2019年广东省广州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．23．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．104．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．47．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣29．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B中的不等式的解集，确定出集合A，B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合【解答】解：集合A={x|3x＞1}={x|x＞0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，则∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，故选：D．2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，则|z|=3，故选：B．3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，再计算数量积．【解答】解：=（5，﹣1），=（﹣1，﹣3）．∴=5×（﹣1）+（﹣1）×（﹣3）=﹣2．故选B．4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】全称命题．【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，∴函数f（x）的最小值是f（）=2，则a＜2，∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），故选：A．5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．【解答】解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，=2，y B=﹣2，可得y∴|AB|=4．故选：D．7．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．【解答】解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．故选A．8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣2【考点】函数单调性的性质．【分析】二次函数图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣，又y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，故1应在对称轴的左边．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c的对称轴是x=﹣，∵函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，又函数图象开口向上∴函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调减函数∴1≤﹣，∴b≤﹣2，∴b的取值范围是b≤﹣2．故选B．9．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b【考点】函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C．11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故答案选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x≠3．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x ≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算，即可得到结论【解答】解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故答案为：{x|﹣4＜x≤2}．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f满足f（x+3）•f （x）=﹣1，∴f（x+6）•f （x+3）=﹣1，∴f（x+6）=f（x），∴函数f（x）的周期为6，∵f（﹣1）=2，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（﹣）=求得A，由cosB=求得sinB，利用sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，得，即ω=2．当x=时，f（x）=1，可得sin（+φ）=1．∵φ＜，∴φ=．故．由图象可得f（x）的单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，又角A为锐角，∴A=．∵0＜B＜π，cosB=，∴，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的15人的成绩茎叶图，由样本得成绩在90分以上频率为，由此能计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数．（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），利用列举法能求出选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率．【解答】解：（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的15人的成绩茎叶图如右图所示，…3分由样本得成绩在90分以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人．…5分（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），…6分成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F}，{C，E，F}，共20种，…8分其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，共12种， (10)分∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为==．…12分19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，=V C1﹣BCD=••6=9．∴V20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，2b=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切，得25b2=k2+1，联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，由此能证明为定值．