第27章 “相似”自主检测题
（时间45分钟 满分100分）
一、填空题（每空2分 共20分 第5题算一个空）
1． 长方形地基，长75米，宽30米，把它画在比例尺是1∶100的图纸上，长应是 ㎝，宽应
是 ㎝ 。
2.将一个四边形扩大2倍,则它的周长扩大 倍，面积扩大 倍。
3．如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC ．若DE ＝2㎝，BC ＝3㎝，EC ＝
3
2
㎝，则AC ＝________㎝．
4．如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 米. 5. 如图，将①∠BAD = ∠C ；②∠ADB = ∠CAB ；③BC BD AB ?=2； ④
DB AB AD CA =；⑤DA AC BA BC =；⑥AC
DA
BA BC =
中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是__________，结论是_________.（注：填序号即可）
6． 如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，则位似中心是 ；图中AB 与CD 的关系是 。
7. 如图△A BC 中，AB = AC ，BD 平分∠A BC ，且△A BC ∽△BDC ，则∠A =___度.
二、选择题（每题4分 共24分）
8．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形； ④两个矩形；⑤两个菱形 ；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有（ ）. A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
9．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB=2m ，CD=5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是（ ） A .
56m B .67m C .65m D .103
m
O B
N M
A
10．已知，如图，△ABC ∽△AED ，那么AE ·BC 等于
A ．AC ·DE
B ．AB ·DE
C ．AC ·AE
D ．AB ·A E
第11题
11．如图，小明站在C 处看甲乙两楼楼顶上的点A 和点E 。C ，E ，A 三点在同一条直线上，点B ，D 分别在点E ，A 的正下方且D ，B ，C 三点在同一条直线上。B ，C 相距20米，D ，C 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高AD 为（ ）米(小明身高忽略不计)。 A 、40 B 、20 C 、15 D 、30
12．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，下列条件中： ①∠BAE = ∠CEF ；②∠AEB = ∠EFC ；③AE ∠EF ； ④
CF BE EC AB =；⑤EC
AB
EF AE =
. 其中能使∠ABE ∠ ∠ECF 的有（ ） A.① ② B. ① ② ③
C. ① ② ③ ④
D. ① ② ③ ④ ⑤
13．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度
A ．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米
三、解答题（共56分）
14．（10分）如图：点D 在AC 上，∠DBC=∠A ，CB=
6 ，AC=3，求CD 的长
12题图 A D B C E F
15．（10分） 已知：如图，点D 、E 分别在△A BC 的边AB 、AC 上，且AD = 2DB ，AE = 2EC.
求证：∠DEB = ∠EBC.
16．（12分）在直角坐标系中标出点A （0，0），B （2，0），C （1，2），D （1，4），先用线段依次连接A 、B 、C 、D 。
（1）将得到的图形向上平移2个单位，图形的形状是否会变化？请试一试。 （2）在另一直角坐标系中画出将各边都扩大2倍且A 点仍在原点的图形。 （3）填写下表。
),(y x A （0，0） B （2，0） C （1，2） D （1，4）
（y x 3,3）
),(y x
A （0，0）
B （2，0）
C （1，2）
D （1，4）
（y x ,2）
上述两个图形中，哪一个和（1）中的图形相似？是位似图形吗？
A D
B E
C
17．（12分）如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷。经过了解，教学楼、水塔的高分别为20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m。小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少m？
18．（12分）如图：DB＝CE，过点D作DK//AC交BC于K，请问AC·EF＝AB·DF吗？为什么？
小张
A
B
D C
参考答案
一、填空题
1．75；30 2．2，4 3．2 4．7.5 5．① ③（答案不唯一）6．O ，AB//CD 7．36 二、选择题
8．A 9．C 10．B 11．D 12．D 13．D 三、解答题 14．CD=2
15．可通过证明ADE C △∽△AB 得到ADE ABC ∠=∠，从而证明DE//BC 即可得结论 16．（1）不会改变（2）图略（3）表格略，第一个图与（1）中的图相似，是位似图形。 17．55.2米 18．证明：
//,FE CE DF CE
DK AC DK DF DK EF
?∴
=∴=
同理：BD AC DK AB
?= 因此得FD CE BD AC EF
AB
??=，
又，CE ＝DB ，DF AC
EF AB
∴=
， AC EF AB DF ∴?=?
