9.16分组分解法

9.16 分组分解法一、课前练习 1. 分解因式：（1）65x x 2--； (2)2510x x 2++（3）229y -x ； (4)8a -2ax ax 2+.2. 分解因式：（1）x)-n(3-3)-m(x ； (2)b)(a -b)-b)(a (a ++；（3）y)-(x -y)-(x -2.二、阅读理解1.阅读教材P52～54.2.利用_______来分解因式的方法叫做分组分解法.3.尝试 你能将多项式2222c b ab a -+-因式分解吗？4．阅读中遇到的问题有________________________________________________________ ___________________________________________________________________________三、新课探索1.尝试 分解因式 a(x+y)-x-y.2. 尝试 分解因式by bx ay ax +++.3. 尝试 分解因式1b 2ab a 22-++例题1 把3bd -bc 6ad -2ac +分解因式.4 练一练 把4kn 6mn 9km 6k 2--+分解因式.例题2 把222c a b 2bc -+-分解因式.例题3 把x y y x x 882223-+-分解因式四、课内练习 1．分解因式：（1）c -b ac -ab + ； (2)2b 2a -ab -a 2+；（3）6bc -2ac 9b -3a +； (4)8-4x -6x y 32+y x .2．分解因式：（1）b a b a ---22； (2)12a -b -a 22+；（3）2222c b a ac -+-.3．分解因式：（1）x xy y 33x 2--+； (2)18y -9x -y 2x x 23+；（3）24-12y -2)x (y 2)x (y 2+++； (4)22222222x n y m y n x m --+.9个小学生教育案例个案一：学生小田，老师，家长都反映他是个“不开窍”的孩子，一道应用题，老师课堂上讲过，家长又复习过，可做起来就是错误百出，一到考试就更不行了，别的同学背课文，一下子背出了，可他读了好多遍，还是记不住，丢三落四，常用字常会错，渐渐地学习提不起兴趣。

§9.16 分组分解法（1）学习目标：1、理解分组分解法的概念，进一步理解因式分解的意义；2、在尝试分组的过程中掌握含有四项的多项式的分组分解的方法；3、在探求一题多解的同时培养学生观察、分析、归纳的能力。

学习重难点：把握分组分解法的特征，会用分组分解法进行因式分解。

；注意结果要分解到不能再分解为止。

学习过程： 一、课前预习 1、复习回顾：我们已经学习了因式分解的四种方法，在解因式分解时，应按怎样的考虑顺序进行分解： ①先考虑： 。

②再看 ，（1）若多项式的项数是二项，考虑用 。

（2）若多项式的项数是三项，考虑用 或 。

（3）若多项式的项数是四项或四项以上，考虑用 。

（注意：这格若填不出来，先放一放，学完这节课就一定能填出来）（4）最后千万不要忘记： 。

2、因式分解：(1) 2153xy xy + (2) 416x - (3) 29124x x -+3、课前练习填空：（1）))((_________)(3)(2b a b a a b a +=+++ （2）_))(________()()(b a b a y b a x -=--- （3）_))(________()()(2y x y x y x --=----4、预习课本第52-54页，写下你的疑惑：二、课堂学习思考1：如何将多项式by bx ay ax +++分解因式呢？先观察多项式by ba ay ax +++，它有什么特征，回答：多项式共有几项？ ， 前两项有什么特征？ ，后两项又有什么特征？ ， 把前两项分成一组，提取a 后得： ，把后两项分成一组，提取b 后得： ，然后发现了什么 ？ ，再把 提取后就完成了本题的因式分解。

具体的解题过程你会写吗？by ba ay ax +++总结：什么叫分组分解法： 。

例题1 因式分解：263ac ad bc bd -+-课堂练习1 因式分解：（1）c b ac ab -+- （2）kn mn km k 46962--+思考2：如何将多项式1222-++b ab a 分解因式呢？本题共有几项？ ，你发现前三项是什么？ ，因此把前三项分成一组，分解为： ，然后和后面的1-组成平方差公式，也就完成了本题的因式分解。

9.16分组分解法
班级 学号 姓名
一．课前练习
因式分解:
（1) 2)())(3y x y x y x ---+（ (2)4481y x -
方法: .
(3) 2212123b ab a ++ (4)
12)(8)222++-+x x x x （
方法 : .
根据项数的不同，可以选择不同的分解方法.当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？
归纳：利用 来分解因式的方法叫做分组分解法 .
分解因式：
按字母特征分组
（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
按系数特征分组
（1）27321x y xy x +++
（2）263ac ad bc bd -+-
按指数特点分组
（1）22926a b a b -+-
（2）2242x x y y +--
按公式特点分组
（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2
（2）2229124c bc b a -+-
练习
分解因式
（3）9m 2－6m ＋2n －n 2
xz
yz xy x 4696)1(2--+444-)4(22-+y xy x b a b a a 882-2)2(23-+。

