2019届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)文科数学(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(二)注意事项:1.答题前,考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位,则复数z=i(2-i)的共轭复数=A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD. 1-2i2.已知集合A={x|-1<x<6},集合B={x|x2<4},则A∩(∁R B)=A.{x|-1<x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|2≤x<6}D.{x|2<x<6}3.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的,且样本容量为200,则中间一组的频数为A.0.2B.0.25C.40D.504.设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是A.(1,8)B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.设S n为等差数列的前n项和,若公差d=1,S9-S4=10,则S17=A.34B.36C.68D.726.某几何体的三视图如下图所示,三个视图都是半径相等的扇形,若该几何体的表面积为,则其体积为7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为8.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递增,且为奇函数.已知f(1)=2,f(2)=3,则满足-3<f(x-3)<2的x的取值范围是A.(1,4)B.(0,5)C.(1,5)D.(0,4)9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位: mm)进行质检,若从这批轮胎中随机选取3个,至少有2个轮胎的宽度在195±3内,则称这批轮胎基本合格.已知这批轮胎的宽度分别为195,196,190,194,200,则这批轮胎基本合格的概率为10.函数f(x)=2sin(ω≠0)的部分图象不可能为11.若函数f(x)=x3-k e x在(0,+∞)上单调递减,则k的取值范围为12.已知直线x=2a与双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C的左、右焦点分别为F1 ,F2,且cos∠PF2F1=-,则双曲线C的离心率为二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数f(x)=log2(x+a)的零点为-2,则a=▲.14.若x,y满足约束条件则的最大值为▲.15.在四棱锥P-ABCD中,PA与矩形ABCD所在平面垂直,AB=3,AD=,PA=,则直线PC与平面PAD所成角的正切值为▲.16.在数列中,a n+1=2(a n-n+3),a1=-1,若数列为等比数列,其中p,q为常数,则a p+q=▲.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在△ABC中,AC=3,C=120°.(1)若AB=7,求BC边的长;(2)若cos A=sin B,求△ABC的面积.18.(12分)《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”, 分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.(1)根据题意,填写下面的2×2列联表,并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生.(ⅰ)求这11名学生中女生的人数;(ⅱ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数),求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值.附:K2=,其中n=a+b+c+d.19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,AC⊥AB,AC=AB=4,AA1=6,点E,F分别为CA1与AB的中点.(1)证明:EF∥平面BCC1B1.(2)求三棱锥B1-AEF的体积.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点.(1)证明:△AOB为钝角三角形.(2)若直线l与直线AB平行,直线l与抛物线C相切,切点为P,且△PAB的面积为16,求直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a ln x.(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间;(2)已知a∈(1,2],b∈R,函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x.若f(x)的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcos θ=-1的垂线,垂足分别为M,N,求|PM|+|PN|的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=+-k.(1)当k=4时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若不等式f(x)≥对x∈R恒成立,求k的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.D2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.A9.C10.B11.C12.B13.314.15.16.4017.解:(1)由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos C, 1分代入数据整理得BC2+3BC-40=0, 3分解得BC=5(BC=-8舍去).5分(2)由cos A=sin B及C=120°,得cos(60°-B)=sin B, 6分展开得cos B+sin B-sin B=0, 7分即sin B=cos B,tan B==, 8分所以B=30°.9分从而A=60°-B=30°,即A=B=30°,所以BC=AC=3.10分故△ABC的面积为×3×3×sin 120°=.12分评分细则:第(1)问中,只要由余弦定理得到BC=5,就给5分;第(2)问中,cos(60°-B)=sin B是关键,得到B=30°或A=30°,就给3分.18.解:(1)填写列联表如下:4分因为K2的观测值k==<2.706, 6分所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.7分(2)(ⅰ)这11名学生中,被抽到的女生人数为20×=5.9分(ⅱ)因为入围的分数不低于120分,且每个女生的测试分数各不相同,每个人的分数都是整数,所以这11名学生中女生的平均分的最小值为=122.12分评分细则:第(1)问计算得到K2的观测值k=即可得1分.19.(1)证明:如图,连接BC1.1分在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AC1的中点.2分又因为F为AB的中点,所以EF∥BC1.3分又EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.5分(2)解:因为AC⊥AB,AA1⊥AC,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面ABB1A1, 7分又AC=4,E为A1C的中点,所以E到平面ABB1A1的距离为×4=2.9分因为△AB1F的面积为×2×6=6, 10分所以==×2×6=4.12分评分细则:第(1)问中,先证面面平行,再证线面平行,也是常见的方法,阅卷时应同样给分.20.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-4kx-4=0, 1分则x1x2=-4, 2分所以y1y2==1, 3分从而·=x1x2+y1y2=-3<0, 4分则∠AOB为钝角,故△AOB为钝角三角形.5分(2)解:由(1)知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 6分则|AB|=y1+y2+p=4k2+4.7分由x2=4y,得y=,y'=,设P(x0,y0),则x0=k,x0=2k,y0=k2,则点P到直线y=kx+1的距离d=.9分从而△PAB的面积S=d|AB|=2(k2+1)=16, 10分解得k=±, 11分故直线l的方程为y=±x-3.12分评分细则:第(1)问中,得到x1x2,y1y2的值分别给1分;若只是得到其中一个,且得到·=-3<0 ,可以共给3分.21.(1)解:当a=-4时,f(x)=x2+3x-4ln x,定义域为(0,+∞).1分f'(x)=x+3-==.2分当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区间为(1,+∞); 3分当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 则f(x)的单调递减区间为(0,1).4分(2)证明:f'(x)==, 5分g'(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.6分令p(x)=3x2+(2b+3)x-1.因为a∈(1,2],所以f(x)的极小值点为a,则g(x)的极小值点为a, 8分所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=, 9分此时g(x)的极大值为g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=a--.10分因为a∈(1,2],所以a--≤×2--=.11分故g(x)的极大值不大于.12分评分细则:第(1)问中,计算导数时未因式分解不扣分;第(2)问中,计算g(x)的导数时未因式分解扣1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, 3分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程.4分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π,6分则|PM|=3+sin α, 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α.8分所以|PM|+|PN|=6+sin, 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+.10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+<4.1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2;3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<.4分故f(x)<0的解集为.5分(2)因为f(x)=+-k≥|x+1+2-x|-k=3-k, 6分所以f(x)的最小值为3-k.7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥, k+3≥0，所以9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1].10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分;第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.D2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.B13.3 14.43 15.34 16.4017.