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人教版数学九年级下册教学设计27.1《图形的相似》一. 教材分析《图形的相似》是人教版数学九年级下册第27.1节的内容，本节主要让学生理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质，以及学会运用相似图形解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现相似图形的性质，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何的基本概念和性质，如点、线、面的关系，角度、三角形的性质等。
但是，对于相似图形的概念和性质，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对于解决实际问题，尤其是涉及到相似图形的实际问题，感到困难，需要教师的引导和帮助。
三. 教学目标1.了解相似图形的概念，掌握相似图形的性质。
2.学会运用相似图形解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的概念和性质。
2.运用相似图形解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过生动的实例，引导学生观察和发现相似图形的性质。
2.问题驱动：提出实际问题，引导学生运用相似图形进行解决。
3.分组讨论：学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
4.练习巩固：通过丰富的练习，巩固学生对相似图形的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示实例。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的学习效果。
3.实物模型：准备一些实物模型，如相似的三角形、矩形等，帮助学生直观地理解相似图形。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型或图片，引导学生观察和比较相似的图形，引发学生对相似图形的兴趣。
提问：你们发现这些图形有什么共同的特点？学生回答：形状相同，但大小不同。
教师总结：这就是我们今天要学习的相似图形。
2.呈现（10分钟）展示教学课件，讲解相似图形的概念和性质。
通过实例和图形的变换，引导学生发现相似图形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等关系等。
疱丁巧解牛知识·巧学一、相似的概念1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似形.“相同形状”也就是一个图形可看作是由另一个图形放大、缩小或复制得到的.方法归纳相似关系中只关注图形的形状是否相同，不考虑它们的大小和位置之间的关系.也就是说：只要两个图形形状相同，不论大小是否相同，位置如何摆放都是相似形.2.生活中常见的相同形状的图形主要有以下几种类型：(1)同一地区按不同的比例尺所绘制的地图；(2)同一张底片扩印出来的照片，电影胶片上的图像与它映照到屏幕上的图像；(3)通过放大镜、眼镜所看到的图形与实际图形；(4)沙盘模型与建筑原型是相似形.3.相似多边形：形状相同的多边形是相似多边形.例如：国旗上的5个五角星都相似.要点提示形状相同的前提是边数相同.4.相似与全等：全等是相似的特殊情形.形状相同，两图形相似；形状相同并且大小也相同，两图形全等.辨析比较“放大镜”与“哈哈镜”.放大镜是一种用来观察物体细节的简单目视光学器件，是焦距比眼的明视距离小得多的会聚透镜.使用放大镜，令其紧靠眼睛，并把物体放在它的焦点以内，成一正立放大的虚像，这个“像”与物体本身相似.哈哈镜镜面凹凸不平，根据凹凸镜成像原理，成的是或大或小的虚象，照出人来就奇形怪状了，所以哈哈镜的“像”与物体本身不相似.二、比例线段1.线段的比：线段的比是指用同一长度单位量得两条线段的长度的比.①两条线段的比与长度单位的选择无关；②求两条线段的比时，若其单位不同，则必须使单位相同再求比；③两条线段的比是一个正数；④两条线段的比a∶b中，要清楚谁为前项.例如：线段a=10 cm，b=15 cm，则线段a与b的比是10∶15=2∶3，a是前项，b是后项；线段b与a的比是15∶10=3∶2，b是前项，a是后项.10cm，则线段AB与AC的比是正方形ABCD中，AB=10 cm，对角线AC=210=2∶2.10∶22.比例线段：比例线段是指在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比a∶b等于另外两条线段的c∶d，即a∶b=c∶d.那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.例如：四条线段1 cm、2 cm、3 cm、6 cm满足1∶2=3∶6，所以1 cm、2 cm、3 cm、6 cm是比例线段.要点提示①四条线段才能成比例；②线段成比例时，一定要将线段按顺序列出，不可颠倒，一般可以按大小顺序写出.3.比例中项：若作为比例内项的两条线段相同，即a∶b=b∶c，则线段b叫做a、c的比例中项.三、相似多边形的性质1.相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.(1)形状的相同是指“对应边成比例，对应角相等”.(2)识别两个边数相同的多边形是否相似的方法：①两个多边形的边都对应成比例；②角都对应相等, 那么这两个多边形相似.误区警示上述两个条件必须同时成立，缺一不可(如矩形与正方形角都对应相等，但边不是都对应成比例，不相似；菱形与正方形边都对应成比例，但角不是对应相等，不相似).在格点上画多边形相似时，就是保持对应位置上的线段放大或缩小相同的倍数，对应的角的大小不变，所以画出的多边形是相似的.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.例如：若△ABC 与△A′B′C′相似，那么k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，这两个相似三角形的相似比就是k.(1)相似比是有顺序性的，前面的一个多边形的边作为分子，后面一个多边形的边作为分母.表示两个多边形相似的顺序不一样时，相似比也不相同.(2)相似比为正数.相似比为1，即k=1时，两个相似多边形不仅形状相同，而且大小也相同，这时两个多边形就全等.深化升华 根据性质，可以由一个图形的已知条件求其相似图形的未知元素.①由对应角相等，可以直接求出对应角的度数；②由对应边的比等于相似比，列比例式可以求对应边长.问题·探究问题1 等边三角形都相似吗？导思：根据相似多边形的定义，比较它们的边，是否成比例比较它们的角是否相等. 探究:(1)从不同类型的三角形入手：①等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°，因此，两个等边三角形的边都对应成比例，角也都对应相等，所以是相似的；②两个等腰三角形，当它们的顶角不相等时，角就不能对应相等，虽然两三角形对应腰的比相等，但是不能等于两底边的比，所以也不一定相似；③由于任意两个三角形，它们的边不一定对应成比例，角也不一定对应相等，所以不一定相似.