广东省2019届高考百校联考理科数学试卷(含答案)

试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第一部分 选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( 1 ) 若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N = （ ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}【答案】B解: ∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或， ∴M ∩N }0{=，故选B ．( 2 ) 若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ ）A ．0B ．2C ．25 D ．5【答案】D解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．( 3 ) 93lim 23-+-→x x x =（ ）A ．61-B ．0C ．61 D ．31 【答案】A 解: 6131)3)(3(3933323lim lim lim-=-=-++=-+-→-→-→x x x x x x x x x ，故选A ．( 4 ) 已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形 （如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为 （ ） A ．41B ．21C ．63D ．43【答案】D解:∵ ,ABC B B 平面⊥'A'C'AC图1∴43343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ． 故选D.( 5 ) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32【答案】B解: ∵轴上焦点在x ，∴2=a ，∵ 21==a c e ，∴22=c ， ∴23222=-==c a b m ，故选B ．( 6 )函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(∞+B ．)2,(∞-C ．)0,(-∞D ．（0，2）【答案】D解: ∵,63)(2x x x f -='20,063,0)(2<<<-<'x x x x f 解得即令，故选D ．( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C解：③是假命题，如右图所示满足βα//,//m l , βα//，但 m l \// ，故选C ．( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ ）A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 【答案】C解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像lαβm关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移２个单位， 再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线 （如图２所示），则函数)(x f 的表达式为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f【答案】A解：将图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得下图A ，从而可以得到)(x g 的图象，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ，∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f ，故选A ．(也可以用特殊点检验获得答案)（10）已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1xA ．23B ．3C ．4D ．5【答案】B解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x xx n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ，∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ，nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．第二部分 非选择题(共100分)二．填空题：本大题共4小题目，每小题5分，共20分．(11)函数xex f -=11)(的定义域是 ．【答案】)0,(-∞解：使)(x f 有意义，则01>-x e ， ∴ 1<x e ，∴0<x ，∴)(x f 的定义域是)0,(-∞．(12)已知向量)3,2(=，)6,(x =，且b a //，则=x ．【答案】4解：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x .(13)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos． 【答案】22±解：4)45(+x 的通项为r r rx C )45(44⋅⋅-，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ.(14)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）【答案】5，)2)(1(21-+n n解：由图B 可得5)4(=f ，由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，可推得∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个， ∴)1(432)(-++++=n n f2)2)(12(--+=n n)2)(1(21-+=n n ．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ( 15 )（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.【答案】解: )23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f ++--+++=πππππ)23sin(32)23cos()23cos(x x x +++++=πππ)23sin(32)23cos(2x x +++=ππ]3sin )23sin(3cos)23[cos(4ππππx x +++= x 2cos 4=∴ ]4,4[)(-∈x f ，ππ==22T ， ∴)(x f 的值域是]4,4[-，最小正周期是π．( 16 ) （本小题共14分）如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，342,8,10====PB AC AB PC ．F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥． （Ⅰ）证明：ＣＥF PB 平面⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的大小．图BABPF E(Ⅰ)证明：在ABC ∆中， ∵,6,10,8===BC AB AC ∴,222AB BC AC =+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形． 在PCB Rt ∆中，∵,341715,342,6,10====CF PB BC PC ∴,CF PB BC PC ⋅=⋅ ∴,CF PB ⊥ 又∵,,F CF EF PB EF =⊥ ∴.CEF PB 平面⊥（II ）解法一：由（I ）知PB ⊥CE ，PA ⊥平面ABC∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE ∴CE ⊥平面PAB ，而EF ⊂平面PAB ， ∴EF ⊥EC ，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角， ∵EFB PAB ∆∆~∴35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB ， ∴二面角B —CE —F 的大小为35arctan ．解法二：如图，以C 点的原点，CB 、CA 为x 、y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则)0,0,0(C ，)0,8,0(A ，)0,0,6(B ，)6,8,0(P ，∵)6,0,0(=PA 为平面ABC 的法向量，)6,8,6(--=PB 为平面ABC 的法向量， ∴34343342636,cos -=⋅-=<PB PA ， ∴二面角B —CE —F 的大小为34343arccos ．(17 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点O 的两不同动点Ａ、Ｂ满足BO AO ⊥（如图４所示）（Ⅰ）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．y C解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率显然存在，∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，① ∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦， 由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆得重心G 的轨迹方程．（Ⅱ）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB ，∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．解法二：（Ⅰ）∵ AO ⊥BO, 直线OA ，OB 的斜率显然存在， ∴设AO 、BO 的直线方程分别为kx y =，x ky 1-=， 设),(11y x A ，),(22y x B ，依题意可得由⎩⎨⎧==2xy kxy 得 ),(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=21xy x ky 得 )1,1(2kk B -， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则31321k k x x x -=++=① ， 31302221k k y y y +=++= ②，由①②可得，3232+=x y ，即为所求的轨迹方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，42||k k OA +=，4211||k k OB +=， ∴42421121||||21k k k k OB OA S AOB +⋅+⋅=⋅⋅=∆212122++=k k 12221=+≥， 当且仅当221kk =，即1±=k 时，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 .解法三:（I ）设△AOB 的重心为G(x , y ) ，A(x 1, y 1)，B(x 2 , y 2 )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1） 不过∵OA ⊥OB ，∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， …（2） 又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==， 代入（2）化简得121-=x x ，∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y ， ∴所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y ，（II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆， 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB ，当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立，所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．( 18 ) （本小题共12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为t s :．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）取出黄球的概率是t s s A P +=)(，取出白球的概率是ts tA P +=)(，则 ts sP +==)0(ξ， 2)()1(t s st P +==ξ， 32)()2(t s st P +==ξ， ……， n n t s st n P )()1(1+=-=-ξ， nn t s st n P )()(1+==-ξ，∴ξ的分布列是（Ⅱ）++⨯++⨯++⨯=322)(2)(10t s st t s st t s s E ξ…n nn n t s t n t s st n )()()1(1+⨯++⨯-+- ①++++=+4332)(2)(t s st t s st E t s t ξ (11)11)()()1()()2(+++-+++-++-+n n n n n n t s nt t s st n t s st n ②①—②得++++++=+43322)()()(t s st t s st t s st E t s s ξ (11)11)()()1()()(+++-+-+--++++n n n n n n n n t s nt t s st n t s nt t s st∴ 11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ∴ξ的数学期望是11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ．( 19 ) （本小题共14分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ． （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】 解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴)52()32(+=-f f即 )5()1(f f =-，∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ， ∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数．（Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-,∴)10()(x f x f +=，∴)(x f 是以10为周期的周期函数，由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称， ∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ， ∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，∴在闭区间]2005,2005[-上的根的个数是802．( 20 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。