解:(1)由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2-2BC×AC×cos C , ............................................................................................. 1分 代入数据整理得BC 2+3BC-40=0,.................................................................................................................................. 3分 解得BC=5(BC=-8舍去). ............................................................................................................................................... 5分(2)由cos A=√3sin B 及C=120°,得cos(60°-B )=√3sin B , .................................................................................................................................................. 6分 展开得12cos B+√32sin B-√3sin B=0, ............................................................................................................................... 7分 即√32sin B=12cos B ,tan B=sinB cosB =√33, ................................................................................................................................. 8分 所以B=30°. ..................................................................................................................................................................... 9分 从而A=60°-B=30°,即A=B=30°,所以BC=AC=3. ............................................................................................................................................................ 10分 故△ABC 的面积为12×3×3×sin 120°=9√34. .................................................................................................................. 12分 评分细则:第(1)问中,只要由余弦定理得到BC=5,就给5分;第(2)问中,cos(60°-B )=√3sin B 是关键,得到B=30°或A=30°,就给3分.18.解:(1)填写列联表如下:性别入围人数 未入围人数 总计 男生24 76 100 女生20 80100总计 44 156 200......................................................................................................................................................................................... 4分因为K 2的观测值k=200×(24×80-76×20)2100×100×44×156=200429<2.706, ............................................................................................... 6分 所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关. .............................................................. 7分(2)(ⅰ)这11名学生中,被抽到的女生人数为20×1144=5. ............................................................................................... 9分(ⅱ)因为入围的分数不低于120分,且每个女生的测试分数各不相同,每个人的分数都是整数,所以这11名学生中女生的平均分的最小值为120+121+122+123+1245=122. ......................................................... 12分 评分细则:第(1)问计算得到K 2的观测值k=200429即可得1分.19.(1)证明:如图,连接BC 1. ............................................................................................................................................. 1分 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,E 为AC 1的中点. ................................................................................................................... 2分 又因为F 为AB 的中点,所以EF ∥BC 1. ................................................................................................................................................................ 3分 又EF ⊄平面BCC 1B 1,BC 1⊂平面BCC 1B 1,所以EF ∥平面BCC 1B 1. ................................................................................................................................................. 5分(2)解:因为AC ⊥AB ,AA 1⊥AC ,AA 1∩AB=A ,所以AC ⊥平面ABB 1A 1, ............................................................................ 7分 又AC=4,E 为A 1C 的中点,所以E 到平面ABB 1A 1的距离为12×4=2. ............................................................................ 9分 因为△AB 1F 的面积为12×2×6=6, ................................................................................................................................. 10分 所以V B 1-AEF =V E -AB 1F =13×2×6=4. .............................................................................................................................. 12分 评分细则:第(1)问中,先证面面平行,再证线面平行,也是常见的方法,阅卷时应同样给分.20.(1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{y =kx +1,x 2=4y,得x 2-4kx-4=0, ............................................................................... 1分 则x 1x 2=-4, ....................................................................................................................................................................... 2分 所以y 1y 2=(x 1x 2)216=1, ...................................................................................................................................................... 3分 从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=-3<0, ...................................................................................................................................... 4分 则∠AOB 为钝角,故△AOB 为钝角三角形. ................................................................................................................... 5分(2)解:由(1)知,x 1+x 2=4k ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, ....................................................................................................... 