7.4 正态总体的区间估计(一)—概率论与数理统计_王松桂、程维虎等_科学出版社

这个误差的可信度为95%.
2021/8/23
9
例3 (续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布
N(, 2), 试求糖包重量 的 95%的置信区间. 解 此时未知, n 12,
0.05, x 502.92, s 12.35,
附表3-2
查 t(n 1) 分布表可知: t0.025(11) 2.201,
2021/8/23
26
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95(17,
12)
1 F0.05 (12,
17)
1, 2.38
于是得
2 1
2 2
的一个置信度为
0.90
的置信区间
0.34 0.29
1 2.59
,
0.34 0.29
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为0.95的置信区间.
解 0.05, n 1 15,
附表3-1
查 t(n 1) 分布表可知: t0.025(15) 2.1315,
计算得 x 503.75, s 6.2022,
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10时, 1 0.95,
2 查表得 z / 2 z0.05 1.645,
附表2-1
2021/8/23
3
x
n
z
/
2
502.92
10 1.645 498.17, 12
x
n
z
/2
502.92

解 n=100, Yn=20, pˆ Yn / n 0.20, α =0.10, zα/2=1.645, 将这些结果代入到(7.6.5)式，得 p 的置信系数约为0.90的近似置信区间为[0.134, 0.226]。
例7.6.4 公共汽车站在单位时间内(如半小 时或1小时或一天等)到达的乘客数服从泊松分 布P(λ), 对不同的车站, 所不同的仅仅是参数 λ 的取值不同。现对一城市某一公共汽车站进 行了100个单位时间的调查。这里单位时间是 20分钟。计算得到每20分钟内来到该车站的 乘客数平均值为 15.2 人。求参数λ 的置信系数 为 95%的置信区间。
解 n=100, Yn=84, pˆ Yn / n 0.84,α=0.05,
zα/2=1.96, 将这些结果代入到(7.6.5)式，得 p 的置信系数约为0.95的置信区间为
pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n ，pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n
0.84-1.96
0.84(1 0.84) , 0.84-1.96 100
Y～N(2, 22)，样本均值与样本方差为
Y
1 n
n
i1
Yi
,
S
2 2
n
1
1
m
i1
(Yi
Y )2.
I. 当两样本相互独立时，有
X Y
~ N 1 2 ,
σ12 m
2 2
n
；
(7.5.1)
II.
当
2 1
2 2
2，
2未知时，
(X
Y ) (1 2 )
S m1 n1
~
tmn2 .
(7.5.2)
(7.6.4)式是(7.6.1)式的特殊情形。

1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22

解(1)P(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(B)P(A B) 0.6 0.4 0.40.5 0.8
14
1.16 已知P( A) 0.6, P(B) 0.4, P( A B) 0.5, 计算(1)P( A U B);(2)P( A U B)
P(B1)P( A P( A)
B1 )
0.2 0.95 19 0.94 94
P(B2
A)
P( AB2 ) P( A)
P(B2 )P( A P( A)
B2 )
0.3 0.9 27 0.94 94
P(B3
A)
P( AB3 ) P( A)
P(B3 )P( A P( A)
B3 )
0.5 0.96 0.94
P( A1)
43 43
2
3 8
,
P( A2 )
C32
C41 43
C31
9 16
P(
A3 )
C41 43
1 16
另:P(
A2
)
1
P(
A1
)
P(
A3
)
9 16
9
1.12掷一颗均匀的骰子两次,求前后两次出现的点数之和 为3，4，5的概率各是多少？
解 设Ai {前后两次出现的点数之和为i},i 3, 4,5
P(AB) P(A) P(A B)
P(AB) 1 P(AB) 1P(A) P(A B)
1 P(A) P(A B) 1 0.8 0.4 0.6
7
1.10 (3)设P( AB) P( A B), P( A) 0.3, 求P(B) 解 Q P( AB) P( A B) P( A U B) 1 P(AU B)