[物理学10章习题解答]
10-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。如果角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为
图10-9
.
解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别
是重力m g、绳子的张力t和库仑力f。于是可以列出下面的
方程式
,(1)
,(2)
(3)
因为角很小，所以
,
.
利用这个近似关系可以得到
,(4)
. (5)
将式(5)代入式(4)，得
,
由上式可以解得
.
得证。
10-4在上题中，如果l = 120 cm，m = kg，x = cm，问每个小球所带的电量q 为多大？
解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得
.
10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 1011m。质子的质量m = 1027kg，电子的质量m = 1031kg，它们的电量为e =1019c。
(1)求电子所受的库仑力；
(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？
(3)求电子绕核运动的速率。
解
(1)电子与质子之间的库仑力为
.
(2)电子与质子之间的万有引力为
.
所以
.
(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以
,
从上式解出电子绕核运动的速率，为
.
10-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。
(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为
.
图10-10
(2) f的方向如何？
解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个
电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如b角
上的q b，它所受到的力、和大小也是相等的，即
.
首先让我们来计算的大小。
由图10-10可见，、和对的作用力不产生x方向的分量；
对的作用力f1的大小为
,
f
的方向与x 轴的夹角为45。
1
对的作用力f2的大小为
,
f
的方向与x轴的夹角为0。
2
对的作用力f3的大小为
,
f
的方向与x轴的夹角为45。
3
对的作用力f4的大小为
,
f
的方向与x轴的夹角为，。
4
于是
.
所受合力的大小为
.
(2) f的方向：f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为、和，并且
,
.
10-7计算一个直径为 cm的铜球所包含的正电荷电量。
解根据铜的密度可以算的铜球的质量
.
铜球的摩尔数为
.
该铜球所包含的原子个数为
.
每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1019 c，所以铜球所带的正电荷为
.
10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定f/q0。问f/q0
是小于、等于还是大于该点的电场强度e？
解这样测得的f / q0是小于该点的电场强度e的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力f减小了。
10-9根据点电荷的电场强度公式
,
当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？
解当r 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。
10-10离点电荷50 cm处的电场强度的大小为 n c 1 。求此点电荷的电量。
解由于
,
所以有
.
10-11有两个点电荷，电量分别为107c 和108c，相距15 cm。求：
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；
(2)作用在每个电荷上的力。
图10-11
解已知 = 107c、 = 108c，它们相距r= 15 cm ，
如图10-11所示。
(1) 在点b产生的电场强度的大小为
,
方向沿从a到b的延长线方向。
在点a产生的电场强度的大小为
,
方向沿从b 到a 的延长线方向。 (2) 对 的作用力的大小为 ,
方向沿从b 到a 的延长线方向。 对 的作用力的大小为 .
方向沿从a 到b 的延长线方向。
10-12 求由相距l 的 q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：
(1)轴的延长线上距轴心为r 处，并且r >>l ；
(2)轴的中垂面上距轴心为r 处，并且r >>l 。 解
(1)在轴的延长线上任取一点p ，如图10-12所示，该
点距轴心的距离为r 。p 点的电场强度为
.
在r >> l 的条件下，上式可以简化为
.(1) 令 ,(2)
这就是电偶极子的电矩。这样，点p 的电场强度可以表示为
.(3)
(2)在轴的中垂面上任取一点q ，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r 。q 点的电场强度为
也引入电偶极子电矩，将点q 的电场强度的大小和方向同时表示出来： .
10-13 有一均匀带电的细棒，长度为l ，所带总电量为q 。求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>l ； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>l 。 解
(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。在x 轴上到o 点距离为a 处取一点p ，在x 处取棒元d x ，它所带电荷元为d x ，该棒元到点p 的距离为a
x ，它在p 点产
生的电场强度为
图10-12
图10-13
图10-14
.
整个带电细棒在p 点产生的电场强度为
,
方向沿x 轴方向。
(2)坐标系如图10-15所示。在细棒中垂线(即y 轴)上到o 点距离为a 处取一点p ，由于对称性，整个细棒在p 点产生的电场强度只具有y 分量e y 。所以只需计算e y 就够了。
仍然在x 处取棒元d x ，它所带电荷元为d x ，它在p 点产生
电场强度的y 分量为
.
