分组分解法

分组分解法练习题及答案精品文档分组分解法练习题及答案1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.22例如:把x-y+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，2222后两项分为一组，得到:x-y+ax+ay=+=+a=，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意:1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组;若分组后公式法22分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，222222ab-a-b+1=1-=1-=1.重点难点分析1 / 19精品文档重点:掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则:分组后可继续分解.难点:是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调:分组无固定的形式.2.典型例题解析32例1 分解因式2a+a-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?1，三、四两项的系数之比也是2?1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.32解 a+a-6a-33=-=a-3=222例分解因式4x-4xy+y-16z分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.222解 x-4xy+y-16z2 / 19精品文档222=-16z22=-=22例分解因式ax-ay-x+2xy-y分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.解 ax-ay-x+2xy-y22=-2=a-=22222例把-4xy分解因式22222解 -4xy2222=-2222=[+2xy][-2xy]2222=[-1][-1]2=[-1][-1]=例分解因式x-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x-632=x-3x+2x-63 / 19精品文档32=+2=x+22=4例分解因式a+44分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.4解 a+4422=a+4a+4-4a422=-4a22=-22=点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.22解由x+10xy+25y-1=0可得4 / 19精品文档-1=0 即=0当x+5y+1=0时32x+5x2y+x=x=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1322x+5x2y+x=x=2x熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.232例把2x+x-6x-3分解因式.32解 x+x-6x-33=-2=x-32=2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.2222解 abx-aby-axy+bxy2222=+=a+by=点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因5 / 19精品文档式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.2例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.2解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab2=+=x+a=2解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab2=-+=y-a+b=点评本题共有六项，解法一分为两组:前三项为一组，后三项为一组;解法二分为三组:一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.一、填空题221.x+2y-y+2x=.22.因式分解x+xy-3x-3y= .223.因式分解1-a+2ab-b= .6 / 19精品文档54324.因式分解x+x+x+x= .25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式ab-ab+ab-ab= .229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3= .2210.分解因式a-b+4a+2b+3= .二、分解因式32211.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay2215.6x-2m+2n 16.4x-4y+4y-1423324参考答案:22一、1. . . .x5.26. . .) .10 10.二、11.原式= 12.原式=x 13.原式=14.原式= 15.原式=2 16.原式=因式分解之分组分解法1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2,ab，ac,bc2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad7 / 19精品文档3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y2224.按公式特点分组a,2ab，b,c a2?4b2?12bc?9c2四(总结规律1.合理分组;2.组内分解3.组间再分解4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。

解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。

可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。

解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。

观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。

解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。

分组分解法的九种技巧1.根据功能分组：将问题按照不同的功能进行分组，每个功能组解决其相关的问题。

这种方法适用于多个功能之间有较少的交叉问题。

2.根据角色分组：将问题按照不同的角色进行分组，每个角色组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题涉及到多个不同的参与者。

3.根据时间分组：将问题按照不同的时间段进行分组，每个时间段解决其相关的问题。

这种方法适用于问题有明确的时间要求或按时间顺序解决的问题。

4.根据地理位置分组：将问题按照不同的地理位置进行分组，每个地理位置组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题涉及到不同的地理区域或位置。

5.根据优先级分组：将问题按照不同的优先级进行分组，每个优先级组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题有不同的紧急程度或重要程度。

6.根据类型分组：将问题按照不同的类型进行分组，每个类型组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题有多个不同的类型或类别。

7.根据原因分组：将问题按照不同的原因进行分组，每个原因组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题有多个不同的根本原因或诱因。

8.根据解决方法分组：将问题按照不同的解决方法进行分组，每个解决方法组解决其相关的问题。

这种方法适用于问题的解决方法有多种选择或不同的解决路径。

9.根据具体情况分组：根据实际情况和需求，将问题按照自定义的分组方式进行分组，以解决具体的问题。

以上九种分组分解法技巧可以根据问题的具体情况和要求进行灵活组合和运用，以便更好地解决复杂问题。

通过将问题分解成多个较小的子问题，并分别解决，可以提高问题解决的效率和准确性，同时也有助于更好地理解问题的本质和关联。

因式分解的分组分解方法(一)因式分解的分组分解方法引言因式分解是数学中的重要概念，它能将多项式分解成乘积的形式，帮助我们简化计算和解题。

其中，分组分解方法是一种常用且有效的因式分解方法，本文将介绍一些常见的分组分解方法。

方法一：拆项分组法拆项分组法在因式分解中经常使用，它将多项式的项按照特定的规则进行分组，从而便于我们进行因式分解。

步骤如下： 1. 观察多项式，将其项按照相似的部分进行分组；2. 列出每个组的公因式； 3. 将每个组的公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式。

