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定理17
定理17: 设 RAA, m,nN, 则 (1) Rm○Rn = Rm+n ; (2) (Rm)n = Rmn.
说明: 可让 m,nZ, 只需IAdomRranR (此时IA=R○R-1=R-1○R)并且定义
R-n = (R-1)n = (Rn)-1. 回忆: (F○G)-1=G-1○F-1
(R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)2
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定理17(证明(1))
(1) Rm○Rn = Rm+n ; 证明: (1) 给定m, 对n归纳. n=0时,
Rm○Rn = Rm○R0 = Rm○IA = Rm = Rm+0. 假设 Rm○Rn = Rm+n, 则 Rm○Rn+1 = Rm○(Rn ○R1) = (Rm○Rn)○R1 =
(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~1859)
推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则
至少有一只抽屉装
m k
只以上的物品.
1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
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定理18
定理18: 设 RAA, 若 s,tN (s<t),使得 Rs = Rt, 则 (1) Rs+k = Rt+k ; (2) Rs+kp+i = Rs+i, 其中k,iN, p=t-s; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS.
第7讲 关系幂运算与关系闭包 北京大学
内容提要 关系幂(power)运算 关系闭包(closure)
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关系的幂运算
n次幂的定义 指数律 幂指数的化简
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关系的n次幂
关系的n次幂(nth power): 设RAA, nN, 则
(1) R0 = IA;
(2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
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定理18(说明)
s
泵(pumping):
Rs+kp+i = Rs+i
i p
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定理18 (证明(1)(3))
(1) Rs+k = Rt+k ; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS.
证明: (1) Rs+k = Rs○Rk = Rt○Rk = Rt+k; (3) 若 q>t-1s, 则令 q=s+kp+i,
一般地, R2k+1=R1=R, k=0,1,2,…,
R2k=R2, k=1,2,…,. #
b
b
b
a G( R )
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ca G( R4 )
ca
c G( R5 )
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关系幂运算是否有指数律?
指数律: (1) Rm○Rn = Rm+n ; (2) (Rm)n = Rmn.
说明: 对实数R来说, m,nN,Z,Q,R. 对一般关系R来说, m,nN. 对满足IAR且AdomRranR的关系R来说, m,nN,Z, 例如R2○R-5=R-3,因为可以定义 R-n = (R-1)n = (Rn)-1 ?
R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>},
R3 = R2○R = {<a,b>,<a,b>,<a,c>} = R1,
b
b
a
c
G( R )
a
c
G( R3 )
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关系幂运算(举例,续3)
解(续): R4 = R3○R = R1○R = R2,
R5 = R4○R = R2○R = R3 = R1,
Rm+n○R =
R(m+n)+1 = Rm+(n+1). (2) 同样对n归纳. #
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RR0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
R0 R1
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R2 R3 R4
R17 R16
R15 R14
R5=R19=R33=R47=… R6=R20=R34=R48=… R7=R21=R35=R49=… R8=R22=R36 =…
4
关系幂运算(举例,续)
解(续): R0 = IA, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>},
R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>},
b
b
a
c
G( R )
a
c
G( R2 )
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关系幂运算(举例,续2)
解(续): R0 = IA, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>},
Rn R RR
n个R
Rn表示的关系, 是R的关系图中长度为n 的有向路径的起点与终点的关系.
1
2
n-1
n
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关系幂运算(举例)
例: 设A={a,b,c}, RAA, R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}, 求R的各次幂.
解: b
b
a
c
G( R )
a
c
G( R0 )
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所以 s,tN, 并且 0st2n2 ,
使得 Rs = Rt. #
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鸽巢原理(pigeonhole principle)
鸽巢原理(pigeonhole principle): 若把n+1 只鸽子装进n只鸽巢, 则至少有一只鸽巢 装2只以上的鸽子.
又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle),
其中 k,iN, p=t-s, s+i<t; 于是 Rq = Rs+kp+i = Rs+iS.
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定理18(证明(2))
(2) Rs+kp+i = Rs+i, 其中k,iN, p=t-s; 证明: (2) k=0时,显然;
k=1时,即(1); 设 k2. 则 Rs+kp+i = Rs+k(t-s)+i = Rs+t-s+(k-1)(t-s)+i = Rt+(k-1)(t-s)+i = Rs+(k-1)(t-s)+i = … = Rs+(t-s)+i = Rt+i = Rs+i . #
R9
R10 R11
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定理16
定理16: 设 |A|=n, RAA, 则 s,tN, 并 且 0st2n2 , 使得 Rs = Rt.
证明: P(AA)对幂运算是封闭的, 即
R, RP(AA) RkP(AA), (kN).
|P(AA)|
=
2
n
2
,
在R0,R1,R2,…,
R
2n2
这
2n2 1个集合中, 必有两个是相同的.
