一元二次方程02
=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表
表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)
分布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图象
结
论
()0
0200
b
a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b
a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00表二：（两根与k 的大小比较）(a>0)
分布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21,
两根都大于k 即 k x k x >>21,
一个根小于k ，一个大于k 即
21x k x <<
大致图象
结
论
()020
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0表三：（根在区间上的分布）(a>0)
分
布情况 两根都在()n m ,内
两根有且仅有一根在()n m ,内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象
结
论
()()0
002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩
k k
k
函数与方程思想：
（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数
m 的取值范围。
例3.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围
练习：
1.关于x 的一元二次方程0222
=++-a ax x ，当a 为何实数时：
（1）有一个根大于2，另一个根小于2 （2）在()3,1内有且只有一解
2.已知a 是实数，函数.322)(2
a x ax x f --+=如果)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围
