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因式分解分组分解法笔记
【原创实用版】
目录
1.因式分解的概念和重要性
2.分组分解法的基本原理
3.分组分解法的具体步骤
4.分组分解法在实际问题中的应用
5.总结与展望
正文
一、因式分解的概念和重要性
因式分解，就是把一个多项式转化成几个整式积的形式。
它在数学中有着广泛的应用，是代数运算中的一项基本技能。
掌握好因式分解，不仅可以帮助我们更好地理解多项式的性质，还可以提高我们的计算能力和解题技巧。
二、分组分解法的基本原理
分组分解法是因式分解的一种常用方法，它的基本原理是将多项式按照一定的规则进行分组，然后对每组进行因式分解，最后将各组的因式分解结果合并，得到原多项式的因式分解式。
三、分组分解法的具体步骤
1.确定分组规则：根据多项式的具体形式，选择合适的分组规则，如按照项数、次数、系数等进行分组。
2.对每组进行因式分解：根据多项式的性质，选择适当的因式分解方法，如提公因式、公式法、十字相乘法等，对每组进行因式分解。
3.合并因式分解结果：将各组的因式分解结果合并，得到原多项式的
因式分解式。
四、分组分解法在实际问题中的应用
分组分解法在解决实际问题中的应用非常广泛，如在求解多项式的零点、判断多项式的正负性、计算多项式的值等过程中，都可以运用分组分解法来进行因式分解，从而简化问题，提高解题效率。
五、总结与展望
因式分解是代数运算中的一项基本技能，掌握好因式分解，可以提高我们的计算能力和解题技巧。
分组分解法是因式分解的一种常用方法，它的具体步骤明确，操作简便，适用范围广泛。
在实际问题中，我们可以灵活运用分组分解法，提高解题效率。
因式分解分组分解法笔记
【原创版】
目录
1.因式分解分组分解法概述
2.分组分解法的基本步骤
3.分组分解法的实际应用
4.分组分解法的优点与局限性
正文
一、因式分解分组分解法概述
因式分解分组分解法是代数学中的一种重要方法，主要用于将一个多项式表达式分解成一些简单的因式相乘的形式。
分组分解法是因式分解的一种技巧性方法，它通过将多项式中的项进行分组，再进行因式分解，从而简化因式分解的过程。
二、分组分解法的基本步骤
分组分解法的基本步骤如下：
1.确定分组：将多项式中的项按照一定的规则进行分组，通常是将含有相同变量的项分为一组。
2.提取公因式：对于每一组，提取出它们的公共因子。
3.进行因式分解：将每一组中的项除以公共因子，得到一个新的因式。
4.将各个因式相乘：将所有得到的因式相乘，得到最终的因式分解结果。
三、分组分解法的实际应用
分组分解法在实际的代数运算中应用广泛，例如在解方程、化简表达式、证明等式等方面都会用到。
尤其是在一些复杂的因式分解问题中，分
组分解法能够大大简化因式分解的过程，提高解题效率。
四、分组分解法的优点与局限性
分组分解法的优点在于它能够简化因式分解的过程，使得复杂的问题变得简单。
而且，分组分解法适用于大部分的因式分解问题，因此是一种非常实用的方法。
然而，分组分解法也有其局限性。
对于一些特殊的多项式，分组分解法可能无法进行因式分解。
此外，分组分解法的效果取决于分组的正确性，如果分组不当，可能会导致因式分解失败。
总的来说，因式分解分组分解法是一种重要的代数方法，它能够有效地解决因式分解问题。
因式分解分组分解法笔记 摘要： 一、引言 - 因式分解的重要性 - 分组分解法的基本概念 二、分组分解法的基本原理 - 分组分解法的定义 - 常用的分组方法 三、分组分解法的应用 - 在代数式中的应用 - 在多项式中的应用 四、分组分解法的优势与局限 - 优势：简化计算过程，提高效率 - 局限：不适用于所有情况 五、结论 - 对分组分解法的总结 - 对进一步学习的建议 正文： 一、引言 因式分解是代数学中的一个重要概念，能够帮助我们更好地理解和简化代数式。分组分解法是因式分解的一种常用方法，通过将代数式分组，然后进行因式分解，可以大大简化计算过程，提高效率。 二、分组分解法的基本原理 分组分解法是一种因式分解方法，其主要思想是将代数式进行分组，然后对每组进行因式分解。具体来说，如果一个代数式可以被分为两个或更多的组，那么我们可以先对每个组进行因式分解，然后再将各组的因式相乘，得到最终的因式分解式。 在实际操作中，分组的方法有很多种，比如最常见的分组方法是按照各项的公因数进行分组。例如，对于代数式3x^2 + 6x，我们可以将其分为两组，一组是3x^2，另一组是6x，然后对每组进行因式分解，得到最终的因式分解式3x(x + 2)。 三、分组分解法的应用 分组分解法可以广泛应用于各种代数式和多项式的因式分解。例如，对于代数式5a^2 - 7a + 2，我们可以先将其分为两组，一组是5a^2，另一组是-7a + 2，然后对每组进行因式分解，得到最终的因式分解式(5a - 1)(a - 2)。 对于多项式，分组分解法同样适用。