3.1++微分中值定理

定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
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§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．

因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知

内可导，且 f (x) 0. 则y f (x) 一定是常数函数.
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.

f ( n1) ( x0 ) 其中 Rn ( x) ( x x0 )n1 拉格朗日余项 (n 1)!
这里的 是 x0 与 x 之间的某个值。
3-1 微分中值定理
在泰勒公式中，如果取 x0 0 时，得到带有拉格朗日余项的麦克劳林 （Maclaurin）公式
f ''(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f '(0) x x x 2! n! Rn ( x)
3-1 微分中值定理
考点3：利用罗尔（Roller）中值定理证明方程根的存在性
例 : 不用求出函数 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数，说明方程
f '( x) 0 有几个实数根，并指出他们所在的区间。
零点定理 例: 证明方程 x 3x 1 0 在区间 (0,1) 内有唯一的实根。
定理3.2 ：罗尔（Rolle）中值定理： 如果函数 f ( x) 满足下列条件： （1）在闭区间 [a, b]上连续 （2）在开区间 (a, b) 内可导 （3）且 f (a) f (b) 则有：至少存在一点 (a, b) 使得 f '( ) 0 注意：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f (a) f (b) 时的一种特例。
f (b) f (a) f '( ) g (b) g (a) g '( )
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g ( x) x 时的一种特例。
3-1 微分中值定理

g ( x) cos x 在区间 [0, ] 上是 例: 验证函数 f ( x) sin x ， 2 否满足柯西中值定理的条件，并求出柯西中值定理结论中 的 。

2 b x
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，