- 第27章单元测试卷 (时间45分钟，满分100分) 一．选择题(每题４分，共24分) 1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ ） A.ΔABC 放大后角是原来的2倍 B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍 C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍 D.以上的命题都不对 2．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m ，他在地面上的影长为2.1m ．若小芳比爸爸矮0.3m ，则 她的影长为（ ）． A ．1.3m B ．1.65m C ．1.75m D ．1.8m | ` " 3．如图所示，图中共有相似三角形( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 4．如图，△ABC 中，∠B=900 ，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D∥BC， 则CD 的长是( ) Ａ．409 Ｂ．509 Ｃ．154 Ｄ．254 5．如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在( ) A ．P 1处 B ．P 2处 C ．P 3处 D ．P 4处 — # 6．如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1 4 CF CD =，下列结论：① 30BAE ∠=， ②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△．其中正确的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二．填空题(每题４分，共２4分) 7．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2 ，则这个地 区的实际周长_________m ，面积是___________m 2 8．如图，在Ｒt △ABC 中,∠C=90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个 》 条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是________________________. 9．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为13 ， 把线段AB 缩小后得到线段A / B / ，则A /B / 的长度等于____________． 10．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是______________. 、 ~ 11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有 一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两 棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米． [ O D C B A P A ? B C F D E · / P 北岸 南岸 2 o y x 2.1m 太阳光线 E D C B A (第5题) (第6题) (第2题) (第3题) (第4题) C (第8题) (第10题) (第10题) (第12题)
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
（专题精选）初中数学三角形全集汇编及答案 一、选择题 1．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ） A ．9 B ．310 C ．326+ D ．12 【答案】B 【解析】 【分析】 将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】 解：如图，AB=22(36)3310++= ． 故选：B ． 【点睛】 此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了． 2．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36° 【答案】B 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°， 由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°， ∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°， ∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°. 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 3．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（） A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm 【答案】D 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】 解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去； 当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键． 4．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是() A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】 A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
2020-2021学年人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 测试1 图形的相似 学习要求 1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质． 3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质． 课堂学习检测 一、填空题 1．________________________是相似图形． 2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如 d c b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形． 4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________． 5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________． 6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________． 反之亦真．即?=d c b a ______(a ，b ， c ， d 不为零)． 7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 8．若,5 7 1=+x x 则x ＝______． 9．若 ,5 32z y x ==则=-+x z y x 2______． 10．在一张比例尺为1∶20200的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两 地实际距离为______m ． 二、选择题 11．在下面的图形中，形状相似的一组是( ) 12．下列图形一定是相似图形的是( ) A ．任意两个菱形 B ．任意两个正三角形 C ．两个等腰三角形 D ．两个矩形 13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为 50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
（易错题精选）初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线，①正确； ∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°，②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确 在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a 在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确 故选：D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ．4 B ．3 C ．6 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】 解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ， 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A ＝x ， 则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°， 解得x ＝30°，
C．∠D＝∠AEC D△．ADE∽△CBE c a c c C．AC2＝AD·B C D.＝ 小专题(四)相似三角形的判定与性质 1．(河北中考)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D) ︵︵ A．AE>BE B.AD＝BC 1 2 2．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ 要使ABC∽△CAD，只要CD 等于(A) b2b2ab a2 A.B.C.D. 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是(D) A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD DC AB AC BC 4．(邯郸育华中学月考)如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有(C) A．4对B．3对C．2对D．1对 提示：△ABC∽△FGE△，HIJ∽△HKL. 5．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD 交PC于G，则图中相似三角形有3对． 提示：△BCP∽△PCF△，DAP∽△DPG△，APG∽△BFP.
