1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知
2
22s h l +=
将上式对时间t 求导，得
t
s
s t l l
d d 2d d 2= 题1-4图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t
s
v v t l v d d ,d d 0-==-
=船绳 即 θ
cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-
=船 或 s
v s h s lv v 0
2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2
s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，
v
=0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵ t t
v
a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d +=
积分，得 12
2
34c t t v ++
= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c
故 22
34t t v +
= 又因为 22
34d d t t t x v +==
分离变量， t t t x d )2
34(d 2
+
= 积分得 23
2
2
12c t t x ++
= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c
故 52
123
2
++
=t t x 所以s 10=t 时
m
7055102
1
102s m 190102
3
10432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+
⨯=-x v
1-10 以初速度0v ＝201
s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图 (1)在最高点，
o 0160cos v v v x == 21s m 10-⋅==g a n
又∵ 1
2
11ρv a n =
∴ m
1010)60cos 20(2
2111=︒⨯=
=n a v ρ
(2)在落地点，
2002==v v 1s m -⋅,
而 o
60cos 2⨯=g a n
∴ m 8060cos 10)20(2
2222=︒
⨯==n a v ρ
1-13 一船以速率1v ＝30km ·h -1
沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有1221v v v
-=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图
由图可知 12
22121h km 50-⋅=+=
v v v
方向北偏西 ︒===87.364
3
arctan arctan
21v v θ (2)小船看大船，则有2112v v v
-=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
5012=v 1h km -⋅
2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v
方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-2.
题2-2图
X 方向： 0=x F t v x 0= ①
Y 方向： y y ma mg F ==αsin ②
0=t 时 0=y 0=y v
2sin 2
1
t g y α=
由①、②式消去t ，得
2
20
sin 21x g v y ⋅=
α 2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m
k e
v )(
0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为
x ＝(k mv 0)［1-t m k
e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k
m
v ；(4)证明当k m t =时速
度减至0v 的
e
1
，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t
v
m kv a d d =
-=
分离变量，得
m
t
k v v d d -=
即 ⎰⎰-=v
v t m
t k v v
00d d m kt
e v v -=ln ln 0
∴ t
m k e
v v -=0
(2) ⎰⎰
---=
=
=t
t
t
m k m k
e k
mv t e
v t v x 0
00)1(d d (3)质点停止运动时速度为零，即t →∞，
故有 ⎰
∞
-=
=
'0
0d k
mv t e
v x t
m k