例如，对于多项式f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，我们可以先将其分为两组，一组是x^3 - 3x^2，另一组是2x - 1，然后对每组进行因式分解，得到最终的因式分解式x(x^2 - 3x) + 1(2x - 1)，然后再继续进行因式分解，最终得到f(x) = (x - 1)(x^2 - 2x + 1)。 四、分组分解法的优势与局限 分组分解法的一个主要优势是它可以简化计算过程，提高效率。通过将代数式或多项式分组，我们可以将复杂的计算问题分解为更小的、更容易解决的子问题，从而大大减少计算量。 然而，分组分解法也有其局限性。首先，不是所有的代数式或多项式都适合使用分组分解法。例如，对于一些无法进行分组或分组后无法进行因式分解的代数式或多项式，分组分解法就无法使用。此外，分组分解法也可能会引入一些额外的计算步骤，导致计算复杂性的增加。 五、结论 分组分解法是一种非常有用的因式分解方法，可以帮助我们简化代数式和多项式的计算过程，提高效率。然而，它也有其局限性，不是所有的代数式或多项式都适合使用分组分解法。因此，我们需要根据具体情况选择合适的因式分解方法。
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
初中数学如何使用分组法进行因式分解
使用分组法进行因式分解是一种常见的数学方法，它可以帮助我们将多项式分解为更简单的因子。
下面是一个示例，演示如何使用分组法进行因式分解：
设要因式分解的多项式为P(x)，我们可以按照以下步骤进行分组法因式分解：
步骤1: 将P(x)按照项的次数从高到低排列。
步骤2: 观察多项式的最高次项系数和常数项。
在这个示例中，我们假设多项式的最高次项系数为a，常数项为c。
步骤3: 找到两个数b和d，使得bc + ad = ac。
这些数可以是多项式的中间项系数。
步骤4: 将多项式分组成两组，每组包含两个项。
第一组包含最高次项和次高次项（ax^2 + bx），第二组包含次低次项和常数项（cx + d）。
步骤5: 对每组应用公式(ax + b)(x + c)。
步骤6: 将两组的结果相乘，得到最终的因式分解。
请注意，这只是一个示例，实际的因式分解可能涉及更多的步骤和复杂的多项式。
为了更好地理解和掌握分组法进行因式分解，建议你在课堂上请教老师或参考相关的教材和习题解析。
分组分解法步骤嘿，咱今儿就来说说分组分解法的步骤哈！这分组分解法啊，就像是搭积木，得一块一块有技巧地摆弄。
先来看第一步，那就是得好好观察式子呀！就跟咱观察一个人似的，得看清它的特点、模样。
式子里面的各项都有啥样的特点，是有公因式呢，还是能凑成平方差、完全平方啥的。
这一步可得仔细咯，别马虎，不然就像找错了路，那可就麻烦啦！第二步呢，就是根据观察到的特点来分组啦！把那些能凑到一块儿的项放在一组。
这就好比把志同道合的朋友聚在一起，他们在一起能发挥更大的作用呢！分组的时候可得动点小脑筋，别瞎分一气呀。
第三步，就是对分好的组分别进行处理啦。
该提公因式的提公因式，该化简的化简，让每一组都变得简单明了。
这就好像给每组都化个妆，让它们变得漂漂亮亮的。
第四步，再看看经过处理后的各组之间有没有新的联系或者规律。
也许这时候你就会发现，哇，原来它们能组合成更美妙的式子呢！就像拼图一样，突然就找到了关键的那一块。
比如说，给你个式子 x²+2xy+y²-1，你就得先观察，哟，前三项不就是个完全平方嘛，然后把它们分成一组，剩下的 -1 自己一组。
接着对第一组进行化简得到 (x+y)²，再看看和后面的 -1 一结合，是不是就能用平方差公式啦！你可别小看这分组分解法呀，它用处可大着呢！在解决好多数学问题的时候都能派上大用场。
就好像一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门。
而且啊，这学分组分解法就跟学骑自行车似的，一开始可能会有点不稳，会摔倒，但只要你多练习，多尝试，慢慢地就熟练啦，就能骑得稳稳当当的啦！所以呀，别害怕遇到难题，要勇敢地去尝试，去摸索。
咱学习数学呀，就是这样，一点一点积累，一点一点进步。
每一个小方法，每一个小技巧，都是我们前进道路上的小基石。
相信自己，一定能把这分组分解法掌握得牢牢的！加油吧！就这么着，分组分解法的步骤咱可就说完啦，你学会了没？。
【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法（一）二. 重点、难点：分组分解是一种很重要的方法，当提公因式法与运用公式法不能直接起作用时，要想到利用分组分解法，另外拆项，添项也可以看作是分组分解的拓展，分组分解在于恰当的分组，一般说来分组的方法不是唯一的。
【典型例题】[例1] 分解因式23323+++a a a分析：这是四项所以不能用公式，注意到3a 所以它可以用立方公式或者观察系数1，3，3，2适当的拆分即可。