{x|-4<x<3}B。

{x|-4<x<-2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。

(x+1)^2+y^2=1B。

(x-1)^2+y^2=1C。

x^2+(y-1)^2=1D。

x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。

a<b<cB。

a<c<bC。

c<a<bD。

b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。

某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。

165cmB。

175cmC。

185cmD。

190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。

B。

C。

D。

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。

B。

C。

D。

7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。

绝密★使用前试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相对应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相对应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体的体积公式为V=1/3Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

第I卷选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i为虚数单位，则复数56i i-=（）A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合{1,2,3,4,5,6}U=，{1,2,4}M=，则U M=ð（）A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6} 3．若向量(2,3)BA =，(4,7)CA =，则BC =（）A．(2,4)--B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)-4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A．ln(2)y x=+B．y=C．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．1y xx=+5．已知变量x，y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y=+的最大值为（）A．12B．11C．3D．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 （ ）A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβ=ββ。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()571113346a a a d a d +=+++. AE D CBO第15题图或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为(0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________. 【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 7 92 0 1 53 0第17题图'A因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值..CO BDEA CDOBE'A图1图2【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD B '--. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PAPB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知集合{1,0,1}M，{0,1,2}N ，则M N A.{0,1}B.{1,0,2}C.{1,0,1,2}D.{1,0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z ，则Z= A.34i B.34iC.34iD.34i 3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y zx y y 且的最大值A.5B.6C.7D.8 4．若实数k 满足09k ，则曲线221259x y k 与曲线221259xy k 的A. 焦距相等B.实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量1,0,1a ，则下列向量中与a 成60夹角的是A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ，则A.14l l B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ”的元素个数为A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521x x 的解集为。

