，理解定理 六、教学情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(xf在0x的某领域内有定义，且在0x可导。若0x为f

的极值点，则必有0)(

0xf。它的几何意义在于：若函数)(xf在x0x可

导，那么在该点的切线平行于x轴。

2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。

定理6.1 (罗尔(Rolle)中值定理) 若函数f满足如下条件： (i)f在闭区间ba,上连续； (ii)f在开区间ba,内可导； (iii)bfaf， 则在ba,内至少存在一点，使得 0f . 1

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

升华、理解新知 课堂小结作业 证 因为f在ba,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两

种情况来讨论： (1)若Mm，则，f在ba,上必为常数，从而结论显然成立． (2)若Mm，则因bfaf，使得最大值M与最小值m至少有一个在ba,内某点处取得，从而是f的极值点．由条件(ii)，f在点处可导，故由费马定理推知 0f．

注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。 例1 设f为R上可导函数，证明：若方程0xf没有实根，则方程0xf至多有一个实根．

证 这可反证如下：倘若0xf有两个实根

1x和2x(设21xx)，则函数f在

21,xx上满足罗尔定理三个条件，从而存在21,xx，使0f，这与0xf的

假设相矛盾，命题得证．

3、类比学习，理解定理 定理6.2 (拉格朗日(Lagrange)中值定理) 若函数满足如下条件： fi在闭区间ba,上连续；

fii在开区间ba,内可导，

则在ba,内至少存在一点，使得 abafbff



. 2

显然，特别当bfaf时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．

证 作辅助函数

axabafbfafxfxF．

显然，0bfaF，且F在ba,上满足罗尔定理的另两个条件．故存在),,(ba 使 0)()()()(abbfaffF 移项后即得到所要证明的（2）式。 拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(xfy上至少存在一点))(,(fP，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB，（如图6—3所示 ）。

定理的结论称为拉格朗日公式。 4、升华、理解新知 注解 Note 1.定理的几何意义：在)(xfy上至少存在一点))(,(fP，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。

Note 2.定理只论证了的存在性，),(ba，不知道的准确数值，但并不妨碍它的应用.

Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式： ;),)(()()(baabfafbf （3）

;1),))((()()(oababafafbf （4） ;10,)()()(hhafafhaf （5） 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于ba，还是ba都成立，而则是介于a与b之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了)(aba，使得不论ba,为何值，总可为小于1的某一正数。

例题讲解 例2 证明对一切0,1hh成立不等式 hh1 hh)1ln(

。

证 设)1ln()(xxf，则

.10,11ln)1ln()1ln(hhhh

当h>0时，由0<<1可推知 1

hhhhhh11,11.

当—11>.

11,011hhhhhhh



从而得到所要证明的结论。

推论 推论1 若函数f在区间I上可导，且Ixxf,0)(，则f为I上一个常量函数． 证 任取两点Ixx

21, (设21xx)，在区间[21,xx]上应用拉格朗日定理，存在

Ixx),(21，使得 .0))(()()(1212xxfxfxf

这就证得f在区间I上任何两点之值相等． 由推论1又可进一步得到如下结论：

推论2 若函数f和g均在区间I上可导，且),()(xgxf，Ix，则在区间I上)(xf与)(xg只相差某一常数，即 cxgxf)()((c为某一常数)．

推论3 (导数极限定理) 设函数f在点0x的某邻域U(0x)内连续，在)(0xU

内可导，且极限)(lim0xfxx存在，则f在点0x可导，且

)(lim)(00xfxfxx



. (6)

证 分别按左右导数来证明(6)式成立．

(1) 任取)(0xUx，)(xf在[xx,0]上满足拉格朗日定理条件，则存在),(

0xx，

使得

)()()(00fxxxfxf (7)

由于，因此当 时，随之有 ，对 (7)式两边取极限，得到 )0()(lim)()(lim0000xffxxxfxfxxxxo



(2) 同理可得 )0()(00xfxf．

因为kxfxx)(lim0存在，所以,)0()0(00kxfxf 从而

)(0xf.)(,)(00kxfkxf即 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数 例题讲解 例3 求分段函数 0),1ln(,0,sin)(2xxxxx

xf

的导数。 解 首先易得







.0,11,0cos21)(,2xx

xxxxf

进一步考虑f在 0x处的导数．在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理．由于

),0(0)sin(lim0(lim),0(0)1ln(lim)(lim20000fxxxffxxfxxxx





因此f在0x处连续，又因

,111lim)00(,1)cos21(lim)00(020xfxxf

xx

所以.1)(lim0xfx依据导数极限定理推知f在0x处可导,且.1)0(f

5、 课堂小结与作业