北京大学集合论与图论1.重点难点

数学 集合【重点难点解析】集合论是由德国数学家康托(Cantor ，1845—1918)创立的，它的创立使数学的面貌产生了巨大的变化．现在我们学习的是集合的初步知识．本节重点是集合的基本要领及其表示方法，难点是运用集合的表示方法正确表示一些简单的集合．学习中请注意以下几点：(1)集合与集合的元素是两个不同的概念，与几何中的点、线、面的概念类似．但是，应把握集合元素的确定性、互异性、无序性，要明确元素的属性，这是解决集合问题的关键．(2)集合具有两方面的含义：一方面，凡符合条件的对象都是它的元素，另一方面，凡它的元素都符合条件．(3)新的国家标准定义自然数集N 含元素“0”，这与初中所学不同，要注意．【考点】本节是打基础的预备知识，考试时一般是与后面章节结合起来考查，因此，本节学习需达到的要求是： ①理解集合概念；②掌握集合的常用表示方法；③会正确使用符号∈与∉．【典型热点考题】例1 考察下列每组对象能否构成一个集合？(1)比较小的数；(2)所有无理数；(3)比2大的几个数；(4)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；(5)高一(2)班所有的男生．思路分析判断一组对象能否构成一个集合，关键在于是否有一个明确的标准来判断这些对象具有某种性质． 解：(1)“比较小”无明确的标准，对于某个数是否“比较小”无法客观地判断，因此“比较小”的数不能构成集合；类似地，(3)也不能构成集合．(2)任给一个实数，可以明确地判断它是不是无理数，故“所有无理数”可以构成集合．类似地，(4)、(5)也能构成集合．例2 设集合}Z k 412k x |x {M ∈+==，，}Z k 214k x |x {N ∈+==，，则( ) A ．M ＝N B ．N M ≠⊂ C ．N M ≠⊃ D ．M ∩N ＝∅ 思路分析1 采用描述法向列举法转化：k 取0，±1，±2，±3，…，可得：}454341414345{ ，，，，，，，---=M}4514321410412143145{ ，，，，，，，，，，，，-----=N ∴N M ≠⊂点评 集合的表示法，包括列举法与描述法．将两种表示法相互转化，属基本能力要求．思路分析2设x ∈M ． 则412k x += 2141k 2+-= ∵k ∈Z∴2k －1∈Z 从而，得：N 2141k 2x ∈+-= 由x 的任意性，可得N M ⊆又∵0∈N但是M 0∉假设0∈M ，则21k 412k 0-=⇒+= 与k ∈Z 矛盾∴M 0∉ ∴N M ≠⊂．点评 设集合M={x|F(x)}，则x M x ⇔∈满足条件F(x)；利用子集、真子集的定义证明两个集合之间的“包含于”与“真包含于”的关系．⇔⊆N M 对任意x ∈M ，恒有x ∈N ；N M N M ⊆⇔≠⊂且存在N y 0∈，但M y 0∉．例3 设}Z b Z a 1|b 2a | |2b a {M 22∈∈=-+=，，，已知x ∈M ，y ∈M ．求证：(1)xy ∈M ；(2)M x 1∈． 思路分析根据集合两方面的含义，已知x 、y ∈M ，则x 、y 都可写成2b a +的形式且1|b 2a |22=-，a 、b ∈Z ．而要证明xy ∈M ，M x1∈，则需证明它们符合M 的属性． 证明：(1)∵x ∈M ，y ∈M ∴可设22d c y b a x +=+=，且1|b 2a |22=-，1|d 2c |22=-，a 、b 、c 、d ∈Z∴)ad bc (2)bd 2ac ()2d c )(2b a (xy +++=++=其中，ac ＋2bd ∈Z ，bc ＋ad ∈Z且1|)d 2c ()b 2a (||)ad bc (2)bd 2ac (|222222=-⋅-=+-+∴xy ∈M ． (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=--=--=+=1)2b a ( 21)2b a ( 222211222222当当b a b a b a b a b a x 显然有M 2b a ∈-，M 2b a ∈+- ∴M x1∈．【同步达纲练习】一、选择题1．设A ＝{a}，则下列各式中正确的是( )A ．0∈AB ．A a ∉C ．a ∈AD ．a ＝A2．用列举法将集合{(x ，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}表示为( )A ．{1，2}∈AB ．{1，2}C ．2＝{(2，2)}D ．{(1，2)，(1，1)，(2，1)，(2，2)}3．在①难解的题目；②方程03x 2=-在实数集内的解；③直角坐标平面内第四象限的一些点；④很多多项式中，能够组成集合的是( )A ．②B ．①、③C ．②、④D ．①、②、④4．已知集合}31x |R x {A <-∈=，则有( )A ．3∈A 但A 3∉-B ．3∈A 且－3∈AC ．A 3∉且A 3∉-D ．A 3∉但－3∈A5．下面有4个命题：①N a ∉-，则a ∈N ；②{0}表示仅有一个元素零的集合；③x 44x 2=+的解集可表示为{2，2}；④{y||y|<1}是有限集；其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题1．用符号∈或∉填空}11x |x _________32<{，}32x |x _________52+≤+{，3____________}1|{2N n n x x ∈+=，，(－1，1)__________}x y |y {2=2．集合}5n N n 2n 1n x |x {≤∈+-=，，用列举法表示为____________． 3．集合} 5 2 3 2 1{ ，，，，，用描述法表示为____________． 4．}Q x R x |x {A ∉∈=且，下列实数：︒----60cos 2 3 1010100 22 31321，，，.，，， π中，属于集合A 的元素是____________．5．平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点集可表示为____________．三、问答题1．已知集合A ＝{小于6的自然数}，B ＝{小于10的质数}，C ＝{24和36的全体约数}，用列举法表示：(1){y|y ∈A 且y ∈C}；(2){y|y ∈B 但C y ∉}．2．设}025ax x |x {212=--∈，求集合}0a x 219x |x {2=--中所有元素．3．已知M ＝{2，a ，b}，N ＝{2a ，2，2b }，且M ＝N ，求a 、b 的值．4．已知集合}R a 02x 3ax |R x {A 2∈=+-∈=，，若A 中元素至多只有一个，求a 的取值范围．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 2．D 3．A 4．D 5．B二、1．∉，∈，∉，∉提示：因为111232>= 32)32(12271027)52(5222+=+=+<+=+=+令31n 2=+，则N 2n ∉±=2．}74 21 52 41 0 21{，，，，，- 3．}N n 1n x |x {∈+=， 4．3212 3 22－，，，-π提示：－0.101010…是循环小数，属于有理数 5．{(x ，y)|xy=0}三、1．∵A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{2，3，5，7}，C ＝{1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36} ∴(1){y|y ∈A 且y ∈C}={1，2，3，4}(2){y|y ∈B 但C y ∉}={5，7}2．∵}025ax x |x {212=--∈， ∴02521a )21(2=-⋅- ∴29a -=， ∴}9 21{}029x 219x |x {}0a x 219x |x {22，==+-==-- 3．根据集合元素的特征解题∵M ＝N⎩⎨⎧==2b b a 2a 或⎩⎨⎧==a 2b b a 2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==21b 41a 1b 0a 0b 0a 或或 而⎩⎨⎧==0b 0a 不符合集合元素的互异性 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==21b 41a 1b 0a 或 4．讨论方程02x 3ax 2=+-实数根的情况，从中确定a 的取值范围．依题意方程有一个实数根或有两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，方程－3x ＋2＝0，32x =，符合题意 (2)a≠0时，方程02x 3ax 2=+-为一元二次方程由题意⊿＝9－8a ≤0，∴89a ≥此时方程有两个相等实数根或无实根，符合题意 综合(1)、(2)，a ＝0或89a ≥．。

