第一章 质点运动学
1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为011kt
v v =+；
（2）试证在时间t 内，船行驶的距离为
01
ln(1)x v kt k =
+．
[证明]（1）分离变量得2d d v
k t v =-，
积分
020
d d v t
v v
k t v =-⎰⎰，
可得 011kt
v v =+．
（2）公式可化为0
01v v v kt =
+，
由于v = d x/d t ，所以
00001
d d d(1)
1(1)v x t v kt v kt k v kt =
=+++
积分
000
01
d d(1)
(1)x
t
x v kt k v kt =++⎰⎰
． 因此
01
ln(1)x v kt k =
+． 证毕．
1.5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 +
4t 3．求：
（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ [解答]（1）角速度为
ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，
法向加速度为
a n = rω2 = 230.4(m·s -2)；
角加速度为
β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2)， 切向加速度为
a t = rβ = 4.8(m·s -2)．
（2）总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2， 当a t = a /2时，有4a t 2 = a t 2 + a n 2，即
n a a =
由此得
2r r ω= 即
22
(12)24t =
解得
3
6t =．
所以
3242(13)t θ=+==3.154(rad)．
（3）当a t = a n 时，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t 2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a =
m·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v 0x = v 0cos θ，
v 0y = v 0sin θ．
加速度的大小为
a x = a cos α，
a y = a sin α． 运动方程为 2
01
2x x x v t a t =+，
2
01
2y y y v t a t =-+．
即 2
01
cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅，
2
01
sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）
；
02sin sin v t a θ
α=
=．
将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．
1.8 一升降机以加速度1.22m·s -2上升，当上升速度为
2.44m·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m ．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
2
101
2h v t at =+；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
2
201
2h v t gt =-．
由题意得h = h 1 - h 2，所以
2
1
()2h a g t =+，
解得时间为
t == 0.705(s)．
算得h 2 = -0.716m ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m ．
1.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
对地的速度2v 等于雨对车的速度3v 加车对地
[解答]雨的速度1v ，由此可作矢量三角形．根据题意得tan α = l/h ． 方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得 v 2sin θ + v 3sin α， v 1 = 其中v 3 = v ⊥/cos α，
而v ⊥ = v 2cos θ，
因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α，
第二章 质点力学的基本定律
2.1一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度
方向垂直．其运动方程为 2211
sin 22y at g t α=
=⋅．
x = v 0t ，
1
图2.4