（Ⅲ）设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），从而=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin22θ，由此能求出|OM|•|ON|的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆C：（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为，得，即a=；由短轴长为，得2b=，即b=．∴椭圆C的方程为：9x2+16y2=1．（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：相切，∴直线MN方程为：x=或x=﹣，当直线方程为x=，得两点分别为（）和（），故=0，．同理当x=﹣时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与椭圆的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切得，即25b2=k2+1，①联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，∴△＞0，，，由=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）==，②由①②，得=0，即，综上，为定值．（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），∵M，N都在9x2+16y2=1上，∴=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ=9×16+（9﹣16）2sin22θ，又sin22θ∈[0，1]，故（）2∈[9×16，]，∴|OM|•|ON|的取值范围是[]．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）…①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；∴函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增；…（II）当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）不可能有两个零点；…当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；…则f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）连结BN，证明∠BEF+∠BNF=180°，即可证明B、E、F、N四点共圆；（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，即可得出结论．【解答】证明：（1）连结BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，则B、E、F、N四点共圆．…（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA﹣EA），∴BF•BM=AB2﹣AB•AE，∴BF•BM=AB2﹣AC2，即AC2+BF•BM=AB2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…当a＞0时，解集为，，无解；…当a＜0时，解集为，令，，综上所述，．…（Ⅱ）当a=2时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|4x+1|﹣|2x﹣3|=…由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，则当时，h（x）取到最小值，…由题意知，，则实数m的取值范围是…。
2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可．【详解】在集合中，得，即，在集合中在上递增，且，所以，即,则．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的单调性，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A. S＝2，这5个数据的方差B. S＝2，这5个数据的平均数C. S＝10，这5个数据的方差D. S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8.的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以. 故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.9.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。
2019年广东省高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|12}A x x =-<,{|1216}x B x =<<,则(A B = )A.(,8)-∞B.(,3)-∞C.(0,8)D.(0,3)2.(5分)复数5(1i z i i=-为虚数单位)的虚部为( )A.12-B.12C.12i -D.12i 3.(5分)双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A.5(12±,0) B.5(0,)12±C.(5,0)±D.(0,5)±4.(5分)若3sin()2πα+=则cos 2(α= ) A.12-B.13-C.13D.125.(5分)已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,且当[2x ∈-,1]时,2()24f x x x =--,则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A.(,1)-∞-B.(,3)-∞C.(1,3)-D.(1,)-+∞6.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π7.(5分)执行如图的程序框图,依次输入117x =,219x =,320x =,421x =,523x =,则输出的S 值及其统计意义分别是( )A.4S =,即5个数据的方差为4B.4S =,即5个数据的标准差为4C.20S =,即5个数据的方差为20D.20S =,即5个数据的标准差为208.(5分)ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知cos cos 1b bC A c a+=,则cos B 的取值范围为( ) A.1(,)2+∞B.1[,)2+∞ C.1(2,1) D.1[2,1) 9.(5分)已知A ,B ,C 三点不共线,且点O 满足161230OA OB OC --=,则( ) A.123OA AB AC =+ B.123OA AB AC =- C.123OA AB AC =-+ D.123OA AB AC =--10.(5分)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ,CB ,使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项,即满足0.618AC BC AB AC ==≈.后人把这个数称为黄金分割数,把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ∆中,若点P ,Q 为线段BC 的两个黄金分割点,在ABC ∆内任取一点M ,则点M 落在APQ ∆内的概率为( )2 11.