整个带电细棒在p 点产生的电场强度为
,
方向沿x 轴方向。
10-14 一个半径为r 的圆环均匀带电，线电荷密度为
。求过环心并垂直于环面的轴线上与
环心相距a 的一点的电场强度。
解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。在x 轴上取一点p ，p 点到盘心的距离为a 。在环上取元段d l ，元段所带电量为d q =
d l ，在p 点产生的电场强度的大小为
.
由于对称性，整个环在p 点产生的电场强度只具有x 分量e x 。所以只需计算e x 就够了。所以
.
10-15 一个半径为r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的
轴线上与盘心相距a 的一点的电场强度。
解 取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。在x 轴上取一点p ，p 点到盘心的距离为a 。为计算整个圆盘在p 点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为d r 的圆环，该圆环在p 点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即
,
的方向沿x 轴方向。整个圆盘在p 点产生的电场强度，可对上式积分求得 .
图10-15
图10-16
图10-17
。求球心的电场强度。
解以球心o为坐标原点，建立如图10-18所示的坐标
系。在球面上取宽度为d l的圆环，圆环的半径为r。显然
,
圆环所带的电量为
.
根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为
,
方向沿x轴的反方向。由图中可见， ,, 将这些关系代入上式，得
.
所以
,
e的方向沿x轴的反方向。
10-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e，显然高斯面上任一点的电场强度e= e+ e。试证明：
(1) ；
(2) 。
解高斯面的电通量可以表示为
.
显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。以
这句话在数学上应表示为
. (1)
所以，关系式的成立是高斯定理的直接结果。
因为
,
于是可以把高斯定理写为
.
将式(1)代入上式，即得
. (2)
求球面内、外任意一点的电场强度。
解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定
理求解。
在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电
球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯
定理，得
,
由此解得球面内部的电场强度为
.
在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得
,
即
.
由此解得
,
e
的方向沿径向向外。
2
10-21 一个半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。
解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、图10-20
外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理
求解。
在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面
s
(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理
1
.
上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,
于是得
,
方向沿径向向外。
用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。在s2上运用高斯定理，得
.
根据相同的情况，上面的积分可以化为
,
由上式求得
,
方向沿径向向外。
10-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为，两板相距d。当d 比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。
(1)求两板之间的电场强度；
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过108 s的时间撞击在对面的正电板上，若d = cm，求电子撞击正电板的速率。
解
(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板
构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙图10-21
中。作底面积为s的柱状高斯面，使下底面处于两板间
隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得
,
由此解得两板间隙中的电场强度为
.
(2)根据题意可以列出电子的运动学方程
,
.
两式联立可以解得
.
10-24 一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。
解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。
在球内：，根据高斯定理，可列出下式
,
解得
,
方向沿径向向外。
在球外：，根据高斯定理，可得
,
解得
,
方向沿径向向外。
球内任意一点的电势： , ().
球外任意一点的电势： , ().
10-25 点电荷+q 和3q 相距d = m ，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零
的位置。
解
(1)电势为零的点：这点可能处于+q 的右侧，也可能处于+q 的左侧，先假设在+q 的右侧x 1处的p 1点，如图10-22
所表示的那样可列出下面的方程式
. 从中解得 .
在+q 左侧x 2处的p 2点若也符合电势为零的要求，则有 . 解得 .
(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在 +q 的左侧，并设它距离+q 为x ，于是有
. 解得 .
10-26 两个点电荷q 1 = +40109c 和q 2 = 70
109c ，
相距10 cm 。设点a 是它们连线的中点，点b 的位置离q 1 为 cm ，离q 2 为 cm 。求：
(1)点a 的电势； (2)点b 的电势； (3)将电量为25
10-9c 的点电荷由点b 移到点a 所需
要作的功。
解 根据题意，画出图10-23。 (1)点a 的电势： .
(2)点b 的电势： .
(3)将电荷q 从点b 移到点a ，电场力所作的功为
图10-22
图10-23
,
电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。
10-27 一个半径为r 的圆盘均匀带电，面电荷密度为
。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心
相距a 的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。
解 以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x 轴，建立如图10-24所示的坐标系。在
x 轴上任取一点p ，点p 的坐标为x 。在盘上取半径
为r 、宽为d r 的同心圆环，该圆环所带电荷在点p 所产生的电势可以表示为
.