方法二：配方法配方法也是一种常用的分组分解方法，适用于某些特定的多项式。

步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在两项可以通过配方法相乘得到另一项，那么可以使用配方法； 2. 根据配方法的公式进行运算，并将结果写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。

方法三：差的平方分解法差的平方分解法适用于差的平方形式的多项式，它可以将其分解为两个因式的乘积。

步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在差的平方形式，即a2−b2，那么可以使用差的平方分解法； 2. 将差的平方形式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。

方法四：公因式提取法公因式提取法是一种简单而常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在公因式的情况。

步骤如下： 1. 观察多项式，找出各个项的公因式； 2. 将公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。

方法五：完全平方公式法完全平方公式法适用于多项式中存在完全平方公式的情况。

步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在完全平方公式形式，即a2+2ab+b2，那么可以使用完全平方公式法； 2. 将完全平方公式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。

结论分组分解方法是因式分解中常用的方法之一，它能帮助我们将多项式简化成更简单的形式。

因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。

分组分解法的10道例题分组分解法是一种常用的求解问题的方法，它通过将问题分解为若干子问题来进行求解。

这种方法在算法设计和求解复杂问题时特别有用。

接下来，我们将给出十道使用分组分解法解决的例题，并详细介绍每个例题的思路和解决方法。

1. 斐波那契数列题目描述：求取斐波那契数列第n个数的值。

思路：斐波那契数列是一个非常经典的递归问题，我们可以通过分组分解的方法来求解。

将问题分解为求取第n-1个数和第n-2个数的和，然后再依次往前递归求解，直到求取第1个数和第0个数。

然后通过逐层返回的方式求得最终结果。

2. 整数拆分题目描述：将一个正整数n分解为多个正整数的和，求分解方式的总数。

思路：通过分组分解的方法，我们可以将整数拆分问题分解为计算n减去一个正整数后的拆分方式的总数。

将问题分解为求取n-1, n-2, n-3, ..., 1的拆分方式的总数，然后相加即可得到最终结果。

3. 装箱问题题目描述：有n个物品和一些容量为C的箱子，每个物品都有一个重量和一个价值，希望找到一种装箱方式，使得装入箱子的物品总重量不超过C，同时总价值最大。

思路：装箱问题可以通过分组分解法转化为一个递归问题。

我们可以将问题分解为是否将第n个物品放入箱子中的两种情况，然后再依次递归到前面的物品。

对于每个物品，可以选择放入或不放入箱子中，然后根据递归结果，选择价值最大的情况。

4. 图的连通性题目描述：给定一个无向图，判断其中两个节点是否连通。

思路：通过分组分解的方法，可以将连通性问题分解为判断两个节点是否直接相连或者通过其他中间节点连通。

我们可以通过递归的方式，从一个节点出发，遍历所有和它直接相连的节点，然后再递归遍历这些节点，直到找到目标节点或者遍历结束。

5. 最长递增子序列题目描述：给定一个序列，找到其中最长的递增子序列的长度。

思路：最长递增子序列问题可以通过分组分解法转化为一个递归问题。

我们可以将问题分解为是否将第n个元素放入递增子序列中的两种情况，然后再依次递归到前面的元素。

分组分解法进行分组分解法是一种常用的解决问题的方法，它可以将复杂的问题分解成若干个较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。

在这篇文章中，我将介绍分组分解法的基本原理和应用场景，并通过具体的例子来说明该方法的有效性。

一、分组分解法的基本原理分组分解法的基本原理是将一个复杂的问题分解成若干个较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。

这种方法的关键在于如何合理地划分子问题的范围，以及如何将子问题的解合并起来。

通常情况下，我们可以通过观察问题本身的特点，选择合适的分组方式来进行分解。

二、分组分解法的应用场景分组分解法在许多领域都有广泛的应用。

下面我将介绍几个常见的应用场景。

1. 任务调度问题在一个任务调度系统中，有多个任务需要执行，每个任务都有一定的执行时间和优先级。

我们的目标是合理安排任务的执行顺序，使得任务能够在最短的时间内完成，并且满足优先级的要求。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将任务按照优先级分组，然后分别解决每个分组中的任务调度问题，最后将它们的解合并起来得到整体的解。

2. 图像识别问题在图像识别领域，我们常常需要对一张图片进行多个目标的检测和识别。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将不同目标的检测和识别任务分组，然后分别解决每个分组中的任务，最后将它们的结果合并起来得到整体的识别结果。