解法一：原式33231)1(1)133(++=++++=a a a a ]1)1()1)[(11(2++-+++=a a a )1)(2(2+++=a a a解法二：原式)2()2()2(223+++++=a a a a a)1)(2()2()2()2(22+++=+++++=a a a a a a a a 解法三：原式)222()(223+++++=a a a a a )1(2)1(22+++++=a a a a a )2)(1(2+++=a a a 解法四：原式)333()1(23+++-=a a a )1(3)1)(1(22+++++-=a a a a a)1)(2()31)(1(22+++=+-++=a a a a a a说明：分组方法不唯一，此题解法一、四是将常2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解。
[例2] 分解因式（1）xy y y x x 2)1()1(-++- （2）)()(2222b a cd d c ab +++ （3）3232)1(x x x x -+++分析：显然上面几个式子均无公因式可提取，又无乘法分式可用，可考虑先将式子乘开，再重新分组。
解：（1）原式)()2(22222y x y xy x xy y y x x --+-=-++-= )1)(()()(2---=---=y x y x y x y x（2）原式)()(22222222cd b abd cd a abc cdb cda abd abc +++=+++= ))(()()(bc ad bd ac bc ad bd ad bc ac ++=+++= （3）原式362322)1(2)1(x x x x x x x -++++++= )1()1(2)1(332322-++++++=x x x x x x x)1)(1()1(2)1(232322++-++++++=x x x x x x x x x )]1(2)1)[(1(3322-++++++=x x x x x x x )1)(1(4322x x x x x x ++++++=说明：在上节课我们讲了两个拓展式)1)(1(123++-=-x x x x ，)1(13+=+x x)1(2+-x x 其中12++x x ，12+-x x 要同学们特别记住，很多情况下看到12++x x 与12+-x x 都要想到13-x 与13+x ，很多的拆项也是拆成12++x x 与12+-x x 的形式。
[例3] 分解因式222222)(4c b a b a -+-分析：很多同学都能想到用平方差分解，但分完后用4步法检查，每个因式还是可用分组分解法分解的。
解：原式22222)()2(c b a ab -+-=)2)(2(222222c b a ab c b a ab +---++= ])(][)[(2222b ac c b a ---+=))()()((b a c b a c c b a c b a -++--+++= [例4] 分解因式b b b a a a +-+++2323分析：本题可分为三组)(33b a +，)(22b a -，)(b a +各组分解以后可提取公因式)(b a +解：原式)()()(2233b a b a b a ++-++=)())(())((22b a b a b a b ab a b a +++-++-+= )1)((22+-++-+=b a b ab a b a[例5] 分解因式2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+-分析：可将含2x 的分为一组，含x 的项分为一组，余下的两项分为一组。
原式)()2()(222222b a ab x b abx x a bx ax ++++-+= )()2()(222b a ab b ab a x b a x ++++-+= )()()(22b a ab b a x b a x +++-+= ])()[(2ab x b a x b a ++-+= ))()((b x a x b a --+=说明：))(()(2b x a x ab x b a x --=++-可作为公式来用在以后的学习中也可以把上式理解为十字相乘。
[例6] 分解下列各式（1）13691215+++++x x x x x（2）322322322)()()(z y x z y x +--++（1）分析：原式一共有六项是偶数项所以二项二项分组 解：原式)1()1()1(336312+++++=x x x x x )1)(1(6123+++=x x x )12)(1(66123x x xx -+++=])1)[(1(6263x x x -++=)1)(1)(1)(1(36362+-+++-+=x x x x x x x（2）原式中)(22y x +与)(22x z -的和等于22z y +，所以可以考虑用立方和公式)(3)(333b a ab b a b a +-+=+，变形后再进行分解。