6分 则|AB|=y 1+y 2+p=4k 2+4. ................................................................................................................................................. 7分 由x 2=4y ,得y=x 24,y'=x 2,设P (x 0,y 0),则12x 0=k ,x 0=2k ,y 0=k 2,则点P 到直线y=kx+1的距离d=√k 2+1. ................................................................................................................ 9分 从而△PAB 的面积S=12d|AB|=2(k 2+1)√k 2+1=16, ................................................................................................ 10分 解得k=±√3, ................................................................................................................................................................. 11分 故直线l 的方程为y=±√3x-3. ..................................................................................................................................... 12分 评分细则: 第(1)问中,得到x 1x 2,y 1y 2的值分别给1分;若只是得到其中一个,且得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-3<0 ,可以共给3分. 21.(1)解:当a=-4时,f (x )=12x 2+3x-4ln x ,定义域为(0,+∞). .............................................................................................. 1分f'(x )=x+3-4x =x 2+3x -4x =(x -1)(x+4)x . .................................................................................................................................. 2分 当x>1时,f'(x )>0,f (x )单调递增,则f (x )的单调递增区间为(1,+∞); ................................................................................ 3分 当0<x<1时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 则f (x )的单调递减区间为(0,1). .............................................................................. 4分(2)证明:f'(x )=x 2-(a+1)x+a x =(x -1)(x -a)x, ........................................................................................................................... 5分 g'(x )=3x 2+2bx-(2b+4)+1x =(x -1)[3x 2+(2b+3)x -1]x . .......................................................................................................... 6分 令p (x )=3x 2+(2b+3)x-1.因为a ∈(1,2],所以f (x )的极小值点为a ,则g (x )的极小值点为a , ................................................................................. 8分 所以p (a )=0,即3a 2+(2b+3)a-1=0,即b=1-3a 2-3a 2a, ......................................................................................................... 9分 此时g (x )的极大值为g (1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-1-3a 2-3a 2a =32a-12a -32. ......................................................................... 10分 因为a ∈(1,2],所以32a-12a -32≤32×2-12×2-32=54. .................................................................................................................. 11分 故g (x )的极大值不大于54. ............................................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,计算导数时未因式分解不扣分;第(2)问中,计算g (x )的导数时未因式分解扣1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x 2+y 2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 3分 即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C 的直角坐标方程. ...................................................................................................... 4分(2)由(1)可设P 的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分 则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分 又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分 所以|PM|+|PN|=6+√2sin (α+π4), .............................................................................................................................. 9分 故当α=π4时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+√2. ............................................................................................ 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P 的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f (x )<0,得|x +1|+|2-x |<4. ....................................................................................................................... 1分 当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-32<x<-1; ............................................................................................................................ 2分 当-1≤x ≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x ≤2; ............................................................................................................... 3分 当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<52. ............................................................................................................................... 4分 故f (x )<0的解集为(-32,52). ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f (x )=|x +1|+|2-x |-k ≥|x+1+2-x|-k=3-k , ........................................................................................................ 6分 所以f (x )的最小值为3-k. ................................................................................................................................................ 7分 因为不等式f (x )≥√k +3对x ∈R 恒成立,所以3-k ≥√k +3, k+3≥0，所以{3-k ≥0,(3-k)2≥k +3,................................................................................................................................................. 9分 解得-3≤k ≤1,则k 的取值范围为[-3,1]. .......................................................................................................................... 10分 评分细则:第(1)问中,先将f (x )化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分;第(2)问中,未写3-k ≥0,扣1分.。