3. 数据分析问题在数据分析领域，我们通常需要对大量的数据进行处理和分析。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将数据按照一定的规则进行分组，然后分别对每个分组中的数据进行处理和分析，最后将它们的结果合并起来得到整体的分析结果。

三、分组分解法的例子为了更好地理解分组分解法的应用，下面我将通过一个具体的例子来说明该方法的有效性。

假设我们有一组数字，我们的目标是找出其中的两个数字，使得它们的和等于给定的目标值。

我们可以通过分组分解法来解决这个问题。

分组分解法因式分解经典例题《分组分解法因式分解经典例题》一、引言在代数学中，因式分解是一个非常重要的概念，它在解方程、化简分式等问题中有着广泛的应用。

而分组分解法是因式分解中的一种常见方法，它通过合理地分组，将原式中的各项进行适当的组合，从而达到因式分解的目的。

本文将通过经典的例题来介绍分组分解法的应用和技巧，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一方法。

二、基本概念分组分解法是指在进行因式分解时，通过巧妙地对原式中的各项进行分组，并进行适当的变形，最终达到可以进行公因式提取的目的。

其基本思想是将原式中的各项进行合理的组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。

这样一来，就可以利用公因式提取的方法，将原式进行因式分解。

下面通过具体的例题来说明分组分解法的应用。

三、分组分解法例题例题：将二次三项式$x^2+5x+6$进行因式分解。

解析：首先我们根据分组分解的思想，对原式中的$x^2+5x+6$进行分组，即进行合理的拆分和组合。

我们可以将5x拆分为2x+3x，于是原式可以重写为$x^2+2x+3x+6$。

然后我们对前两项进行因式分解，将$x^2+2x$可以提取出公因式$x(x+2)$，对后两项进行因式分解，将$3x+6$可以提取出公因式$3(x+2)$。

这样一来，我们可以得到原式的因式分解形式为$(x+2)(x+3)$。

通过这个例题，我们可以看到分组分解法对于因式分解的应用是非常有效的。

四、总结回顾通过上面的例题，我们可以总结出分组分解法的基本步骤和技巧：1. 将原式中的各项进行合理的拆分和组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。

2. 进行适当的变形，将原式化简并提取公因式。

3. 最终将原式进行因式分解，得到最终的结果。

对于分组分解法的掌握，需要多做练习，熟练掌握基本的技巧和方法。

通过不断的练习和思考，我们可以更好地理解和掌握这一方法，从而在代数学的学习和解题中能够灵活应用。

五、个人观点在学习因式分解的过程中，我发现分组分解法是一种非常实用和灵活的方法。

因式分解分组分解法的技巧
1. 嘿，你知道吗，分组分解法就像是给式子搭积木呀！比如分解
$x^3+2x^2+x$，我们可以把它分成$(x^3+x^2)+(x^2+x)$，然后分别进行分解，这样是不是很巧妙呀！
2. 哇哦，分组分解法里有个小窍门哟！就像拆礼物一样有趣呢。

比如
$3x^2+9x+6$，可以变成$(3x^2+3x)+(6x+6)$，是不是感觉像发现了宝
藏呀！
3. 嘿呀，运用分组分解法要善于观察式子的特点呀！像
$2x^2y+4xy^2+2y^3$，可以分成$(2x^2y+4xy^2)+2y^3$，这不是挺
好玩的嘛！
4. 告诉你哦，分组分解法能让复杂的式子变得简单呢！好比$a^4-a^2-
2a^2+2$，分成$(a^4-a^2)-(2a^2-2)$，一下就清晰啦，神奇不？
5. 呀，分组分解法还能这样用呢！比如$4x^2-9y^2+4x+1$，可以巧妙地
分成$(4x^2+4x+1)-9y^2$，是不是很有意思呀！
6. 哇，你瞧，分组分解法像变魔术一样呀！就说$m^3-mn^2+m^2n-
n^3$，可以整成$(m^3+m^2n)-(mn^2+n^3)$，这多厉害呀！
7. 嘿，注意啦！分组分解法的精髓要抓住哦！像$x^2-2ax+a^2-b^2$，
绝非随随便便分组哦，要分成$(x^2-2ax+a^2)-b^2$，这样才对呀！
8. 哎呀，分组分解法可以让式子乖乖听话呢！比如$a^2-4b^2+c^2-2ac$，分成$(a^2-2ac+c^2)-4b^2$，是不是超级有用？
9. 总之啊，分组分解法就是一个超级棒的技巧，能让我们在因式分解的道路上畅通无阻！。

因式分解分组分解法的几点技巧
因式分解法的四种方法：提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法等等。

1、如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。

3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。