解：原式))((3)(222232222x z y x x z y x -+--++= 3222222)()(z y x z y x +--++⋅322222222322)())()((3)(z y z y x z y x z y +-+-+-+= ))()()((32222z y x z x z y x +-++-=[例7] 已知x 、y 为正整数且y x >满足1080=++y x xy ，求x 、y 。
分析：这是一个不定方程用常规方法不能求出确定解，观察题目本身有y x xy ++，联想)1)(1(1++=+++y x y x xy ，利用上式再考虑x 、y 为正整数即可求解。
解：1080=++y x xy 10811=+++y x xy1081)1)(1(=++y x ∵ x 、y 都为正整数 ∴ 1+x 、1+y 也为正整数而47231081⨯= ∴ 4723)1)(1(⨯=++y x又 ∵ y x > ∴ 471=+x 231=+y ∴ 46=x 22=y [例8] 分解因式2222)()1(a a a a ++++。
分析：此题无公因式可提，而这三项也无法直接运用公式，所以要乘开一项，记住繁杂的不动，所以展开中间项。
解：原式2222)(12a a a a a +++++=122)(222++++=a a a a 22222)1(1)(2)(++=++++=a a a a a a [例9] 分解因式222222444222z y z x y x z y x ---++分析：注意到4x ，4y ，4z 都是平方元素，以及系数，所以想到利用三项的完全平分，但三项完全平方的后三项要么全正，要么两负一正，所以需要改变后三项中某一项的符号，这将用到拆项。
解：原式222222224444222z y z y z x y x z y x -+--++= 2222224)(z y z y x ---=)2)(2(222222yz z y x yz z y x ---+--= )]2()][2([222222z yz y x z yz y x ++-+--= ])(][)([2222z y x z y x +---=))()()((z y x z y x z y x z y x --+++--+=【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 判断题：1. )2)((222+-=-+-x y x y x xy x （ ）2. 322333b ab b a a -+-分解因式时可分组为)3()3(3223b b a ab a +-+（ ）3. ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（ ）4. )2)(1(232--=--x x x x （ ）5. 1222+--x y x 的正确分组是22)12(y x x -+-（ ） 6. )3)(1(342++=++x x x x （ ） 7. )1)(3(342++=++x x x x （ ） 8. )1)(6(672+-=+-m m m m （ ） 9. )1)((22--+=----a b b a b a b a （ ） 10. )2)(3(62--=+--x x x x （ ）二. 填空题：1. 多项式因式分解常用的四种方法是 。
2. bx by ay ax -+-5102分成两组)5()102(bx by ay ax -+-，则两组有公因式 。
3. mn n m 2122+--分成两组)2(122n mn m +--，则两组间可用 公式分解。
4. 分解因式=+--by bx ay ax 。
5. 分解因式=-+432x x 。
6. +2x )7)(3(21-+=-x x 。
7. +2x )5)(2(102y x y x y ++=+。
8. =++-+3)(4)(2b a b a 。
9. =-++--b b b a a a 2323)(b a + 。
10. 若)3)(5(152-+=--x x kx x ，则=k 。