(5分)已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点,直线112y x =+与曲线C 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则(OAB S ∆= )D.12.(5分)函数()(2)f x kx lnx =-,()2g x lnx x =-,若()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数,则k 的取值范围为( ) A.1[122ln -,41)33ln - B.1(122ln -,41]33ln - C.41[33ln -,12)22ln - D.41(33ln -,12]22ln -二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.(5分)已知函数,1(),1x lnx x f x e x >⎧=⎨⎩…,则(f f (2))= .14.(5分)设x ,y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………,则2z x y =+的最大值为 .15.(5分)在三棱锥P ABC -中,AP ,AB ,AC 两两垂直,且AP AB AC ==,则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 .16.(5分)已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>,点P ,Q ,R 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点,且32||||2PQ QR π==,则m ω+= . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,1(*)n n S a n N =-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =,求数列11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.(12分)在五面体ABCDEF 中,四边形C D E F 为矩形,2224CD DE AD AB ====,AC =30EAD ∠=︒.(1)证明：AB ⊥平面ADE ； (2)求该五面体的体积.19.(12分)某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系,经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy,再求ˆy 与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+,并判断此方程是否是“恰当回归方程”；(3)为了使等候的乘客不超过35人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟？附：对于一组数据1(x ,1)y ,2(x ,2)y ,⋯⋯,(n x ,)ny ,其回归直线ˆˆˆybxa =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnxxx ====---==--∑∑∑∑,ˆˆa y bx =-,411546i ii x y ==∑. 20.(12分)已知点,都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ,Q (异于顶点),记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ,2A ,若直线1A P 与2A Q 交于点S ,证明：点S 恒在直线4y =上. 21.(12分)已知函数()2()x f x e ax a R =-∈(1)若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直,求该切线方程；(2)当0a >时,证明2()44f x a a -+…(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数)已知点(4,0)Q ,点P 是曲线l C 上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；(2)已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ,B 两点,若3OA AB =,求k 的值. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->. (1)求()f x 的最小值；(2)若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ,且43n m -=,求a 的值.2019年广东省高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|12}A x x =-<,{|1216}x B x =<<,则(A B = )A.(,8)-∞B.(,3)-∞C.(0,8)D.(0,3)【解答】解：集合{|12}(,3)A x x =-<=-∞,{|1216}(0,4)x B x =<<=(0,3)A B ∴=.故选：D .2.(5分)复数5(1i z i i=-为虚数单位)的虚部为( )A.12-B.12C.12i -D.12i 【解答】解：541(1)11111(1)(1)22i i i i i z i i i i i i ++=====-+----+, 51i z i∴=-的虚部为12. 故选：B .3.(5分)双曲线229161x y -=的焦点坐标为( ) A.5(12±,0) B.5(0,)12±C.(5,0)±D.(0,5)±【解答】解：双曲线229161x y -=的标准方程为：22111916x y -=, 可得13a =,14b =,512c ==, 所以双曲线的焦点坐标为5(0,)12±.故选：B . 4.(5分)若3sin()2πα+=则cos 2(α= ) A.12-B.13-C.13D.12【解答】解：3sin()cos 2παα+=-=,则21cos22cos 13αα=-=-, 故选：B .5.(5分)已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减,且当[2x ∈-,1]时,2()24f x x x =--,则关于x 的不等式()1f x <-的解集为( ) A.(,1)-∞- B.(,3)-∞ C.(1,3)- D.(1,)-+∞【解答】解：[2x ∈-,1]时,2()24f x x x =--；(1)1f ∴-=-；()f x 在(,)-∞+∞上单调递减； ∴由()1f x <-得,()(1)f x f <-； 1x ∴>-；∴不等式()1f x <-的解集为(1,)-+∞.故选：D .6.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.3πB.4πC.6πD.8π【解答】解：由三视图知,几何体是一个简单组合体,左侧是一个半圆柱,底面的半径是1,高为：4,右侧是一个半圆柱,底面半径为1,高是2, ∴组合体的体积是：231232ππ⨯⨯⨯=,故选：A .7.