广东省2019届普通高校招生全国统一考试模拟试卷（二）数 学（文科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 设i 为虚数单位,则复数z=i(2-i)的共轭复数z=A ．-1+2iB ．-1-2iC ．1+2iD ．1-2i 2． 已知集合A={x|-1<x<6},集合B={x|x 2<4},则A ∩(∁R B )=A ．{x|-1<x<2}B ．{x|-1<x ≤2}C ．{x|2≤x<6}D ．{x|2<x<6} 3． 在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的31,且样本容量为200,则中间一组的频数为 A ．0.2 B ．0.25 C ．40 D ．50 4．设向量a 与向量b 垂直,且a=(2,k ),b=(6,4),则下列向量与向量a+b 共线的是A ．(1,8)B ．(-16,-2)C ．(1,-8)D ．(-16,2) 5． 设S n 为等差数列的前n 项和,若公差d=1,S 9-S 4=10,则S 17=A ．34B ．36C ．68D ．72 6． 某几何体的三视图如下图所示,三个视图都是半径相等的扇形,若该几何体的表面积为,则其体积为A ．32πB ．322πC ．1477010πD ．147705π7． 阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y 轴上,且椭圆C 的离心率为47,面积为12π,则椭圆C 的方程为 A ． 116922=+y xB ． 14322=+y xC ． 1321822=+y xD ．136422=+y x8． 函数f (x )在(-∞,+∞)单调递增,且为奇函数.已知f (1)=2,f (2)=3,则满足-3<f (x-3)<2的x 的取值范围是A ．(1,4)B ．(0,5)C ．(1,5)D ．(0,4) 9． 某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位: mm)进行质检,若从这批轮胎中随机选取3个,至少有2个轮胎的宽度在195±3内,则称这批轮胎基本合格.已知这批轮胎的宽度分别为195,196,190,194,200,则这批轮胎基本合格的概率为A ．52 B ．53 C ．107 D ．54 10．函数f (x )=2sin (ω≠0)的部分图象不可能为11．若函数f (x )=x 3-k e x 在(0,+∞)上单调递减,则k 的取值范围为A ．),0[+∞B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,273eC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,122eD ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,3e 12．已知直线x=2a 与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线交于点P ,双曲线C 的左、右焦点分别为F 1 ,F 2,且cos ∠PF 2F 1=41-，则双曲线C 的离心率为A ．35B ．1116C ．35或3D ．1116或4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．若函数f (x )=log 2(x +a )的零点为-2,则a= ▲ .14．若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤,4,102,4y y x x 则x y的最大值为 ▲ .15．在四棱锥P-ABCD 中,PA 与矩形ABCD 所在平面垂直,AB=3,AD=,PA=,则直线PC 与平面PAD 所成角的正切值为 ▲ . 16．在数列中,a n+1=2(a n -n+3),a 1=-1,若数列为等比数列,其中p ,q 为常数,则a p+q =▲ .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17．(12分)在△ABC中,AC=3,C=120°.(1)若AB=7,求BC边的长;(2)若cos A=sin B,求△ABC的面积.18．(12分)《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”, 分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.(1)根据题意,填写下面的2×2列联表,并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生.(ⅰ)求这11名学生中女生的人数;(ⅱ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数),求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值.附：K2=,其中n=a+b+c+d.19．(12分)如图,在三棱柱AB C－A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,AC⊥AB,AC=AB=4,AA1=6,点E,F分别为CA1与AB的中点.(1)证明:EF∥平面BCC1B1.(2)求三棱锥B1－AEF的体积.20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线y=kx+1与抛物线C:x 2=4y 交于A ,B 两点. (1)证明:∆AOB 为钝角三角形.(2)若直线l 与直线AB 平行,直线l 与抛物线C 相切,切点为P ,且∆PAB 的面积为16,求直线l 的方程.21．(12分)已知函数f (x )=21x 2-(a+1)x+a ln x. (1)当a =－4时,求f (x )的单调区间;(2)已知a ∈(1,2],b ∈R,函数g (x )=x 3+bx 2－(2b+4)x+ln x.若f (x )的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于45.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4－4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0. (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcos θ=－1的垂线,垂足分别为M,N,求|PM|+|PN|的最大值.23．[选修4－5:不等式选讲](10分)设函数f (x )=+-k. (1)当k=4时,求不等式f (x )<0的解集; (2)若不等式f (x )≥对x ∈R 恒成立,求k 的取值范围.数学（文科）参考答案评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.D2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.B 13.3 14.34 15.4316.4017.解:(1)由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2-2BC×AC×cos C , 1分代入数据整理得BC 2+3BC-40=0,3分 解得BC=5(BC=-8舍去). 5分 (2)由cos A=sin B 及C=120°,得cos(60°-B )=sin B , 6分 展开得cos B+sin B-sin B=0,7分 即sin B=cos B ,tan B==,8分所以B=30°. 9分 从而A=60°-B=30°,即A=B=30°, 所以BC=AC=3. 10分故△ABC 的面积为×3×3×sin 120°=. 12分评分细则:第(1)问中,只要由余弦定理得到BC=5,就给5分;第(2)问中,cos(60°-B )=sin B 是关键,得到B=30°或A=30°,就给3分.18.解:(1)填写列联表如下:4分因为K 2的观测值k==<2.706, 6分所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.7分(2)(ⅰ)这11名学生中,被抽到的女生人数为20×=5.9分(ⅱ)因为入围的分数不低于120分,且每个女生的测试分数各不相同,每个人的分数都是整数,所以这11名学生中女生的平均分的最小值为=122.12分评分细则:第(1)问计算得到K2的观测值k=即可得1分.19.(1)证明:如图,连接BC1.1分在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AC1的中点.2分又因为F为AB的中点,所以EF∥BC1.3分又EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.5分(2)解:因为AC⊥AB,AA1⊥AC,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面ABB1A1, 7分又AC=4,E为A1C的中点,所以E到平面ABB1A1的距离为×4=2.9分因为△AB1F的面积为×2×6=6, 10分所以==×2×6=4.12分评分细则:第(1)问中,先证面面平行,再证线面平行,也是常见的方法,阅卷时应同样给分.20.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-4kx-4=0, 1分则x1x2=-4, 2分所以y1y2==1, 3分从而·=x1x2+y1y2=-3<0, 4分则∠AOB为钝角,故△AOB为钝角三角形.5分(2)解:由(1)知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 6分则|AB|=y1+y2+p=4k2+4.7分由x2=4y,得y=,y'=,设P(x0,y0),则x0=k,x0=2k,y0=k2,则点P到直线y=kx+1的距离d=. 9分从而△PAB的面积S=d|AB|=2(k2+1)=16, 10分解得k=±, 11分故直线l的方程为y=±x-3.12分评分细则:第(1)问中,得到x1x2,y1y2的值分别给1分;若只是得到其中一个,且得到·=-3<0 ,可以共给3分.21.(1)解:当a=-4时,f (x )=x 2+3x-4ln x ,定义域为(0,+∞). 1分f'(x )=x+3-==. 2分当x>1时,f'(x )>0,f (x )单调递增,则f (x )的单调递增区间为(1,+∞); 3分 当0<x<1时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 则f (x )的单调递减区间为(0,1). 4分 (2)证明:f'(x )==, 5分g'(x )=3x 2+2bx-(2b+4)+=. 6分令p (x )=3x 2+(2b+3)x-1.因为a ∈(1,2],所以f (x )的极小值点为a ,则g (x )的极小值点为a ,8分所以p (a )=0,即3a 2+(2b+3)a-1=0,即b=, 9分此时g (x )的极大值为g (1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=23a--23. 10分 因为a ∈(1,2],所以23a--23≤23×2--23=45. 11分 故g (x )的极大值不大于45. 12分 评分细则:第(1)问中,计算导数时未因式分解不扣分;第(2)问中,计算g (x )的导数时未因式分解扣1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x 2+y 2-4x-6y+12=0,3分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C 的直角坐标方程. 4分 (2)由(1)可设P 的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, 6分 则|PM|=3+sin α, 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1, 所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. 8分所以|PM|+|PN|=6+sin,9分故当α=4时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+. 10分 评分细则:第(2)问中,亦可设P 的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f (x )<0,得+<4. 1分 当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; 2分当-1≤x ≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x ≤2; 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<25. 4分 故f (x )<0的解集为. 5分(2)因为f (x )=+-k ≥|x+1+2-x|-k=3-k , 6分 所以f (x )的最小值为3-k. 7分 因为不等式f (x )≥对x ∈R 恒成立,所以3-k ≥,，所以9分解得k ≤1,则k 的取值范围为]1,( . 10分评分细则:第(1)问中,先将f (x )化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k ≥0,扣1分.。