三. 选择题：1. 把多项式y y x x ---2224用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ） A. )()24(22y y x x +-- B. )2()4(22y x y x +-- C. )2()4(22y x y x +--D. )2(422y y x x ++-2. 为了把多项式22235-+-a a a 用分组分解法分解因式，不同的分组方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种3. 对于多项式)()(22z y x z y x -++--正确的结论是（ ） A. 不能分解因式B. 有因式)(z y x --C. 有因式)1(+-+z y xD. 有因式)1(++-z y x4. 下列分解因式的结果正确的是（ ） A. ))()(()()(b a y x y x y x b y x a +-+=-++ B. ))(()()(y x y x y x y y x x +-=-+- C. )1)(()()(22y x y x y x y x --+=--+ D. )1)(()()(22-++=+--y x y x y x y x 5. 若多项式yz xz xy x +--2等于0，则（ ）A. z y x ≠=B. y z x ≠=C. z y x ==D. y x =或z x = 6. 分解因式的结果等于)2)(3(+-x x 的多项式是（ ）A. 62++x xB. 62+-x xC. 62--x xD. 62-+x x7. 二次三项式2265b ab a --分解因式的结果为（ ） A. )2)(3(b a b a -+ B. )2)(3(b a b a +- C. ))(6(b a b a -+D. ))(6(b a b a +-8. 若)2)(1(2+-=++x x n mx x ，则m 、n 的值是（ ） A. 1=m ，2=n B. 1=m ，2-=n C. 1-=m ，2=nD. 1-=m ，2-=n四. 把下列各式分解因式： 1. ay ax y x -+-442. a x a x 2222---3. 22269n n m m -+- 4. 222y xy x my mx -+-- 5. 1872-+m m 6. 24224-+x x7. 10112+-y y8. 22149b ab a +-9. 22414y x xy --+10. 2233428y xy x y x -+-+11. 2223422xy y x y x y x --+ 12. 8)2(7)2(222-+-+x x x x五. 按指定的方法分解因式： 1. 用配方法分解因式：（1）1662-+x x（2）44+x2. 用换元法分解因式：16)43)(23(22-++-+x x x x六. 求证：1. 106525-能被120整除2. 2222)]3)(2)(1[()34)(6)(2(-+-=+----+x x x x x x x x x【试题答案】一.1. √2. ×3. √4. ×5. √6. √7. √8. ×9. × 10. × 二.1. 提公因法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法2. y x 5-3. 平方差4. ))((b a y x --5. )1)(4(-+x x6. x 4-7. xy 78. )3)(1(-+-+b a b a9. )1(22-+-+-b a b ab a 10. 2- 三.1. C2. B3. D4. B5. D6. C7. D8. B 四.1. 原式)4)(()()(4a y x y x a y x +-=-+-=2. 原式)2)(()(2))((--+=+-+-=a x a x a x a x a x3. 原式)23)(3()3(2)3)(3(-+-=---+=n m n m n m n m n m4. 原式))(()()(2y x m y x y x y x m +--=---=5. 原式)2)(9(-+=m m6. 原式)6)(2)(2()6)(4(222+-+=+-=x x x x x 7. 原式)1)(10(--=y y 8. 原式)7)(2(b a b a --=9. 原式)21)(21()2(12y x y x y x +--+=--= 10. 原式)42()42)(2(2222y xy x y xy x y x +--+-+= )12)(42(22-++-=y x y xy x11. 原式)2)(1)(1()1(2)1(222222xy y x x x x xy x y x +-+=-+-= )2)(1)(1(y x x x xy +-+=12. 原式222)1)(2)(4()12)(82(+-+=++-+=x x x x x x x五. 1.（1）原式)2)(8(-+=x x（2）原式)22)(22(4)2(44422222224+-++=-+=-++=x x x x x x x x x 2. )43)(63(24)3(2)3(22222-+++=-+++x x x x x x x x )1)(4)(63(2-+++=x x x x 六.证明：1. 原式)15(5552101012-=-=10524⋅= ∴ 106525-能被120整除2. 证明：左)1)(3)(2)(3)(1)(2(--+--+=x x x x x x 2)]3)(2)(1[(-+-=x x x ∴ 等式成立。
