海口市第一中学2016-----2017学年度第一学期高三年级数学科10月月考
B 卷试题
（本卷满分150分,考试时间120分钟）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1. 已知复数*
()()n
f n i n =∈N ，则集合{|()}z z f n =中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数
2. 函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，且在[)1,+∞单调递减，(0)0f =，则(1)0f x +>的解集为
A ．(1,)+∞
B ．(1,1)-
C ．(,1)-∞-
D ．(,1)(1,)-∞-?+∞ 3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．31 B ．33 C ．35 D ．61
4. 已知平面,,m n αβαββ⊥?=?，则“n m ⊥”是“n α⊥”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2， 该几何体的体积为 A ．
43 B ．83
C ．4
D ．163
6. 直线:8630l x y --=被圆22
:20O x y x a +-+=所截得弦长为3，则实数a 的值是
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．131-
7. 由 ????
?
x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，
x ≥0，
围成的平面区域面积为( )
A ．272
B ．274
C ．278
D ．27
8．海口是全国省会城市中空气质量最好的城市，如图是根据海口市
否
开始
结束
1a =
23a a =+ 30?
a >输出a 是 正视图 侧视图
俯视图
白水塘
高中部校区
龙华路初中部校区
2 5 0.00 1 2
3 6 9 3 0.01 9 6 2 1 0.02 2 9
一中学生社团某日早6点至晚6点在白水塘、龙华路两个校区附近 的5.2PM （我国通常用5.2PM 的数据来监测空气质量）监测点统计 的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，白水塘、龙华路两个 校区浓度的方差较小的是
A ．白水塘高中部校区
B ．龙华路初中部校区
C ．两个校区相等
D ．无法确定 9．如果3
7
41()x x
-的展开式中的常数项为 （ ） A ．35
B ．35-
C ．21
D ．21-
10．双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为2，双曲线C 与抛物线2
4y x =的准线交
于A ，B 两点，4AB =，则双曲线C 的实轴长为
A. 2 B ．3 C ．4 D ．23
11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点P 是棱DD 1的中点，12AA =，AB =1，若点Q 在侧面11BB C C （包括其边界）上运动，且总保持AQ BP ⊥，则动点Q 的轨迹是 （ ）
12. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ?+∈?=??--∈+∞?，则关于x 的函数
()()(01)F x f x a a =+<<的所有零点之和为
A ．31a -
B ．13a -
C ．31a --
D ．13a
--
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ?=，则=7a ． 14. ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =
,1c b -=，则a = 15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨
B
C
B 1
C 11
B 1
B
C
B
C
B 1
1
B 1
C 1B
C
（A ） （B ） （C ） （D ）
A
D
C
1
1
1
A 1
迹方程
的方法，可以求出过点A )4,3(-，且法向量为)2,1(-=n 的直线（点法式）方程为
0)4()2()3(1=-?-++?y x ，化简得0112=+-y x ．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经
过点A (1,2,3)-，且法向量为)1,2,1(--=n 的平面（点法式）方程为 ． 16. 向量(1,1),(1,3)a b x x ==-+，b a x f
?=)(，函数()f x 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）
已知函数()2
23sin cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 图像向右平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值. 18.（本小题满分12分）
某公司有100位员工.在元旦联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.公司预算抽奖总额为60000元，共提出两种方案.
方案一：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为100元，另外两个标的面值为500元； 方案二：袋中所装的4个球中有两个球所标的面值为200元，另外两个标的面值为400元． （Ⅰ）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；
（Ⅱ）在两种方案中，为使得每位员工获得的奖金相对均衡，请帮助公司选择一个适合的方案，并说明理由.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3， H 是CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.
F E
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，
点P 在椭圆C 上，满足2PF 垂直x 轴，127PF PF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)A ，直线5
:3
l y kx =-与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =，求k . 21.（本小题满分12分）
已知函数2
1()(0)2
f x ax x a =
+≠，()1ln g x x =+． （Ⅰ）若()f x 在1x =处的切线与()g x 在2x =的切线平行，求a 的值；
（Ⅱ）若当[]1,2x ∈时，函数()g x 的图象始终在函数()f x 的图象下方，求a 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知点)sin ,cos 1(αα+P ，[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)
4
sin(210π
θρ-=
上.
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求PQ 的最小值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知正实数a ，b 满足：2=+b a .
（Ⅰ）求
b
a 1
1+的最小值m ； （Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t t
x t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使得
m x f =)(成立，若存在，求出x 的取值范围，若不存在，说明理由．
B 卷答案
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
B
D
A
A
B
B
A
B
D
D
A
二、填空题： 13.