高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：A20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）20xx ．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是图1俯视图侧视图正视图 A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12fθ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FE DC BA表2 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12fθ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分 解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，M O H F E D C B A则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.OH FEDCBA∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BCFH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时,12xx +≥=当且仅当12x x=, 即2x=时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2019年5月2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2019.4本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解+析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B．C．D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x 2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的运算法则求解即可.【详解】集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．考点：程序框图．5.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以得到至少有1名女生的对立事件是没有女生，从而利用间接法求得结果.【详解】采用间接法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关至少至多类随机事件发生的概率，涉及到的知识点有利用间接法，通过其对立事件发生的概率求得结果，属于简单题目.6.函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先观察图象，可以得到，从而求得，进而求得，根据图象过点，根据条件求得，从而求得函数的解析式.【详解】由图可知：，所以，，所以，，由图可知，图象过点，所以，所以，所以，因为，令，可得，所以函数解析式为：，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据所给的函数图象求函数解析式的问题，注意A由函数的最值来确定，由函数的周期来确定，由所过的特殊点来确定，属于简单题目.7.设等比数列的前项和为，则下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先对等比数列的公比分和进行讨论，当时，对各选项逐个分析，从而排除B、C两项，当时，对A、D两项进行验证，从而得到结果.【详解】当公比时，，所以，，，，所以B、C两项排除，当时，若成立，解得，从而得到，显然不是恒成立，、排除A，，整理得，即，显然成立，故选D.【点睛】该题考查是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的前n项和公式，并且要明确其公式的使用条件，属于简单题目.8.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据双曲线的渐近线方程为：，结合题中所给的双曲线渐近线方程为，从而可得，即，利用双曲线中所满足的条件，得到，进而求得，得到结果.【详解】双曲线的渐近线方程为：，由其渐近线方程为，可得，即，所以，可得，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于简单题目.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先设圆锥的底面半径为，高为，从而求得圆锥的母线长为，利用圆锥的体积公式以及题中的条件，得到，将圆锥的侧面积表示出来，之后设，利用导数求得当，取得最小值，从而求得圆锥的侧面积取得最小值时，此时，进而求得圆锥的母线与底面所成角的正切值为，从而求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的体积为，所以，因为圆锥的侧面积，设，所以，所以当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，所以当，取得最小值，即圆锥的侧面积取得最小值，所以，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关圆锥的母线与底面所成角的正切值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有圆锥的体积公式，圆锥的侧面积公式，利用导数求函数的最值，属于中档题目.10.设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据条件1是一元二次方程的一个实根，再结合，从而得出，对b的符号进行分类讨论，从而求得结果.【详解】又因为1是一元二次方程的一个实根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B两项，当时，，所以，此时，当时，，此时，当时，，所以，此时，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关式子的取值范围的求解问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的特征，对题的条件的转化，不等式的性质，分类讨论的思想，属于简单题目.11.在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理求得的外接圆的半径，根据题中的条件，可知三棱锥的顶点P在底面上的射影为的外心D，从而可知其外接球的球心在线段PD上，设其半径为，利用勾股定理可求得该三棱锥的外接球的半径，从而求得其表面积.【详解】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三棱锥的外接球的表面积的问题，涉及到的知识点有三棱锥的外接球的球心的位置的确定方法，球的表面积公式，属于简单题目.12.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围. 【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.二、填空题.13.已知向量，，向量，则____.【答案】【解析】【分析】首先根据向量的加法和数乘运算求得的坐标，再利用向量的模的坐标公式求得结果.【详解】因为，，所以，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求向量的模的问题，涉及到的知识点有向量的加法和数乘运算，向量模的坐标公式，属于简单题目.14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.【答案】【解析】设此等差数列为{a n}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案：．15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】求导函数，问题等价于在上恒成立，转化为求函数最值即可得结果.【详解】，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立，因为的最大值为，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关已知函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意单调性与导数的关系，恒成立向最值靠拢的思想，属于简单题目.16.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】因为点所在直线与点所在直线平行，从而得到因此可设的中点所在直线的方程为，分别与直线和直线联立，求得交点的坐标，求得和，令，可得，得到结果.【详解】因为点所在直线与点所在直线平行，因此可设的中点所在直线的方程为，所以有，解得，所以的中点所在直线的方程为，联立，解得，所以其交点为，所以，联立，解得，所以其交点为，所以，令，因为满足条件的点M的轨迹为线段RS，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关应用线性规划的思想解决有关问题，涉及到的知识点有夹在两条平行线间与两直线等距的直线方程的求法，分析目标函数的能力，两直线的交点的求解，斜率坐标公式，属于简单题目.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由切化弦公式，代入，并整理可得，这样根据两角和的正弦公式可得，根据正弦定理可得出，得到结果；（2）根据条件，结合（1）的结论，得到，利用余弦定理可得，结合，利用三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即．