(2)看看我们学习过的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？(见27.2《问题·探究》)(3)不同边数的多边形相似吗？边长为10 cm 的正方形与同样边长的正六边形相似吗？为什么？问题2 相似三角形的周长之比为多少？导思：熟悉比例的变形，避免重复计算.探究:比例是商的形式，根据等式的基本性质，可以把商与积互化.(1)【比例的基本性质】在任意的一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即a ∶b=c ∶d ⇔da=bc.(符号“⇔”表示从左边的条件可以得到右边的结论，把右边作为条件，可以得到左边的结论).(2)【反比定理】在一个比例里，第一个比的反比，等于第二个比的反比，这叫做比例中 的反比定理，即cd a b d c b a =⇔=. (3)【更比定理】在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例；或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理，即db c a d c b a =⇔=. (4)【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理，即dd c b b a d c b a +=+⇔=. (5)【等比定理】几个相等的比的前项的和与后项的和的比，等于这些比里的任一个比，即 若k n m d c b a ==== (b+d+…+n≠0)，则k nd b m c a =++++++ . 典题•热题例1 如图27.1-2，在给出的点格内通过放大或缩小画出已给图形的相似形.图27.1-2思路解析：首先固定一个最左边格点上的一个点，分别在横线上和竖线上把相应的线段放 大或缩小(画图，一般都画在所给定的区域内).解：如图27.1-3.图27.1-3方法归纳 在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后的位置，再由这些点构造新图形.例2 (1)已知线段a=30 mm ，b=5 cm ，则a ∶b=__________；(2)量得A 、B 两地在某张地图上的距离是5 cm ，而两地的实际距离是250 km ，则这张地图的比例尺是__________；(3)在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m 的测竿的影长为2.5 m ，那么古塔的高是__________m.思路解析：(1)由定义“两条线段的比是这两条线段长度的比”，在计算它们的比时先要 统一单位；因为a=30 mm=3 cm ，所以a ∶b=3∶5.(2)比例尺=实际距离图上距离，通常写成1∶常数的形式，计算前还是要注意统一单位；因为 5cm=0.05 m ，250 km=250 000 m ，所以比例尺为0.05∶250 000=1∶5 000 000.(3)相同时刻的物高与影长成比例，因此古塔的高、古塔的影长、测竿的高、测竿的影长是成比例线段，即测杆的影长测杆的高古塔的影长古塔的高=，从而解决问题. 设古塔的高为x m ，根据题意得5.25.150=x ， 解得x=30，所以古塔的高为30 m.答案：(1)3∶5 (2)1∶5 000 000 (3)30深化升华 利用比例线段可以进行相关计算，其关键是找准比例式.比例尺=测杆的影长测杆的高物体的影长物体的高实际距离图上距离=;. 例3 若x ∶y ∶z=3∶4∶7且2x-y+z=18，那么x+2y-z=__________. 思路解析：由x ∶y ∶z=3∶4∶7,知743z y x ==.可利用比例解决问题.特别是遇到连等式时，可用设比例系数(即公比)的办法解决.方法一：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴743z y x ==. 设k z y x ===743(k≠0)，则x=3k ，y=4k ，z=7k. ∴ 2x-y+z=6k-4k+7k=9k ，即9k=18.解得k=2.∴ x+2y-z=3k+8k-7k=4k=4×2=8.方法二：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴y z y x 47,43==. ∴2x-y+z=2×y 43-y+y 47=18.解方程得y=8. ∴x=6，z=14.∴x+2y-z=6+16-14=8.答案：8变式方法 利用比例式计算时，通常可用方程思想，设中间参数计算.又如：已知x ∶y=2∶7，求22225223y xy x y xy x -++-的值. 由x ∶y=2∶7,得y x 72=.把y x 72=代入原式得(以下略).。
第二十七章相似27.1图形的相似一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各选项中的两个图形是相似图形的是A．B．C．D．【答案】D【解析】只有选项D的图形形状相同，故相似．故选D．2．下列四组图形中，一定相似的是A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形【答案】D3．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】由已知可得：α的度数是：360°–60°–75°–138°=87°，故选C．4．一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为A．6 B．8C．10 D．12【答案】B【解析】设这个多边形的最短边长是x，则2462x=，解得x=8．故选B．5．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【答案】B【解析】A．2×1≠3×4，故本选项错误；B．2×2=1×4，故本选项正确；C．3×13≠5×9，故本选项错误；D．1×3≠2×2，故本选项错误；故选B．6．某机器零件在图纸上的长度是21mm，它的实际长度是630mm，则图纸的比例尺是A．1∶20 B．1∶30C．1∶40 D．1∶50【答案】B【解析】因为比例尺=图上距离:实际距离，所以图纸的比例尺为21:630=1:30，故选B．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．在一幅比例尺是1∶100000的地图上，测得A，B两地间的距离为3.5厘米，那么A，B两地间的实际距离为________米．【答案】3500【解析】由已知可得，A，B两地间的实际距离为3.5÷1100000×10–2=3500（米），故答案为：3500．8．已知a，b，c，d是四条线段且a cb d=，其中a=5cm，b=3cm，c=6cm，则线段d=________cm.【答案】18 5【解析】因为a cb d=，即563d=，解得d=185，故答案为：185．9．如图，若△ADE ∽△ACB ，且23AD AC =，DE =10，则BC =__________．【答案】15【解析】∵△ADE ∽△ACB ，且23AD AC =，∴23DE AD BC AC ==， 又∵DE =10，∴1023BC =，解得：BC =15.故答案为：15. 10．