课题： 9.16 分组分解法[教学目标]1. 理解分组分解的概念。

2. 掌握用分组分解法分解含有四项的多项式，理解分组分解法的原则，明确分组的原则是为了能进一步分解。

3．学生通过不断尝试的学习过程，提高观察、分析、归纳能力，提升思维的灵活性、思辨能力和预见性，培养学生学习的意志力，养成良好的学习习惯。

4. 学生在教学过程中体会从特殊到一般和化归等数学思想方法。

[教学重点]掌握含四项的多项式的分组分解法（二二、一三）合理分组，运用提取公因式及公式法将多项式进行因式分解。

[教学难点]如何合理分组及因式分解方法的综合运用。

[教学过程]一、复习导入回顾：1.用适当方法分解因式: （学生口头表达因式分解及相应的分解因式的方法）（1）()()a x y b x y +++ 方法（过程）（2）2()25x y-- 平方差公式（过程） 21025x x -+ （3）21016x x -+ 十字相乘法 （过程）（学生体会从特殊到一般的数学思想）思考1：如何把下列多项式分解因式 （学生体会化归的数学思想）（1）ax bx ay by +++ 二二分组提取公因式（2）22225x xy y -+- 一三分组 公式法 引出新课：分组分解法：二．学习新课思考2：下列多项式分解因式（1）2255ax ay x y --+ （两种方法） 按字母方法： 二二分组 分组后能提取公因式 按系数（两系数之比相等）注意：①添加带有“－”号的括号时，括号内各项的符号都要变号②分组方法不唯一（2）22ax ay x y --+ （一种方法）二二分组→ 提取公因式（正确板书显示）注意：③分解要彻底提取公因式法（3）2222x y yz z -+- 一三分组（有完全平方形式）→公式法（平方差） 原则：分组后能再分解。

试一试：2.把下列各式因式分解（1）2222a x a y b x b y +-- 二二分组 分组后→提取公因式（按字母、按系数）（2）22222288a x a y x y --+ 二二分组 分组后→提取公因式和公式法（按字母、按系数）前两项系数之比与后两项系数之比相等注意：分组方法不唯一。