2018长沙高一数学必修一集合重难点解析一、准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显著特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。

这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、出发点甚至是突破口。

因此，要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。

二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。

集合中的元素具有“三性”：(1)、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。

(2)、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。

(3)、无序性：集合中的元素是无次序关系的。

集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。

因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。

三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。

集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。

在学习过程中，注意对这些数学思想进行挖掘、提炼和渗透，不仅可以有效地掌握集合的知识，驾驭集合问题的求解，而且对于开发智力、培养能力、优化思维品质，都具有十分重要的意义。

四、重视空集的特殊性，防止由于忽视空集这一特殊情况导致的解题失误空集是一个十分重要的特殊集合，它具备“空集虽空，但空有所为”的功能。

在解题的过程中，要时刻注意有无可能存在空集的情况，否则极易导致解题失误。

这一点，必须引起我们的高度重视。

集合论与图论以前学习的高等数学（数学分析）都是连续函数，而计算机是离散型结构，所以它所研究的对象应是离散型的。

因此，做为计算机理论的核心课程《离散数学》就显然非常重要，计算机专业学生必须开设此课程。

目的：培养学生抽象思维和逻辑思维的能力要求：概念第一，正确使用概念进行正确的推理。

特点：抽象，概念多；与其它课程不同，不是以计算为主，而是以推理论证为主；比较难。

内容：⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合映射集合论关系无穷集合图的基本概念树和割集离散数学图 论 连通度和匹配平面图的欧拉公式和图的着色有向图近世代数数理逻辑形式语言与自动机可计算理论等等离散：不考虑实数的性质，只考虑有限或可数的整数。

因此可用归纳法。

第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Cantor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，在当今数学中每个对象本质上都是集合。

有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如：数、函数、线、面等都可以用集合来定义。

换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。

例如：几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——连续函数的集合；代数——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等等。

因此，把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的，也是合适的。

集合论的特点：（1）研究的对象十分广泛：数、图形或其它任何客体都可以作为研究的对象。

（2）因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究必须寻找对象的共性，而要做到这一点，就必须进行抽象。

（3）在抽象化的基础上，可用统一的方法来研究和处理集合论的各类问题。

第一章 集合及其运算§1集合的基本概念在日常生活中，经常会遇到“集合”的概念，例如：所有中国人的组成的集合；坐标面上的有点的集合，自然数集，实数集，全世界无产者等等。

集合是集合论中最基本的概念，所以很难给出精确的定义。

因此，我们把“集合”作为原始的概念给出非形式定义，只给予一种描述说明这个概念的含义。

高三数学（重点、难点、考点、疑点突破）精品资料第一章 集合与函数概念 知识网络高三数学（重点、难点、考点、疑点突破）精品资料第一章 集合与函数概念：第一讲 、集合★知识梳一：集合的含义及其关系 1. 集合中的元素具有的三个性质 确定性 、 无序性 和 互异性 2 集合的3种表示方法列举法 、 描述法、 韦恩图3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 ∈不属于∉4.常见集合的符号表示数集 自然数集正整数集整数集有理数集实数集 复数集符号N *N 或+NZQR C二： 集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔B A = 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ⊆或A B ⊇ 真子集 A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法描 述 法图 示 法包 含 相 等子集与真子集交 集并 集补 集 函数函数 及其表函数基本性单调性与最函数的概函数 的 奇偶函数的表示映射 映射的概念集合与函数概念三：集合的基本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交 并 补{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或U C A ={}x x U x A ∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。