整个圆盘在点p 产生的电势为 .
由电势求电场强度 .
10-28 一个半径为r 的球面均匀带电，球面所带总电量为q 。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。
解 在空间任取一点p ，与球心相距r 。在球面上取薄圆环，如图10-25中阴影所示，该圆环所带电量为
.
该圆环在点p 产生的电势为 . (1)
式中有两个变量，a 和，它们之间有下面的关系：
, 微分得 . (2)
将上式代入式(1)，得 .
如果点p 处于球外， ，点p 的电势为 . (3) 其中
q = 4r 2 .
如果点p 处于球内， ，点p 的电势为 . (4)
由电势求电场强度：
图10-24
图10-25
在球外， , ,
方向沿径向向外。 在球内， ： .
10-30 如图10-26所示，金属球a 和金属球壳b 同心放置，它们原先都不带电。设球a 的半径为r 0 ，球壳b 的内、外半径分别为r 1 和r 2。求在下列情况下a 、b 的电势差：
(1)使b 带+q ； (2)使a 带+q ；
(3)使a 带+q ，使b 带q ；
(4)使a 带q ，将b 的外表面接地。
解
(1)使b 带+q ：这时a 和b 等电势，所以 .
(2)使a 带+q ：这时b 的内表面带上了q ，外表面带上了+q ，a 、b 之间的空间的电
场为
,
方向沿径向由内向外。所以 .
(3)使a 带+q ，使b 带q ：这时b 的内表面带q ，外表面不再带电，a 、b 之间的
空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。
(4)使a 带q ，将b 的外表面接地：这时b 的内表面感应了+q ，外表面不带电，a 、
b 之间的空间的电场为
,
方向沿径向由外向内。所以 .
10-31 两平行的金属平板a 和b ，相距d = mm ，两板面积都是s =150 cm 2 ，带有等量异号电荷q =
10-8 c ，正极板a 接地，如图10-27所示。忽略边缘效应，问： (1) b 板的电势为多大？
(2)在a 、b 之间且距a 板 mm 处的电势为多大？ 解
(1)可以证明两板之间的电场强度为 .
于是可以求得b 板的电势，为
.
图10-26
图10-27
(2)根据题意，a 板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于a 、b 之间、且到a 板的离距为 处，所以该点的电势为
. 10-32 三块相互平行的金属平板a 、b 和c ，面积都是200 cm 2 ，a 、b 相距 mm ，a 、c 相距 mm ，b 、c 两板都接地，如图10-28所示。若使a 板带正电，电量为
10-7c ，略去边缘效应，求：
(1) b 、c 两板上感应电荷的电量；
(2) a 板的电势。 解
(1) a 板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分
别为
1
和
2
。由于静电感应，b 板与a 板相对的面上面电荷密度为
1
，c 板与a 板
相对的面上面电荷密度为2
。c 板和b 板都接地，电势为零。所以
, 即 . (1)
式中e 1和d 1是a 、b 之间的电场强度和板面间距，e 2和d 2是a 、c 之间的电场强度和板面间距。另外
. (2)
式(1)、(2)两式联立，可以解得 , .
b 板上的电量为 ,
c 板上的电量为 .
(2) a 板的电势 .
10-33 如图10-29所示，空气平板电容器是由两块相距 mm 的薄金属片a 、b 所构成。若将此电容器放在一个金属盒k 内，金属盒上、下两壁分别与a 、b 都相距 mm ，电容器的电容变为原来的几倍？
解 设原先电容器的电容为c 0，放入金属盒中后，形成了如图10-30所示的电容器的组合。根据题意，有
.
图10-28
图10-29
c a 与c b 串联的等效电容为 .
c ab 与c 0并联的等效电容c 就是放入金属盒中后的电容： .
可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。
10-34 一块长为l 、半径为r 的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀
极化，极化强度为p ，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。
解 以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图10-31所示的坐标系，x 轴沿轴线向右。根据公式
,
圆柱体的右端面(a 端面)的极化电荷密度为+，b
端面的极化电荷密度为
。它们在轴线上任意一点(坐
标为x )产生的电势可以套用题10-27的结果。a 面上的极化电荷在该点产生的电势为
.
b 面上的极化电荷在该点产生的电势为 .
该点的电势应为以上两式的叠加，即 .