9.16 分组分解法（1）教学目标：1.理解分组分解法的概念.2.掌握用“二二”分组分解法分解四项式.3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中培养发散思维的能力.教学重点和难点：选择合理的分组方法对四项式进行正确的因式分解.教学过程：一、复习引入问：前几节课我们学习了分解因式，有哪些方法呢？（生：提取公因式法、公式法、十字相乘法）填空：(1)2(a+b)+3a(a+b)=( )(a+b)；(2)x(a–b)–y(a–b)= (a–b)( )；(3) –(x–y)2–(x–y)= –(x–y)( )．分解因式时一般先考虑提取公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式．思考：如何将多项式ax+ay+bx+by分解因式？显然，多项式ax+ay+bx+by中既没有公因式，也不好用公式法和十字相乘法，能不能转化为已学知识来进行分解因式呢？问1：观察这个多项式，它有什么特征？答1：它是四项式，前两项和后两项分别有公因式a、b．(第一项和第三项有公因式x，第二项和第四项有公因式y)．师：把这个多项式的前两项和后两项分成两组后，分别提出公因式a与b后，我们来看看：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+ b(x+y)问2：你有什么发现？答2：还有公因式(x+y)，可以提取公因式．学生口述，教师板书．=(x+y)(a+b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．师：这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．板书课题：§9．16分组分解法（1）问4：还有其它的分组方法吗？答4：把这个多项式的第一项和第三项一组，第二项和第四项一组，分为两组，分别提出公因式x 与y．学生口述，教师板书．ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by) =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)问5：这个结果和前面的分组分解的结果相同吗？师：这两种不同的分组方法都是正确的，关键是多项式分组后还能继续提取公因式来分解因式．我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组．答5：相同．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)2ac–6ad+bc–3bd．问1：多项式有什么特征？如何分解？学生口述，教师板书．解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd)=2a(c–3d)+b(c–3d)问2：有公因式吗？是什么？=(c–3d)(2a+ b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．问4：还有其它的分组方法吗？答4：有．学生口述，教师板书．解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac+bc ) + (–6ad –3bd )=c (2a+b )–3d (2a +b )=(2a +b )(c –3d )问5：还有其它的分组方法吗？答5：有．（预设学生答错）解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac –3bd )+(–6ad+bc )我们发现这种分组，不能继续分解，所以这种分组分解是错误的．问6：观察前两种正确的分组方法，每一组中系数之间有什么联系？答6：第一种分组中，每组两项的系数比都是1:(–3)；第二种分组中，每组两项的系数比都是2:1． 例题2 分解因式：4a 2+2a –b 2+b ．问1：这个四项式如何分解？答1：前两项一组有公因式2a ，后两项一组有公因式b ．（预设学生答错，按字母特征分组）按照学生回答板书：4a 2+2a –b 2+b=2a (a +1)+b (–b +1)问2：有公因式吗？怎么办？答2：没有，重新分组．问3：如何分解？答3：4a 2–b 2是平方差，把它们分为一组，2a +b 分为一组．解：4a 2+2a –b 2+b =(4a 2–b 2)+(2a +b )问4：怎么办？答4：用平方差公式分解(4a 2–b 2)．=(2a +b )(2a –b )+(2a +b )问5：有什么发现？=(2a +b )(2a –b +1) 答5：有公因式(2a +b )，可以提取公因式进一步分解． 问6：观察这种分组方法，每一组中字母指数之间有什么联系？答6：每组中两项的字母指数相同．小结：二二分组分解时应注意的问题：1、把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；2、分组分解后产生新公因式；3、继续用提取公因式法来分解因式；4、分解到不能分解为止．练习(1) a 2－ab －2a +2b ； (2)84632--+x xy y x ； (3)22926a b a b -+-；(4)2242x x y y +--．三、能力提高例题3 分解因式：2x 3–2x 2y +8y –8x ．问1：这还是一个四项式，如何分解？答1：前两项有公因式2x 2，后两项有公因式8．把前两项一组，后两项一组，再分组分解． 强调：分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式．解：2x 3–2x 2y +8y –8x =2(x 3–x 2y +4y –4x )问2：如何分解？答2：括号内前两项有公因式x 2，后两项有公因式4．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．=2[(x 3–x 2 y )+ (4y –4x )] =2 [x 2(x –y )–4(x –y )]问3：有公因式吗？是什么？答3：有，是(x –y )． =2(x –y )(x 2–4)问4：这是分解因式的结果吗？为什么？答4：不是，分解因式应分解到不能分解为止，(x 2–4)还可以分解． =2(x –y )(x +2)(x –2)小结：分解因式时应注意的问题：1、分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；2、分解因式应分解到不能分解为止．练习：分解因式：ab ab a a +-+223． 四、课堂小结通过今天的学习你有什么收获和体会？预设学生：1、分组分解法；2、二二分组分解时注意的问题：(1)把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；(2)分组分解后产生新公因式；(3)继续用提取公因式法来分解因式．3、分解因式时应注意的问题：(1)分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；(2)分解因式应分解到不能分解为止．五、回家作业练习册9.16 第1、4题9．16分组分解法（2）教学目标：1.进一步理解分组分解法的概念．2.掌握用“一三”分组分解法分解四项式．3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中感受整体的数学思想．教学重点和难点：根据多项式的特征对多项式进行合理的分组，并正确进行因式分解．教学过程：一、复习引入已知多项式x2+xy+xz+yz，你能对它因式分解吗？问1：用什么方法？问2：分组分解的关键是什么？答1：分组分解法．答2：因式分解后能产生新的公因式．二、运用分组分解法分解因式思考：如何将多项式a2+2ab+b2–1分解因式？问1：用“二二”分组能分解吗？问2：怎么办？答1：不能．答2：前三项是一个完全平方式，把它们分为一组．师：把这个多项式的前三项分在一组后，我们来看看：a2+2ab+b2–1=(a2+2ab+b2) –1=(a+b)2–1问3：你有什么发现？答3：把(a+b)看作一个整体，可以运用平方差公式分解因式．这样就转化为运用平方差公式分解．学生口述，教师板书．=(a+b+1) (a+b–1)问4：这是分解因式的结果吗？答4：是的．师：这种分组方法简单地称为“一三”分组．问5：还有其它的分组方法吗？答5：没有．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)x2–4x–y2+4；问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：x2–4x+4是一个完全平方式，把这三项分为一组，–y2为一组，再分组分解．问2：这是分解因式的结果吗？答2：是的．(2)4m2–n2–2n–1．问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：–n2–2n–1提取负号后是一个完全平方式，把这三项分为一组，4m2为一组，再分组分解=4m2–(n+1)2问2：怎么办？答2：4m2是(2m)2，用平方差公式分解．小结：三一分组分解的特点：1、三项式这组可用完全公式法分解；2、再用平方差公式法分解到不能分解为止．三、课堂练习分解因式：(1) x2–4xy+4y2–4；问：多项式有什么特征？如何分解？分析特征后，学生独自练习．(2) 1–a2+2ab–b2．问：多项式有什么特征？如何分解？问：分解因式时应注意什么问题？答：添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．四、能力提高例题2 分解因式：x2+2xy+y2–3x–3y–4；问1：多项式有什么特征？如何分解？解：x2+2xy+y2–3x–3y–4 =(x2+2xy+y2)+(–3x–3y)–4 =(x+y)2–3(x+y)–4问2：怎么办？=(x+y–4)(x+y+1)练习：分解因式：m2–5m+n2+5n–2mn．五、课堂小结通过今天的学习你有什么收获？预设学生：1、三一分组分解的特点：(1)三项式这组可用完全公式法分解；(2)再用平方差公式法分解到不能分解为止．2、分解因式时应注意符号的问题，添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．教师补充：整体的数学思想．六、回家作业练习册9.16 第2、3、5题。