1
8 14. 5 15. 280x y z +--= 16. 2
三、解答题： 17. ()2sin(2)16
f x x π
=+
+，--------------3分 ()f x 的最小正周期T π= --------------5分
（2）2)6
2sin(2)(+-=π
x x g ,--------------8分
[0,
]2x π∈,]6
5,6[62π
ππ-∈-x -----------10分 ,函数()g x 的最大值为4,最小值为1 --------------12分 18. (1) 设方案一某教职工获奖金额为X ，则X 的可能取值为20,60,100
2411(20)6P X C ==
= 24222(60)3P X C ?===,2411
(100)6
P X C === 则X 的分布列为
X 20 60 100 P 16 23 1
6
--------------------4分
设方案二某教职工获奖金额为Y ，则Y 的可能取值为40,60,80
2411(40)6P Y C ==
= 24222(60)3
P Y C ?===,2411(80)6P Y C === 则Y Y 40 60 80 P 16 23 1
6
--------------------8分
(2)
60EX EY ==,1600400
,33
DX DY =
=
由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所
以应该选择方案二 ----------------------12分 19．（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，
所以 ED ⊥平面ABCD ，又因为 AC ?平面ABCD ， 所以 ED AC ⊥. 因为 ED BD D =，所以 AC ⊥平面BDEF .
（Ⅱ）解：设AC
BD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分
别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由
AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，
z 轴，如图建立空间直角坐标系. 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，3BF =，所
以 (0,3,0)A -，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，
3,0)C ，133
(,)
222H .
133
(,)
222BH =-，(2,0,0)DB =.
设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，
所以0,0,BH DB ??=???=??
n n 即1111330,20,x z x ?-+=??=?? 令11z =，得(0,3,1)=-n
由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则00(3)01(3)1
cos ,232
ED ED ED
??+?+?-<>=
=
=-?n n n .
由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. 20.(1)
127PF PF =，122PF PF a +=，1271
,44
PF
a PF a ∴== 又 2PF 垂直x 轴，∴(2
2
2712344a a ????
=+ ? ?????
2a ∴=
∴所求C 的方程为2
214
x y +=.------4分
（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，将5
:3
l y kx =-代入2214x y +=并整理得 224064
(14)039
k x kx +-
+=， ----------------------------6分 由2
22406444(14)64()0399k k k ??
?=--+?=--> ???
，
得23k <-
或2
3
k >-----------① --------------------8分 又12240314k
x x k
+=+设,D E 中点为00(,)M x y ，22
205
(,)312312k M k k -++ 1AM k k =-，得②24510k k -+=； ∴ 1
4
k =或1k = ------------10分
由①得23k <-或23k >，舍去1
4
k =，所以1k =． -------------12分
21. 解：（1）1
()1,()f x ax g x x '=+'=，由()f x 在1x =处的切线与()g x 在2x =的切线平行
则有(1)(2)f g '='，所以112a +=，1
2
a =-------------4分
（2）当[]1,2x ∈时，函数()g x 的图象1C 永远在函数()f x 的图象2C 下方， 即当[]1,2x ∈时，2
1()()ln 102
f x
g x ax x x -=+-->恒成立， 所以
2
1ln 12x x
a x
+->恒成立-------------------6分 设2
ln 1()x x
F x x
+-=， 要21ln 12x x a x +->恒成立，只需要12
a 大于()F x 在[]1,2上的最大值即可 3
2ln 1
()x x F x x --'=
， 令()2ln 1G x x x =--，2
()1G x x
'=-
当[]1,2x ∈时，()(2)0G x G '≤'=，所以()G x 在[]1,2上单调递减--------------------8分 所以当[]1,2x ∈时，()(1)0G x G ≤=，3
0x >
所以当[]1,2x ∈时，3
2ln 1
()0x x F x x
--'=
≤，()F x 在[]1,2上单调递减------------10分 ()F x 在[]1,2上的最大值为(1)F ，所以1
(1)2
a F >，
所以得0a > ------------12分
22（1）
()11:22
=+-y x C (0)
y ≥ 010:=+-y x l …………5分
（2）
2sin 11
1cos sin 10
42
2PQ πααα?
?-- ?+-+??=
=
min 11212PQ ∴=
- ,此时[]30,4π
απ=∈ ……………10分
23．（1）
2)2(21)11)((21≥++=++b
a
a b b a b a ， ∴2=m ． …………5分
（2）m t
t t x t x x f =≥+≥+
+-=21
1)(， 当且仅当1±=t 时成立，此时11≤≤-x ，
∴存在[]1,1-∈x 使m x f =)(成立． …………10分