如图，从长8cm 、宽4cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm.【答案】2【解析】设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似，∴448x =，x =2， ∴留下的矩形的宽为2cm ．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图所示是两个相似四边形，求边x 、y 的长和∠α的大小．【解析】∵两个四边形相似，∴AD BC ABA DBC A B '''='''=，即47616y x==，∴2428.x y ==， ∵73B B'∠=∠=︒，∴36083.A D B α∠=︒-∠-∠-∠=︒12．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．【解析】如图所示：13．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1），若沿矩形ABCD四周有宽为1的空白区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？14．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．（1）试说明四边形EFGH 是平行四边形． （2）四边形EFGH 与ABCD 相似吗？说明理由．【解析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，点O 是两条对角线的交点， 所以OA =OC ，OB =OD ．又因为E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点， 所以OE =OG ，OF =OH ，所以四边形EFGH 是平行四边形．（2）因为E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，所以1=2EF AB ，EF AB ∥，12FG BC =，FG BC ∥， 1=2GH CD ，12GH CD ∥，1=2HE DA ，12HE DA ∥，所以12EF FG GH HE AB BC CD DA ====，∠OEF =∠OAB ，∠OEH =∠OAD ，所以∠OEF ＋∠OEH =∠OAB ＋∠OAD ，即∠FEH =∠BAD ， 同理可得∠EFG =∠ABC ，∠FGH =∠BCD ，∠GHE =∠CDA ， 所以四边形EFGH 与ABCD 相似．。
人教版数学九年级下册27.1《图形的相似》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第27.1节《图形的相似》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。
本节内容主要介绍了相似图形的概念、性质和判定方法，以及相似图形的应用。
通过本节的学习，学生能够理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法，并能运用相似图形解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的性质和判定方法有一定的了解。
但是，对于相似图形的概念和性质，以及如何运用相似图形解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出相似图形的概念，并通过大量的练习，使学生能够熟练掌握相似图形的性质和判定方法。
三. 教学目标1.了解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2.能够运用相似图形解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的概念和性质。
2.相似图形的判定方法。
3.相似图形的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出相似图形的概念。
2.通过大量的练习，使学生能够熟练掌握相似图形的性质和判定方法。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在合作中思考，在思考中合作。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生从实际问题中抽象出相似图形的概念。
3.准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，让学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？引导学生从实际问题中抽象出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍相似图形的定义、性质和判定方法。
通过PPT和教材，详细解释相似图形的概念，以及相似图形的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用相似图形的性质和判定方法，解决实际问题。
教师可以设置一些难度不同的练习题，让学生根据自己的能力选择相应的题目。
专题27.1 图形的相似1.相似图形定义：形状相同的图形叫做相似图形。
2.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
3.性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【例题1】在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角α的大小．【答案】x=31.5,y=27,α=83°．【解析】∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==， ∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．【点拨】利用图形相似，对应边成比例，对应角相等的性质来进行解题。
【例题2】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm【答案】C ．【解析】设另一个三角形的最长边长为xcm ，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm ，故选：C ．【点拨】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【例题3】所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？【答案】见解析。
【解析】所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．1. 图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．【答案】见解析。
【解析】不相似．︒=︒-︒-︒-︒=∠587295135360D ，而︒=︒-︒-︒-︒=∠715995135360E ，不可能有“对应角相等”．2.已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和βα∠∠、的度数．【答案】见解析。