所以．所以．所以△的面积为．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦和角公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且，.（1）求证：：（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）取的中点，连结，，，结合题意，可得，从而得到，在△中，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而证得；（2）利用，结合三棱锥的体积公式，求得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．（2）解法1：在△ 中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．由（1）有，且，平面，平面，所以平面．在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．在△中，，，所以．设点到平面的距离为，因为，即．所以．所以点到平面的距离为．解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．过点作于点．由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．在△ 中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．在△中，根据等面积关系得．所以．所以点到平面的距离为．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直得到线线垂直，线面垂直的判定定理，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题目.19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，，，，，，参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；(2) ；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．（ⅱ）．因为，，所以．由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.20.从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）利用相关点法，设设，，则点的坐标为，由，从而得到，即．化简求得结果；（2）设出点A,B的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到，根据韦达定理得到=，=，设点，写出直线AT的方程，进而求得点D的坐标，同理求得点E的坐标，如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，即，因为点在抛物线上，所以，即．所以点的轨迹的方程为．（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=，=．设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．因为．所以．即，解得或．故以为直径的圆过轴上的定点和．解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．同理可得点的坐标为．若点满足要求，则满足．因为．所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式，属于较难题目.21.已知函数．(1)若，求函数的所有零点；(2)若，证明函数不存在极值．【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.【详解】（1）解：当时，，函数的定义域为，且．设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，（当且仅当时取等号）．即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点.因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．当时，，由（1）知．即当时，所以在上单调递增．所以不存在极值．证法2：因为，函数的定义域为，且．设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．由（1）知．则．所以，即在定义域上单调递增．所以不存在极值．【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．当时，直线的直角坐标方程为．因为，因为，所以．所以的直角坐标方程为．（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．因为，可设该方程的两个根为，，则，．所以．整理得，故．因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或．解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离．①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．②当时，直线的方程为．所以，整理得．解得．综上所述，直线的倾斜角为或．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲] 己知函数．(1)当时，解不等式； (2)若存在实数x ，使得成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）； （2） .【解析】【分析】 （1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1）当时，由，得． 当时，， 解得． 当时，，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）由，得． 则． 令，则问题等价于 因为． 所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。

2019年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜6}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝（）A．{0，1，3，5}B．{0，2，4，6}C．{1，3，5}D．{2，4}2．（5分）已知复数z＝m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）3．（5分）某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（）A．96B．72C．48D．364．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A．21B．22C．23D．245．（5分）从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．y＝2sin（）B．y＝2sin（）C．y＝2cos（）D．y＝2cos（）7．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是（）A．S n+S2n＝S3nB．S22n＝S n S3nC．S22n＝S n+S2n﹣S3nD．S2n+S22n＝S n（S2n+S3n）8．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y＝0，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实根，则的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣，0]C．[﹣2，﹣]D．[﹣1，﹣] 11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．12．（5分）己知函数f（x）＝e x﹣ex+a与g（x）＝lnx+的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣e，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣e]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，﹣1），b＝（2，1），向量＝2+，则||＝14．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15．（5分）若函数f（x）＝x2﹣x+l+alnx在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（5分）己知点P在直线x+2y﹣l＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0，PQ的中点为M（x0，y0），且﹣1≤y0﹣x0≤7，则的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tan A+tan B）＝．（1）求的值；（2）若c＝2，C＝，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且P A＝PD，AD＝PB．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点A到平面PBC的距离．19．（12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求；（ii ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度． （2）若y 关于x 的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量． 附：参考数据：＝27，，，＝7759.6，，参考公式：相关系数r ＝＝回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，20．（12分）从抛物线y2＝36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ 上的一点，且满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线x＝my+1（m∈R）与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x＝﹣1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2p cosθ+8．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．己知函数f（x）＝|2x﹣l|﹣a．（1）当a＝l时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜6}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝（）A．{0，1，3，5}B．{0，2，4，6}C．{1，3，5}D．