10．曲线25x e y 在点)3,0(处的切线方程为。

小学生3500名初中生4500名高中生2000名小学初中30高中10年级50O 近视率/%。

2019年广东普通高等学校招生统一考试数 学 试 题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[sin(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=21(c ′+c )l其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，lV=h S S S S )(31+'+'其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x xA ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘC ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3π Ｂ．３3π6πＤ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θA B C ．椭圆 D4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａA ．（０，21） 21] 21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6π611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘＣ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂａｂ＜１ ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小A ．60° 4５° 120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘA ． ①③10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的A ．（－∞,０）B ．（－∞,２）C ．［０,２］D ．（０,11记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ P ３＞P ２＝P １P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A Ｂ．２４(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥xAC 经过线段EF 的中点．22．(本小题满分14分) 设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1) 三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， )11-1()31-21()21-11( )1(132121111121++++=+++⨯+⨯=+++n n n n S S S n111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值， 此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分 如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ-- 10分由于058,85322121 λλλλ-≥故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分 21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214k k x x k k +-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３） ＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N则MNA ．{1,0,1} B. {1,0,1,2}C. {1,0,2}D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z 则Z=A ．34i B. 34iC.34i D.34i3.若变量,x y 满足约束条件121yx x yzxy y且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7C.6D.54.若实数k 满足09,k 则曲线221259xy k与曲线221259xyk 的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量1,0,1,a 则下列向量中与a 成60夹角的是A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ，则下列结论一定正确的是A ．14l lB ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521x x 的解集为。

2019年高考试题-理科数学（广东卷）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

数学〔理科〕解析参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.【一】选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1、设集合{}2|20,M x x x x=+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,那么MN =( )A .{}0B 、{}0,2 C 、{}2,0- D 、{}2,0,2- 【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,应选D 、2、定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B 、3C 、2D 、1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,应选C 、3、假设复数z 满足24iz i =+,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A .()2,4 B 、()2,4-C 、()4,2-D 、()4,2【解析】C ；2442iz i i +==-对应的点的坐标是()4,2-,应选C 、 4、离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110那么X 的数学期望EX = ( )A . 32B 、2C 、52D 、3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,应选A 、 5、某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是 ( )A . 4B 、143正视图俯视图 侧视图第5题图C 、163D 、6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,应选B 、 A.假设αβ⊥,m α⊂,n β⊂,那么m n ⊥ B 、假设//αβ,m α⊂,n β⊂,那么//m nC 、假设m n ⊥,mα⊂,n β⊂,那么αβ⊥ D 、假设m α⊥,//m n ,//n β,那么αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D 、7、中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是()A.2214x -= B 、22145x y -=C 、22125x y -= D 、2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,应选B 、 8、设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立假设(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,那么以下选项正确的选项是()A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B 、(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D 、(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ 【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,那么()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S=∈,应选B 、如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.【二】填空题：此题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9、不等式220x x +-<的解集为___________、【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10、假设曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,那么k =【解析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11、执行如下图的程序框图,假设输入n 的值为4,那么输出s 的值为.AED CBO第15题图【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12.在等差数列{}n a 中,3810a a +=,那么573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13.给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如下图,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.〔二〕选做题〔14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分〕14.(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么l的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15.(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设 6AB =,2ED =,那么BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.【三】解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(Ⅱ)假设3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、 【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1 7 92 0 1 53 0第17题图(Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17、〔本小题总分值12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值； (Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率. 【解析】(Ⅰ)样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ)设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,那么()P A =1148212C C C 1633=.18、〔本小题总分值14分〕如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】AD 连结OD =所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥,又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ)传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.图1x 向量法图结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cosOHA HOA H'∠==',所以二面角A CD B'--.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz-那么(A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,那么n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y xz=-⎧⎪⎨=⎪⎩,得(1,1,n=-由(Ⅰ)知,(OA'=为平面CDB的一个法向量,所以cos,3n OAn OAn OA'⋅'===',即二面角A CD B'--的平面角的余弦值为5.19、〔本小题总分值14分〕设数列{}n a的前n项和为n S.11a=,2121233nnSa n nn+=---,*n∈N.(Ⅰ)求2a的值；(Ⅱ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211174na a a+++<.【解析】(Ⅰ)依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ)当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111nan nn=+-⨯=,所以2na n=.(Ⅲ)当1n=时,11714a=<；当2n=时,12111571444a a+=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 20、〔本小题总分值14分〕抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB,其中,AB 为切点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ)依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ)抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),那么切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ)由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21、〔本小题总分值14分〕设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ)当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ)当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,那么()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,那么()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,那么()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。