(5分)执行如图的程序框图,依次输入117x =,219x =,320x =,421x =,523x =,则输出的S 值及其统计意义分别是( )A.4S =,即5个数据的方差为4B.4S =,即5个数据的标准差为4C.20S =,即5个数据的方差为20D.20S =,即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图,输出的S 是117x =,219x =,320x =,421x =,523x =这5个数据的方差,1(1719202123)205x =++++=,∴由方差的公式222221[(1720)(1920)(2020)(2120)(2320)]45S =-+-+-+-+-=.故选：A .8.(5分)ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知cos cos 1b bC A c a+=,则cos B 的取值范围为( )A.1(,)2+∞B.1[,)2+∞ C.1(2,1) D.1[2,1) 【解答】解：cos cos 1b bC A c a+=, ∴由余弦定理可得：222222122b a b c b b c a c ab a bc+-+-+=,化简可得：2b ac =, 由余弦定理可得；2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===…,∴1cos 12B <…,即：1cos [2B ∈,1). 故选：D .9.(5分)已知A ,B ,C 三点不共线,且点O 满足161230OA OB OC --=,则( ) A.123OA AB AC =+ B.123OA AB AC =- C.123OA AB AC =-+ D.123OA AB AC =--【解答】解：由题意,可知：对于:12312()3()12315A OA AB AC OB OA OC OA OB OC OA =+=-+-=+-, 整理上式,可得： 161230OA OB OC --=,这与题干中条件相符合, 故选：A .10.(5分)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ,CB ,使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项,即满足0.618AC BC AB AC ==≈.后人把这个数称为黄金分割数,把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ∆中,若点P ,Q 为线段BC 的两个黄金分割点,在ABC ∆内任取一点M ,则点M 落在APQ ∆内的概率为( )2 【解答】解：设BC a =,由点P ,Q 为线段BC 的两个黄金分割点,所以BQ =,CP =,所以2)PQ BQ CP BC a =+-=,::2):2APQ ABC S S PQ BC a a ∆∆==,由几何概型中的面积型可得：在ABC ∆内任取一点M ,则点M 落在APQ ∆内的概率为2APQ ABCS S ∆∆=,故选：B .11.(5分)已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点,直线112y x =+与曲线C 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则(OAB S ∆= )D.【解答】解：抛物线2:4C x y =的焦点(0,1),设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y , F ∴且倾斜角为60︒的直线112y x =+,∴21124y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩,整理得：2240x x --=, 由韦达定理可知：122x x +=,123y y +=由抛物线的性质可知：12||235AB p y y =++=+=, 点O 到直线112y x =+的距离d,d =∴则OAB ∆的面积S ,1||52S AB d ==. 故选：C .12.(5分)函数()(2)f x kx lnx =-,()2g x lnx x =-,若()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数,则k 的取值范围为( ) A.1[122ln -,41)33ln - B.1(122ln -,41]33ln -C.41[33ln -,12)22ln -D.41(33ln -,12]22ln -【解答】解：当1x >时,0lnx >, 由()()f x g x <得(2)2kx lnx lnx x -<-, 即22x kx lnx -<-,即4xkx lnx<-, 设()4x h x lnx=-, 则2211()()()lnx xlnx x h x lnx lnx --'=-=-, 由()0h x '>得(1)0lnx -->得1lnx <,得1x e <<,此时()h x 为增函数, 由()0h x '<得(1)0lnx --<得1lnx >,得x e >,此时()h x 为减函数, 即当x e =时,()h x 取得极大值h (e)44ee lne=-=-, 作出函数()h x 的图象,如图, 当1x →时,()h x →-∞, h (3)343ln =-,h (4)424442ln ln =-=-,即3(3,4)3A ln -,2(4,4)2B ln -, 当直线y kx =过A ,B 点时对应的斜率34413333A ln k ln -==-,24121422Bln k ln -==-,要使()()f x g x <在(1,)+∞上的解集中恰有两个整数, 则对应的整数为2x =,和3x =, 即直线y kx =的斜率k 满足B B k k k <…, 即14112233k ln ln -<-…, 即实数k 的取值范围是1(122ln -,41]33ln -, 故选：B .二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.(5分)已知函数,1(),1x lnx x f x e x >⎧=⎨⎩…,则(f f (2))= 2 .【解答】解：f (2)2ln =,(f f ∴(2)2)(2)2ln f ln e ===. 故答案为：2.14.(5分)设x ,y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………,则2z x y =+的最大值为 7 .【解答】解：画出x ,y 满足约束条件321102101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………表示的平面区域,如图所示,由32110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩,解得点(3,1)A ,结合图形知,直线20x y z +-=过点A 时, 2z x y =+取得最大值为2317⨯+=.故答案为：7.15.(5分)在三棱锥P ABC -中,AP ,AB ,AC 两两垂直,且AP AB AC ==,则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 (4π- .【解答】解：如图,由AP ,AB ,AC 两两垂直,且AP AB AC ===得PB PC BC ==∴12PBC S ∆==, 设三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ,利用等体积可得：1111(33232r ⨯⨯⨯,解得r =∴三棱锥P ABC -的内切球的表面积为24(4S ππ=⨯=-.故答案为：(4π-.16.(5分)已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>,点P ,Q ,R 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点,且32||||2PQ QR π==,则m ω+= 179. 