10-35 厚度为 mm 的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 v 时，云母片表面的极化电荷密度。
解 云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：
.
云母片表面的极化电荷密度为 .
10-36 平行板电容器两极板的面积都是s = 10-2 m 2 ，相距d = mm 。用电源对电容器充电至电压u 0 = 100 v ， 然后将电源断开。现将一块厚度为b = mm 、相对电容率为
r
= 的电介质，平行地插入电容器中，求：
(1)未插入电介质时电容器的电容c 0 ； (2)电容器极板上所带的自由电荷q ；
(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e 1 ； (4)电介质内的电场强度e 2 ； (5)两极板之间的电势差u ； (6)插入电介质后电容器的电容c 。 解
(1)未插入电介质时电容器的电容为
图10-30
图10-31
.
(2)电容器极板上所带的自由电荷为
.
(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为
.
(4)电介质内的电场强度为
.
(5)两极板之间的电势差为
.
(6)插入电介质后电容器的电容为
.
10-37半径为r的均匀电介质球，电容率为，均匀带电，总电量为q。求：
(1)电介质球内、外电位移的分布；
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；
(3)电介质球内极化强度的分布；
(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。
解电介质球体均匀带电，电荷体密度为
.
(1)电介质球内、外电位移的分布
球内，即：
,
,
方向沿径向向外。
球外，即：
,
,
方向沿径向向外。
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布
电场强度的分布
球内，即：
,
方向沿径向向外。
球外，即：
,
方向沿径向向外。
电势的分布
球内，即：
.
球外，即：
.
(3)电介质球内极化强度的分布
球内，即：
,
方向沿径向向外。
在球外p = 0。
(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量
球体表面的极化电荷密度为
,
极化电荷的总量为
.
因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为q。10-38 一个半径为r、电容率为的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：
(1)电介质球内、外电位移的分布；
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；
(3)球体表面极化电荷的密度。
解
(1)电介质球内、外电位移的分布
,
,
方向沿径向向外。
无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。
(2)电场强度的分布
：
,
方向沿径向向外。
：
,
方向沿径向向外。
电势的分布
：
.
： .
(3)球体表面极化电荷的密度 紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为 .
电介质球表面上的极化电荷总量为 ,
所以电介质表面的极化电荷密度为 .
10-39 图10-32中a 是相对电容率为r
的电介质中离边界极近的一点，已知电介
质外的真空中的电场强度为e ，其方向与界面法线n 的夹角为
，求：
(1) a 点的电场强度；
(2)点a 附近的界面上极化电荷密度。 解
(1)求解点a 的电场强度可以分别求出点a 电场强度的切向分量 和法向分量 ，而这两个分量可以根据边界条件求得。
根据电场强度的切向分量的连续性可得 .
根据电位移矢量的法向分量的连续性可得
.
点a 的电场强度的大小为 ,
电场强度的方向与表面法向n 的夹角满足下面的关系
.
(2)点a 附近的界面上极化电荷密度为 .
10-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为r1
= 和
r 2
= ，厚
度分别为d 1 = mm 和d 2= mm ，极板面积为s = 10-3m 2 ，两板间的电势差为u 0 = 200 v 。
(1)求每层电介质中的电场能量密度； (2)求每层电介质中的总电场能；
(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。 解
(1)两板间的电势差可以表示为 , 所以 .
图10-32
于是可以求得电介质中的电场强度
,
.
电介质中的能量密度为
,
.
(2)第一层电介质中的总电场能为
.
第二层电介质中的总电场能为
.
(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为
和 .
它们串联的等效电容为
.
电容器中的总能量为
.
也可以利用上面的结果来计算
.
两种计算方法所的结果一致。
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
习 题 1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度 2/2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初
始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以 速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零
1-4 在离水面高h 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S 处,如题1-4图所示.当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时,试求船运动的速度与加速度的大小. 图1-4 解: 设人到船之间绳的长度为l ,此时绳与水面成θ角,由图可知 2 22s h l += 将上式对时间t 求导,得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义,并注意到l ,s 就是随t 减少的, ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船 或 s v s h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导,即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?,开始运动时,x ＝5 m,v =0,
求该质点在t ＝10s 时的速度与位置. 解:∵ t t v a 34d d +== 分离变量,得 t t v d )34(d += 积分,得 122 34c t t v ++= 由题知,0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量, t t t x d )2 34(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 m 7055102 1102s m 190102310432101 210=+?+?=?=?+?=-x v 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球,抛出方向与水平面成幔 60°的夹角, 求:(1)球轨道最高点的曲率半径1R ;(2)落地处的曲率半径2R .
