高一数学北师大版必修4课件第2章 §6 平面向量数量积的坐标表示ppt版本

y1y2=0时，θ=

2
2
. 2
【知识拓展】
1.投影的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，夹角为θ，则向量a在非零向量b方向
上的投影的坐标表示为：|a|cos θ=
x1x2 y1y2 .
x
2 2

y22
2.两点间的距离公式
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1),
答案：
agb 1 65 . | a || b | 5g 13 65
1 25 4
65
65
42 02 4,
知识点2 直线的方向向量 对直线的方向向量的两点说明 (1)个数：一条直线的方向向量有无数个. (2)长度：方向向量的长度没有限制.
【微思考】
(1)直线y=kx+b的方向向量是什么？
【解析】1.(1)正确，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 积的和. (2)错误,该公式适用于非零向量a与b. (3)错误，两个向量的夹角为180°时，两个向量的数量积也小 于零. (4)错误,一个方向向量为(1,2). 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(2)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a∥b与a⊥b的坐标表 示有何区别？ 提示： 若a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0； 若a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；前者为两坐标交叉积的差等于0，而 后者为相应坐标的积的和等于0,两个结论不能混淆，可以对比 学习，分别记忆.
所以－4＝|b|×4× 所以|b|＝2.
所以a·c＝ma2－4a(－·1b)=，0，|a|＝ 2

自学导引 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ x1x2＋y1y2 ， 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 ． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x x ＋y y ＝0 则a⊥b⇔ 1 2 1 2 .
3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
2 x2 ＋ y 1 1 .
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→ B |＝ x2－x12＋y2－y12 .
：向量模的坐标运算的实质是什么？ 提示 向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐 已知a＝(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标． [思路探索] 设b＝(x，y)为所求单位向量，由a⊥b及|b|＝1的坐 标形式，得到关于x，y的方程组，进而求出b的坐标． 解 设b＝(x，y)为所求单位向量，则x2＋y2＝1 又因为a⊥b，所以a· b＝0，即4x＋2y＝0 x＝ 5， 5 联立①②解得 2 5 y＝－ 5 ，


2|b|＝2 2 的一
1 半，故c＝ (a＋b)＝ 2
－
3＋1 3－1 1 或c＝－ (a＋b)＝ ， 2 2 2
3＋1 3－1 . ，－ 2 2
规律方法 涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌 握数量积坐标运算公式a· b＝x1x2＋y1y2以及相关的模长公式或 夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意 的是，对于一些向量数量积的坐标运算的问题，有时考虑其几 何意义可使问题快速获解，如本题的方法二．这也告诉我们， 在考虑向量的数的特征时不能忽视其形的特征．
，

探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
点评注意向量 0 和实数 0 的区别.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
探究二 向量的垂直问题
两向量互相垂直,则其数量积为零,据此可建立关于未知数的方程,从而 求解,这样就把几何证明问题转化为代数计算问题. 【典型例题 2】 已知平面内三点 A,B,C 在一条直线 上,������������=(-2,m),������������ =(n,1),������������ =(5,-1),若������������ ⊥ ������������ ,求实数 m,n 的值.
思考 1 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则������������ ·������������ =(
A.-1 B.0 C.1 D.2
)
提示:易知 ������������ =(1,1),������������ =(-3,3), ∴ ������������ ·������������ =1×(-3)+1×3=0,故选 B.
思考 2 已知 a=(3,y),|a|=5,则 y=
提示:| a|= 32 + ������ 2 = 9 + ������ 2 =5,解得 y=± 4.
.
3.向量的夹角 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=
������1������2+������1������2
2 2
=
2 π .∵ θ∈[0,π],∴ θ= . 2 4
3.两个向量垂直 设非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.

ab
我们学过两向量的和与差可以转化为表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y轴上的单位向量，
由于 a b a b cos 所以
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
i i 1 . j j 1 .
教学目标：
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转 化技能。
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
B(2,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
A(1,2)
AB AC
x
三角形ABC 是直角三角形.
0
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直 角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.