【解答】解：函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>,由32||||2PQ QR π==,解得3||4PQ π=,9||||4T PQ QR π∴=+=,228994T ππωπ∴===, 设0(P x ,)m ,则0(2TQ x -,)m ,0(R T x +,)m ,0||22T PQ x ∴=-,0||22TQR x =+, 002(2)222T Tx x ∴-=+,解得031216T x π==, 83111sin()1916222m π∴=⨯+=+=,817199m ω∴+=+=. 故答案为：179. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,1(*)n n S a n N =-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =,求数列11{}n n b b +的前n 项和n T . 【解答】解：(1)数列{}n a 的前n 项和为n S ,1(*)n n S a n N =-∈①. 当1n =时, 解得：112a =, 当2n …时,111n n S a --=-.② ①-②得：12n n a a -=, 所以：112n n a a -=(常数), 故：数列{}n a 是以12为首项,12为公比的等比数列. 则：1111()()222n nn a -==(首项符合通项), 所以：1()2n n a =.(2)由于：1()2n n a =,则：2log n n b a n ==-.所以：1(1)n b n +=-+, 则：11111(1)1n n b b n n n n +==-++, 故：11111122311n nT n n n =-+-+⋯+-=++. 18.(12分)在五面体A B C D E F 中,四边形C D E F 为矩形,2224CD DE AD AB ====,AC =30EAD ∠=︒.(1)证明：AB ⊥平面ADE ； (2)求该五面体的体积.【解答】解：(1)证明：因为2AD =,4DC =,AC = 所以222AD DC AC +=, 所以AD CD ⊥, 又四边形CDEF 为矩形, 所以CD DE ⊥, 所以CD ⊥面ADE , 所以EF ⊥面ADE ,由线面平行的性质定理得：//AB EF , 所以AB ⊥面ADE(2)几何体补形为三棱柱,2DE =,2AD =,2AB =,30EAD ∠=︒.可得E 到底面ABCD 的距离为：2sin 60︒=该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F BCH -的体积,可得11122sin120422232⨯⨯⨯︒⨯+⨯⨯⨯.19.(12分)某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系,经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy,再求ˆy 与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+,并判断此方程是否是“恰当回归方程”；(3)为了使等候的乘客不超过35人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟？附：对于一组数据1(x ,1)y ,2(x ,2)y ,⋯⋯,(n x ,)n y ,其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnxxx ====---==--∑∑∑∑,ˆˆa y bx =-,411546i ii x y ==∑. 【解答】解：(1)设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A , 记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种, 其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种, 所以52()1153P A =-=. (2)后面4组数据是：因为121314152629283113.5,28.544x y ++++++====,442111546,734i ii i i x yx ====∑∑,所以1222127571546422ˆ 1.42773442ni ii nii x ynxybxnx==--⨯⨯===--⨯∑∑,ˆˆ28.5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=, 所以ˆ 1.49.6yx =+. 当10x =时,ˆ 1.4109.623.6,23.6230.61y=⨯+=-=<, 当11x =时,ˆ 1.4119.625,252501y=⨯+=-=<, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.49.635x +…,得1187x …,故间隔时间最多可设置为18分钟.20.(12分)已知点,都在椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,1)M 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ,Q (异于顶点),记椭圆与y 轴的两个交点分别为1A ,2A ,若直线1A P 与2A Q 交于点S ,证明：点S 恒在直线4y =上. 【解答】解：(1)由题意可得22222113112a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得24a =,22b =,故椭圆C 的方程为22142y x +=.证明：(2)易知直线l 的斜率存在且不为0,设过点(0,1)M 的直线l 方程为1y kx =+,(0)k ≠,1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,由221142y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消y 可得22(2)230k x kx ++-=,12222k x x k ∴+=-+,12232x x k =-+, 1(0,2)A ,2(0,2)A -,∴直线1A P 的方程为11111212122()2y kx y x x k x x x x -+-=+=+=-+, 则直线2A Q 的方程为222232()2y y x k x x +=-=+-, 由121()23()2y k x x y k x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,消x 可得12122k x y y k x --=++, 整理可得221212121212121212121212324646246()4(3)46()224443333kkkx x x x kx x x x x x kx x x x k k y x x x x x x x x -+⨯+--+++-+++===+=+=++++,直线1A P 与2A Q 交于点S ,则点S 恒在直线4y =上21.(12分)已知函数()2()x f x e ax a R =-∈(1)若曲线()y f x =在0x =处的切线与直线220x y +-=垂直,求该切线方程； (2)当0a >时,证明2()44f x a a -+… 【解答】(1)解：()2x f x e a '=-, (0)122f a '=-=,解得：12a =-,()x f x e x ∴=+,则(0)1f =.∴切线方程为112y x =-+；(2)证明：()2x f x e a '=-,由()20x f x e a '=-=,解得2x ln a =.