的延长线于N，则 1 ＋＝1． CD CE， AB－32 6．(河池中考)如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD 1 AM AN 7．(保定高阳章末测试)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°. (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)若BD＝3，CE＝2，△求ABC的边长． 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∴∠BAD＋∠ADB＝120°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＋∠EDC＝120°. ∴∠DAB＝∠EDC. 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE. (2)∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC. ∴CD＝BC－BD＝AB－3. ∵△ABD∽△DCE， ∴ AB BD ＝ 即 AB3 ＝.解得AB＝9. 8．(邯郸育华中学月考)如图所示，已知ABCD中，AE∶EB＝1∶2. (1)△求AEF△与CDF的周长之比； (2)如果△S AEF ＝6cm2，求S△CDF.
2021年春新人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试 卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若 b a =25 ，则a b a b -+ 的值为（ ） A ．14 B ．37 C ．35 D ．75 2．已知a ：b ＝3：2，则a ：（a ﹣b ）＝（ ） A ．1：3 B ．3：1 C ．3：5 D ．5：3 3．如图，在ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：ACP B ∠∠=①；APC ACB ∠∠=②；2AC AP AB =?③；AB CP AP CB ?=?④，能满足APC 与ACB 相似的条件是（ ） A ．①②④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②③ 4．如图，在正方形ABCD 中， E 是CD 的中点，点 F 在BC 上，且FC= 14 BC ．图中相似三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 5．如图，△ABC 中，DE∥BC，13 AD AB =，AE ＝2cm ，则AC 的长是（ ）
A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 6．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（ ） A ．EG=4GC B ．EG=3G C C ．EG=52GC D ．EG=2GC 7．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ） A ．a = B ．2a b = C ．a = D ．a = 8．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为（ ） A ．105° B ．115° C ．125° D ．135° 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ） A ．12m B ．13.5m C ．15m D ．16.5m
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
最新初中数学三角形经典测试题含答案 一、选择题 1．如图，90ACB ∠=?，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ） A ．45° B ．30° C ．22.5° D ．15° 【答案】C 【解析】 【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】 解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ， ∵∠ACB=90°，AC=CD ， ∴∠DAC=∠ADC=45°， ∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ， ∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ， ∵∠ABC=∠DBE ， ∴∠CAB=∠CDM ， 在△ACB 和△DCM 中 CAB CDM AC CD ACB DCM ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ACB ≌△DCM （ASA ）， ∴AB=DM ， ∵AB=2DE ， ∴DM=2DE ， ∴DE=EM ，
∵DE ⊥AB ， ∴AD=AM ， 114522.522 BAC DAE DAC ??∴∠=∠= ∠=?= 故选：C ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键． 2．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．32 D ．85 【答案】C 【解析】 【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度． 【详解】 解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==， ∴∠B=90°， ∴22345AC =+=， 由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ， ∴CF=5-3=2， 在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -， 由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x = ； ∴32 BE =． 故选：C ． 【点睛】
《相似》单元培优检测题 一．选择题 1．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BC＝3，DE＝1.5，AD＝2，则AB的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（） A．B．C．D． 3．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺＝10寸），问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为（） A．12尺B．56尺5寸C．57尺5寸D．62尺5寸 4．如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（） A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 5．如图，线段AB＝1，点P 1是线段AB的黄金分割点（且AP 1 ＜BP 1 ，即P 1 B2＝AP 1 ?AB），点P 2 是线段AP 1 的黄 金分割点（AP 2＜P 1 P 2 ），点P 3 是线段AP 2 的黄金分割点（AP 3 ＜P 2 P 3 ），…，依此类推，则线段AP 2017 的长度 是（）
A．（）2017B．（）2017C．（）2017D．（﹣2）1008 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若＝＝，DE＝3，则BC的值为（） A．6 B．8 C．9 D．10 7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S △ABE ：S △ECF 等于（） A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4 8．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC 于点F，连接CD，交EF于点K，则下列说法正确的是（） A．B．C．D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF ∥BC交AC于点F，则EF的长为（） A．B．C．D． 10．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
知 识点梳理 考点一、三角形 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ??? ????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性 6、三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分)
边形共有 2)3 ( n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线