{2，4}【解答】解：∵A＝{x∈N|0＜x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴A∩B＝{2，4}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知复数z＝m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）【解答】解：z＝m（3+i）﹣（2+i）＝（3m﹣2）+（m﹣1）i，复数对应点的坐标为（3m﹣2，m﹣1），若对应点的坐标在第三象限，则得得m＜，即实数m的取值范围是（﹣∞，），故选：B．【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键．3．（5分）某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（）A．96B．72C．48D．36【解答】解：设样本中A型号车为x辆，则B型号为（x+8）辆，则＝，解得x＝16，即A型号车16辆，则＝，解得n＝72．故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出z的值是（）A．21B．22C．23D．24【解答】解：x＝1，y＝2，则z＝x+y＝1+2＝3，z＜20是，x＝2，y＝3，z＝x+y＝2+3＝5，z＜20是，x＝3，y＝5，z＝x+y＝3+5＝8，z＜20是，x＝5，y＝8，z＝x+y＝5+8＝13，z＜20是，x＝8，y＝13，z＝x+y＝8+13＝21，z＜20否，输出z＝21，故选：A．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．5．（5分）从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，基本事件总数n＝＝10，所选3人中至少有1名女生包含的基本事件个数m＝＝9，∴所选3人中至少有1名女生的概率为p＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．y＝2sin（）B．y＝2sin（）C．y＝2cos（）D．y＝2cos（）【解答】解：由图象可知，得函数的周期T＝4×（3.5π﹣2π）＝6π，∴T＝6π．则ω＝＝＝．∴函数解析式为f（x）＝2sin（x+φ）．由f（2π）＝2，得2sin（φ+）＝2，∴可得：φ+＝2kπ+，k∈Z，可得：φ＝2kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜π，∴当k＝0时，φ＝﹣．则f（x）的解析式是：f（x）＝2sin（x﹣）．故选：B．【点评】本题考查了由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出ω，然后利用五点作图的某一点求φ，属于中档题．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是（）A．S n+S2n＝S3nB．S22n＝S n S3nC．S22n＝S n+S2n﹣S3nD．S2n+S22n＝S n（S2n+S3n）【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，在A中，等比数列{2n}中，S n＝＝2n+1﹣2，S2n＝＝22n﹣2，＝23n﹣2，S n+S2n≠S3n，故A错误；在B中，等比数列{2n}中，S n＝＝2n+1﹣2，S2n＝＝22n﹣2，＝23n﹣2，S22n＝S n S3n，故B错误；在C中，等比数列{2n}中，S n＝＝2n+1﹣2，S2n＝＝22n﹣2，＝23n﹣2，S22n＝S n+S2n﹣S3n，故C错误．在D中，∵S2n+S22n＝+＝（2+2q n+q2n），S n（S2n+S3n）＝[+]＝（2+2q n+q2n），∴S2n+S22n＝S n（S2n+S3n）．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y＝0，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为5x±3y＝0，可得，可得：，即，∵e＝，所以e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9．（5分）一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为l＝，则V＝＝，∴r2h＝，即h＝，∴S侧＝πrl＝πr＝π，∵r4+＝r4++≥3＝，当且仅当r4＝即r2＝时取等号，此时，h＝＝1．∴母线与底面所成角的真切值为＝＝．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题．10．（5分）设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实根，则的取值范围为（）A．[﹣2，0]B．[﹣，0]C．[﹣2，﹣]D．[﹣1，﹣]【解答】解：∵1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实根，∴a+b+c＝0，得b＝﹣a﹣c，∴a≥b≥c，即a≥﹣a﹣c≥c，即得，若a＞0，则不等式等价为，即得﹣2≤≤﹣，若a＜0，则不等式等价为，即，此时不等式无解，综上的取值范围为﹣2≤≤﹣，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的应用，结合根与方程的关系得到b＝﹣a﹣c，然后代入不等式进行求解是解决本题的关键．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC＝，可得∠BAC＝120°，则由正弦定理可得：＝2AG，即AG＝1．∴PG＝＝．取P A中点H，作HO⊥P A交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO＝＝．即该棱锥外接球半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为，故选：B．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．12．（5分）己知函数f（x）＝e x﹣ex+a与g（x）＝lnx+的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣e，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣e]【解答】解：g（x）＝lnx+的定义域为（0，+∞），则g（x）关于x对称的曲线为﹣y＝lnx+，即y＝﹣lnx﹣，则条件等价为f（x）＝e x﹣ex+a＝﹣lnx﹣，在（0，+∞）上有解，得a＝﹣lnx﹣﹣e x+ex，设h（x）＝﹣lnx﹣﹣e x+ex，则函数的导数h′（x）＝﹣+﹣e x+e＝﹣（e x﹣e），当x＝1时，h′（x）＝0，当x＞1时，h′（x）＝﹣（e x﹣e）＜0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＝﹣（e x﹣e）＞0，此时函数f（x）为减函数，即当x＝1时，函数h（x）＝﹣lnx﹣﹣e x+ex取得极大值同时也是最大值，最大值为h（1）＝﹣ln1﹣1﹣e+e＝﹣1，作出h（x）＝﹣lnx﹣﹣e x+ex的图象如图：即要使a＝h（x）在（0，+∞）上有解，则a≤﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据对称性求出关于x对称的函数，利用函数与方程之间的关系转化为图象交点问题，利用参数分离法利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，﹣1），b＝（2，1），向量＝2+，则||＝【解答】解：；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法．14．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，由题意得，，则，解得，所以a1＝，所以最小的一份为，故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题．15．（5分）若函数f（x）＝x2﹣x+l+alnx在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[）．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣x+l+alnx在（0，+∞）上单调递增∴f′（x）＝2x﹣1+≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥x﹣2x2在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝x﹣2x2，x＞0根据二次函数的性质可知，当x＝时，g（x）取得最大值∴故答案为：[）【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．16．（5分）己知点P在直线x+2y﹣l＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0，PQ的中点为M（x0，y0），且﹣1≤y0﹣x0≤7，则的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣]∪（0，+∞）．【解答】解：∵直线x+2y﹣1＝0与x+2y+3＝0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1＝0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，而满足不等式﹣1≤y0﹣x0≤7，如图，联立，解得A（，），联立，解得B（﹣5，2），的几何意义为线段AB上的点与原点连线的斜率，∵k AO＝﹣2，，∴的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣]∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣]∪（0，+∞）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划知识的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tan A+tan B）＝．（1）求的值；（2）若c＝2，C＝，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为2（tan A+tan B）＝，所以2（）＝+．………………………………………………（1分）化简得：2（sin A cos B+cos A sin B）＝sin A+sin B．………………………………………………（2分）即2sin（A+B）＝sin A+sin B．………………………………………………………………………（3分）因在△ABC中，A+B+C＝π，则sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sin C．……………………………（4分）从而sin A+sin B＝2sin C．……………………………………………………………………………（5分）由正弦定理，得a+b＝2c．所以＝2．……………………………………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知c＝，且c＝2，所以a+b＝4．……………………………………………………（7分）因为C＝，所以cos C＝＝．……………………………………（9分）即cos＝．所以ab＝4．……………………………………………………………………………………………（10分）所以S△ABC＝ab sin C＝＝．