∴当(,2)x ln a ∈-∞时,()0f x '<,当(2,)x ln a ∈+∞时,()0f x '>.()f x ∴在(,2)ln a -∞上单调递减,在(2,)ln a +∞上单调递增.2()(2)22222ln a min f x f ln a e aln a a aln a ∴==-=-.令g (a)22222442222(0)a aln a a a a a aln a a =-+-=-->. 要证g (a)0…,即证120a ln a --…, 令h (a)12a ln a =--,则h '(a)111a a a-=-=, 当(0,1)a ∈时,h '(a)0<,当(1,)a ∈+∞时,h '(a)0>, h ∴(a)h …(1)0=,即120a ln a --…. 2()44f x a a ∴-+….(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数)已知点(4,0)Q ,点P 是曲线l C 上任意一点,点M 为PQ 的中点,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；(2)已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ,B 两点,若3OA AB =,求k 的值. 【解答】解：(1)消去θ得曲线1C 的普通方程为：224x y +=,设(,)M x y 则(24,2)P x y -在曲线1C 上,所以22(24)(2)4x y -+=,即22(2)1x y -+=,即22430x y x +-+=,2C 轨迹的极坐标方程为：24cos 30ρρθ-+=.(2)如图：取AB 的中点M ,连CM ,CA ,在直角三角形CMA 中,222211()124CM CA AB AB =-=-,①在直角三角形CMO 中,222227494()424CM OC OM AB AB =-=-=-,②由①②得12AB =,74OM ∴=,CM =474CM k OM ===.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||2|1|(0)f x x a x a =++->. (1)求()f x 的最小值；(2)若不等式()50f x -<的解集为(,)m n ,且43n m -=,求a 的值. 【解答】解：(1)32,()2,132,1x a x a f x x a a x x a x --+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+-⎩……,1x ∴=时,()f x 的最小值为1a +.(2)如图所示： 当1522a a +<<+即342a <<时,()50f x -<的解集为(3,1)3aa --,44134333a a a ∴--+=-=,2a ∴=符合, 当225a +…即302a <…时,()f x 的解集 为(13a --,1)3a -,4112333a a ∴-++=≠.综上可得2a =.第21页（共21页）。
2019届广州市高三期末调研测试文科数学2018．12 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合P,利用交集的定义求解即可.【详解】集合，，所以故选D.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算可得，进而可得模长.【详解】由，可得..故选C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的定义先可排除选项A,D再利用函数单调性判断B,C，即可得选项.【详解】由奇函数的定义，可知A,D不满足奇函数的定义，排除A,D；由与均为增函数，知为增函数，B正确；对于，有，所以为减函数，D不正确.故选B.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题.4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在8月C. 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】【分析】根据已知中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【详解】由已有中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选C.【点睛】本题主要考查了学生的读题能力和信息处理能力，属于基础题.5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形.其中底面ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为 .球体积为： .故选A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.6.已知的边上有一点满足，则可表示为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.7.已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论双曲线的焦点轴，设出方程，根据条件列出方程组求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，解得，所以.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，方程无解.综上的方程为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，注意题中没有交代焦点轴时，解题时需要分情况讨论，属于中档题.8.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换可直接得解.【详解】由的图象向左平移个单位，可得到.再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到.故选A.【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9.是直线和平行的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．10.若实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到取值范围即可.【详解】作出不等式的可行域，如图所示：由，即.平移此直线经过点A（0,5）时，z取得最小值-5，经过点B(2,1)时，z有最大值3，所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.已知的内角, , 的对边分别是, , ，且，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∴,∴∴,又∴的取值范围为故选：B12.已知椭圆Γ：的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可将椭圆化简为，为简化计算，令，直线与椭圆联立，根据条件可得，再由结合韦达定理求解即可.【详解】根据题意可知，所以.椭圆Γ：,可化为：.过右焦点F且斜率为的直线为：，即.为简化计算，令，则.由，联立可得：. ①设，由可得.由①可得：.因为，所以.解得，所以，由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，通过韦达定理解决方程问题，属于中档题.二、填空题。