作业 1-1填空题 (1) 一质点，以1-?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大 小是 ；经过的路程 是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间 的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻 质点的速度v 0为5m 2s -1，则当t 为3s 时， 质点的速度v= 。 [答案： 23m 2s -1 ] 1-2选择题 (1) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时 速度s m v /2=，瞬时加速度2/2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (2) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运 动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其
平均速度大小和平均速率大小分别为 (A)t R t R ππ2,2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] (3)一运动质点在某瞬时位于矢径) ,(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] 1-4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3） x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的 速度和加速度，并说明该时刻运动是加速 的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
习题2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 2.2填空题 (1) 某质点在力i x F )54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为，物体与水平面间的摩擦系数为。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为。 [答案：2; 3 k k E E ] 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；
第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈?
1 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和 t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1） r ?是位移的模，? r 是位矢的模的增量，即r ?1 2r r -=，1 2r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即 t d d r = =v t s d d .t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即t v a d d = ， t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢） ，所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y = y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝2 2y x +，然后根据v = t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为
第1章 质点运动学 习 题 一 选择题 1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同 (B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小 解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。 1-2 某质点的运动方程为)(12323m t t x +-=，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：229dx v t dt = =-，18dv a t dt ==-，故答案选D 。 1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为v ，平均速度为v ，他们之间的关系必定有[ ] (A)v =v ，v =v (B)v ≠v ，v =v (C)v ≠v ，v ≠v (D)v =v ，v ≠v 解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率s v t ?=?，而平均速度t ??r v = ，故v ≠v 。答案选D 。 1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ]
(A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零 解析：质点作圆周运动时，2 n t v dv a a dt ρ =+=+ n t n t a e e e e ，所以法向加速度一定不为零，答案选D 。 1-5 某物体的运动规律为 2dv kv t dt =-，式中，k 为大于零的常量。当0t =时，初速为0v ，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ] (A)2012v kt v =+ (B)2011 2kt v v =+ (C)2012v kt v =-+ (D)2011 2kt v v =-+ 解析：由于2dv kv t dt =-，所以 02 0()v t v dv kv t dt =-? ? ，得到20 11 2kt v v =+，故答案选B 。 二 填空题 1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为2=4t +( 2t+3)r i j ，则从0t =到1t s =时的位移为 ，1t s =时的加速度为 。 解析：45342=-=+-=+1010r r r i j j i j ,228d d dt dt = ==111v r a i 1-7 一质点以初速0v 和抛射角0θ作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ，切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 ，合加速度大小为 。 解析：以初速0v 、抛射角0θ作斜抛的运动方程：
习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2 /2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R ππ2, 2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的 速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321=++V V V ]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2 -4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt = =+== t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2 。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量，
大学物理第三版下册 答案
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ? ? = = = 2 2 ) sin 2( π4 1 sin cos θ ε θ θ l q F T mg T e 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢103
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢103 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷 很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说 f = 2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作 用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力．
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5) r ?v 和r ?v 有区别吗？v ?v 和v ?v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt =v 各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t = ，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r = dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性 的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度 也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。 解： (1) 最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ?=-=-= 最初s 2内的平均速度为： 0(/)2 ave x v m s t ?= ==?
大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2)
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+-r r r 由d /d v r t =r r 则速度： 28v i tj =+r r r 由d /d a v t =r r 则加速度： 8a j =r r 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=r r r r r r r r 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r r r r 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的d d r t v ，d d v t v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2 r t v t i gt j =+v v v （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3）0d -gt d r v i j t =v v v 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d d r v i j t =v v d d v g j t =-v v 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
大学物理上册答案详解 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=， 12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量.
(t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加 速度时，有人先求出r ＝2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求 得结果；又有人 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 222 22d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标 系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r 也不是加速
习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以 0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小． 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l += 将上式对时间t 求导，得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==- =船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=- =船 或 s v s h s lv v 0 2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0， 求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 122 34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )2 3 4(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示． 题1-10图 (1)在最高点， 又∵ 1 2 11 ρv a n =