3.1 微分中值定理

1 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 复习笔记 一、微分中值定理 1．罗尔定理 首先我们引入费马引理： 【费马引理】设函数f（x）在点的某邻域U（）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U（x0），有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），那么f＇（x0）＝0。 相关证明在此就不做过多介绍，感兴趣的同学可以参照相关的高等数学或数学分析教材。 通常称导数等于0的点为函数的驻点。 【罗尔定理】如果函数f（x）满足： （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）， 那么在（a，b）内至少有一点ε（a

2 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 那么在（a，b）内至少有一点ε（a

3 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 那么在（a，b）内至少有一点ε，使等式成立。 拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。 二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必达法则针对或形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零； （2）在点a的某去心邻域内，f＇（x）及F＇（x）都存在且F＇（x）≠0； （3）存在（或为无穷大）， 那么。 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（L’hospital）法则。 注意，在使用洛必达法则时，分子分母的表达式必须同时是未定式，即单独的极限同时趋于0或。 2．x→∞

4 / 84 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 【定理】设 （1）当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零； （2）当｜x｜>N时f＇（x）与F＇（x）都存在，且F＇（x）≠0； （3）存在（或为无穷大）， 那么。 三、泰勒公式 对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，譬如多项式、三角函数等函数。泰勒公式就是一种用多项式来逼近复杂函数的表达公式。 【定理】如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，ｂ）内具有直到n＋1阶的导数，则对任意x∈（a，ｂ），有 其中。这里ε是x0与x之间的某个值。 1．拉格朗日余项 称为函数f（x）按（x－x0）的幂展开的n次泰勒多项式，公式 称为f（x）按（x－x0）的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，而

1 微分中值定理的证明以及应用

1 微分中值定理的基本内容

微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(Rolle)中值定理 、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理 .具体内容如下 :

1.1 罗尔中值定理[2]

如果函数f满足:

(1)在闭区间[,]ab上连续 ;

(2)在开区间(,)ab内可导 ;

(3)在区间端点的函数值相等,即()fafb（）=,那么在区间(,)ab内至少有一点ab（<<）,使函数()yfx在该点的导数等于零,即'()0f.

1.2 拉格朗日中值定理[2]

如果函数f满足：

(1)在闭区间[,]ab上连续;

(2)在开区间,ab（）内可导.那么,在,ab（）内至少有一点ab（<<）,使等式

=fafbfba

成立.

1.3 柯西中值定理[2]

2 如果函数f及g满足:

(1)在闭区间[,]ab上都连续;

(2)在开区间,ab（）内可导;

(3)'()fx和'()gx不同时为零;

(4)()()gagb则存在,ab（）,使得

()()g()()ffbfagbga

2 三定理的证明

2.1 罗尔中值定理的证明[2]

根据条件在闭区间[,]ab上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()fx在闭区间上连续,则函数()fx在闭区间[,]ab上能取到最小值m和最大值M,即在闭区间[,]ab上存在两点1x和2x,使

12(),()fxmfxM

且对任意[,xab],有()mfxM.下面分两种情况讨论:

①如果mM,则()fx在[,]ab上是常数,所以对(,)xab,有=0fx.即,ab（）内任意一点都可以作为c,使=0fc.

②如果mM,由条件()=()fafb,()fx在[,]ab上两个端点a与b的函数值()fa与()fb,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,ab（）内必定至少存在一点c,函数()fx在点c取最大值或最小值,所以()fx在点c

课程名称 年级 专业

授课教师 授课时间 学时

授课

题目 微分中值定理

教学

目标

知识目标：

1、掌握微分基本公式及算法

2、学会复合函数的微分

3、利用微分解决一些实际问题

技能目标：

能用微分解决一下实际问题

素质目标：

培养学生良好的罗辑思维能力

教学

重点

复合函数的微分

教学

难点

微分的应用

教学

方法

讲授

教学

准备

教案、准备PPT

教务处编制 教学过程设计

教学内容 教师活动 学生活动

一、罗尔定理

1. 微分的基本公式

若函数)(xfy满足:(1)在闭区间],[ba上连续;(2)在开区间),(ba内可导;(3))()(bfaf,则至少存在一点),(ba,使得0)(f

.

二、拉格朗日中值定理

若函数)(xfy满足:(1)在闭区间],[ba上连续;(2)在开区间),(ba内可导,则至少存在一点),(ba,使得

abafbff)()()(或))(()()(abfafbf.

上式称为拉格朗日中值公式.

推论1 设函数)(xf在区间I上可导,且0)(xf,则)(xf在区间I上是一个常数.

推论2 设)(xf与)(xg都在区间I上可导,且)()(xgxf,则Cxgxf)()(（C为常数）

通过PPT演示讲解基本知识点

讲解例题

通过PPT演示讲解基本知识点

听讲勾画做笔记

听讲交流

听讲勾画做笔记

教务处编制 三、柯西中值定理

若函数)(),(xFxf满足:

(1)在闭区间],[ba上连续;

(2)在开区间),(ba内可导,且0)(xF,

则至少存在一点),(ba,使得

)()()()()()(FfaFbFafbf.

通过PPT演示讲解基本知识点

听讲勾画做笔记

教务处编制

小结

1、总结本节课所学知识点

2、学生自我总结归纳

3、收集学生意见或者建议

微分中值定理公式

微分中值定理：

1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

2、应用：

（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。

（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。

（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。

（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。

3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)

4、优势：

（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；

（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；

（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；

（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。