所以△ABC的面积为．……………………………………………………………………………（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝90°，且P A＝PD，AD＝PB．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点A到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，所以AD＝AB＝BD．因为O为AD的中点，所以BO⊥AD．在△P AD中，P A＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD．因为BO∩OP＝O，所以AD⊥平面POB．因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB．（2）在Rt△P AD中，AD＝2，所以PO＝1．因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，所以OB＝．在△PBO中，PO＝1，OB＝，PB＝BC＝2，因为PO2+OB2＝PB2，所以PO⊥OB．由（1）有PO⊥AD，且AD∩OB＝O，AD⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．在△PBC中，由（1）证得AD⊥PB，且BC∥AD，所以BC⊥PB．因为PB＝BC＝2，所以S△PBC＝2．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以S△ABC＝＝．设点A到平面PBC的距离为h，因为V A﹣PBC＝V P﹣ABC ，即S△PBC•h ＝S△ABC•PO．所以h ＝＝．所以点A到平面PBC 的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间距离的计算，属于中档题．19．（12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：＝27，，，＝7759.6，，参考公式：相关系数r＝＝回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，【解答】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（ⅰ）；………………………………（2分）（ⅱ）回归系数r＝＝…………（3分）＝＝………………………………（4分）＝；……………………………（5分）因为，，所以r≈0.98；…………………………………（6分）由样本相关系数r≈0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；……………………（7分）（2）因为回归方程为，即，所以；【或利用＝＝】……………………………（10分）所以y关于x的线性回归方程为，将x＝50代入线性回归方程得；………………………………（11分）所以根据回归方程预测年龄为50岁时人的脂肪含量为28.56%．…………………………………（12分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．20．（12分）从抛物线y2＝36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ 上的一点，且满足．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线x＝my+1（m∈R）与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x＝﹣1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则点Q的坐标为（x0，0）．因为足．所以（x﹣x0，y﹣y0）＝2（x0﹣x，﹣y）．即．因为点P在抛物线y2＝36x上．所以y02＝36x0，即（3y）2＝36x．所以点M的轨迹C的方程为y2＝4x．（2）设直线x＝my+1与曲线C的交点坐标为A（，y1），B（，y2），由得y2﹣4my﹣4＝0．由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．设点T（，y0），则k AT＝＝．所以直线AT的方程为y﹣y0＝（x﹣）．令x＝﹣1，得点D的坐标为（﹣1，）．同理可得点E的坐标为（﹣1，）．如果以DE为直径的圆过x轴某一定点N（n，0），则满足•＝0．因为•＝（﹣1﹣n，）•（﹣1﹣n，）＝（1+n）2+．所以（1+n）2+＝0．即（1+n）2﹣4＝0，解得n＝1或n＝﹣3．故以DE为直径的圆过x轴上的定点（1，0）和（﹣3，0）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），…………………………………………………………………………（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．……………………………………………………………………………（2分）设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…………………………………………（3分）所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．…………………………………（4分）即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．………………………………………………（5分）因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．…………………………………………………（6分）（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．…………………………………（7分）当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，………………………………………………………………（9分）由（1）知lnx++x﹣3≥0．………………………………………………………………………（10分）即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．……………………………………………………………………（11分）所以f（x）不存在极值．…………………………………………………………………………………（12分）证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4…………………………………（7分）设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．……………………………………………（8分）可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．…………………………………………（9分）由（1）知lnx++x﹣3≥0．………………………………………………………………………（10分）则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．…………………………………………（11分）所以f（x）不存在极值．…………………………………………………………………………………（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数零点，函数极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2p cosθ+8．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．【解答】解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＝2．…………………………………………………………（1分）当时，直线l的直角坐标方程为y﹣＝tanα（x﹣2）．……………………………………（3分）因为ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，…………………………………………………………………………（4分）因为ρ2＝2ρcosθ+8，所以x2+y2＝2x+8．所以C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0．………………………………………………………（5分）（2）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣8＝0，将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，得t2+（2+2cosα）t﹣5＝0．……………（6分）因为△＝（2+2cosα）2+20＞0，可设该方程的两个根为t1，t2，则，t1+t2＝﹣（2+2cosα），t1t2＝﹣5．……………………………………………………（7分）所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝4．…………………………………………………………（8分）整理得（+cosα）2＝3，故2sin（α+）＝．…………………………………………………………………………………（9分）因为0＜α＜π，所以＝或，α+＝解得或或π＝综上所述，直线l的倾斜角为或．…………………………………………………………………（10分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．己知函数f（x）＝|2x﹣l|﹣a．（1）当a＝l时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．…………………………………………（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．…………………………………………………………（4分）综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为{x|x＞3或x＜﹣}．……………………………………（5分）（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，………………………………………………（6分）即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．……………………………………………（7分）所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，…………………………………………（8分）当且仅当x＝时等号成立．……………………………………………………………………………（9分）所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）．…………………………………………………………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A．3 B．6 C ．13 D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH F E D CB A (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >. ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST = ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。