第二十七章相似周周测6 一、选择题 1.如果a=3，b=2，且b是 a和c的比例中项，那么c=（） A. B. C. D. 2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（） A. 3：4 B. 2：3 C. 9：16 D. 3：2 3.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（） A. m＜n B. m＞n C. m=n D. 无法确定 4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4 5.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（） A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4 6.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）． A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2 7.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A. B. C. D. 8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B 、C，直线DF分别交l1、 l2、l 3与点D、E 、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（） A. B. C. D. 9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △ DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3。若S1+ S3=20，则S2的值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 11.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）
2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：．
5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：．
11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
初中数学三角形经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（） A．45°B．30 °C．15°D．60° 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果． 【详解】 解：∵ABCD是长方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAF=60°， ∴∠DAF=30°， ∵长方形ABCD沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE=∠EAF=1 2 ∠DAF=15°． 故选C． 【点睛】 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量． 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求
【详解】 ∵ BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠ABD ＝∠EBD . 又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边， ∴ △ABD ≌△EBD (AAS)， ∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ， ∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC ＝AD ＋DC ＋EC ＝AC ＋EC ＝AB ＋EC ＝BE ＋EC ＝BC ＝10 cm. 故选B. 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( ) A ．2cm ，3cm ，5cm B ．7cm ，4cm ，2cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．3cm ，3cm ，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】 A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确． 故选D ． 4．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45° 【答案】C
初三数学九（下）第二十七章：相似 第1课时图形的相似（1） 教学目标: 1、知识目标： 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． 2、能力目标： 在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题． 3、情感目标： 在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． 重点、难点 教学重点: 认识图形的相似． 教学难点: 理解相似图形概念． 一.创设情境 活动1观察图片，体会相似图形 同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2) 师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念． 教师活动:什么是相似图形? 学生活动:共同交流,得到相似图形的概念． 学生归纳总结：(板书) 形状相同的图形叫做相似图形 在活动中,教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念； 活动2 思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?
学生活动: 学生观察思考，小组讨论回答； 二. 通过练习巩固相似图形的概念 活动3 练习问题： 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？ 教师活动:教师出示图片，提出问题； 学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题. 教师活动:在活动中,教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉． 三. 小结巩固 活动3 (1)谈谈本节课你有哪些收获． (2)课外作业 1、下列说法正确的是（） A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的. 2、填空题 1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。 课后反思：
第二十七章 相似单元测试卷 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题(每题5分,共30分) 1.ABC ?和DEF ?相似,且相似比为32 ,那么DEF ?和ABC ?的相似比为( B ) A.32 B.23 C.49 D.94 2.下列说法正确的是( A ) A.各有一个角是100的两个等腰三角形相似 B.各有一个角是45的两个等腰三角形相似 C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似 D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 3.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( B ) A B C D 第3题 4.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( D ) A.150cm B.155cm C.160cm D.165cm 5.如图,ACD ?和ABC ?相似需具备的条件是( C ) A.AC AB CD BC = B.CD BC AD AC = C.2AC AD AB =? D.2CD AD BD =? 6.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( A ) B. D. 第5题 第6题 第8题 第9题 二、填空题(每题6分,共 30分) 7.在比例尺为 1:1 000 000的交通地图上,测得某两地的图上距离 为7.5cm ,则它们的实际距离为 75 km . 8.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的13 9.如图,已知ACP ?∽ABC ?,4,2AC AP ==,则AB 的长为 8 . 10.如图,ABC ?中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则 ::ADE DFGE FBCG S S S ?=梯形梯形 4:21:56 . 11.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''?与PQR ?是位似三角形,此时P Q R '''?与PQR ?的 位似中心是O ,位似比为12 . P P ' Q Q ' R R ' O B A C D E F B ''A B C B C A P