2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义

定义 ； 4．求定积分的方法主要有：①利用定积分的________
a
微积分基本定理 ②利用定积分的几何意义 ________；③利用___________________ ．
[知识点拨]1.微积分基本定理应用的关注点
(1)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f ′(x)＝ f(x)的函数F(x)再计算F(b)－F(a)． (2)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函 数，再求定积分．
a
1 (5) x dx＝lnx|b a(b>a>0)．
b a
xb b x (6) e dx＝e |a.

a
x a b b x (7) | a dx＝ a(a>0且a≠1)． ln a a b (8)
a
2 3 xdx＝3x2|b a(b>a>0)．
1 2 2 1．如果 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝______.
π
0 － π
cosxdx＝sinx|0 －π＝0.
π
2 2 (5) (sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) -π -π 2 2
π π π π ＝－cos2＋sin2＋cos－2－sin－2＝0＋1＋0＋1＝2.
1 3 1 2 1 1 (6) (x －x)dx＝(3x －2x )|0＝－6.
2．常见的原函数与被积函数的关系
b b (1) Cdx＝Cx|a(C为常数)．
a b
1 n＋1 b (2) x dx＝ x |a(n≠－1)． n＋1
n a b b (3) sinxdx＝－cosx|a.
a
b b (4) cosxdx＝sinx|a.

例1 求下列函数的导数.
2x3－3x＋ x＋1 (1)y＝ ； x x
解 ∵y＝2 x －3 x ＋x ＋ x ，
－1
1 2 3 2 1 2
3 2
3 5 3 2 3 ∴y′＝3 x ＋ x －x－2－ x 2 . 2 2
解答
x2＋1 (2)y＝ 2 ； x ＋3
解 方法一
x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′ y′ ＝ x2＋32
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
和、差的导数
1 已知f(x)＝x，g(x)＝ . x
解答
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
1 sin 2 x ＋ x sin 2x＋2x 2 ＝ cos2x ＝ 2cos2x .
解答
类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)＝ x ＋2xf′(1)， 试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； 1－ln x 解 由题意得 f′(x)＝ x2 ＋2f′(1)， 1－ln 1 令 x＝1，得 f′(1)＝ 1 ＋2f′(1)，即 f′(1)＝－1. ln x ∴f(x)＝ x －2x. ln e 1 ∴f(e)＝ e －2e＝ e－2e，f(1)＝－2， 1 由 f(e)－f(1)＝e －2e＋2<0，得 f(e)<f(1).

B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内

2 . 2
2 2
类型一
利用公式求函数的导数
【典例1】(1)给出下列结论： ①(cos
1 ②若y= 6 ,则y′= 6 ;2 1 3 2x ③若f(x)=3x, 则［f′(1)］′=3; 2 x
)′=-sin
;
, 则y ′= 1 5 . x 5 x 其中正确的个数是( ) ④若y= 5
5
)′
=
,所以④错误.
x
x
1 5
1 x 5

4 5
(2)选D.因为f(x)＝ 所以f′(x)
8 ， － 5 3 ＝－ x 3 ＝－ . 所以f′(－1) 8 5 － ＝－ －1 3 3
x
5 － 3
，
5 3
【方法总结】应用导数公式求导的两个注意事项 (1) 应用导数公式时不需对公式说明 , 掌握这些公式的
【解析】选C.y=xn求导，得y′=nxn-1，令n·2n-1=12，
解得n=3.
2.已知f(x)＝2x，则f′(1)＝__________. 【解析】因为f(x)＝ 2x，所以f′(x)＝2xln 2， 所以f′(1)＝ 21ln 2＝2ln 2. 答案：2ln 2
3.正弦函数y=sin x在x= 处的切线方程为_____. 6 【解析】求导，y′=cos x，代入x= ，可得曲线 6 y=sin x在x= 处的切线斜率为 ，又切点纵坐标为 3 6 2 y- = sin ，即 ，所以所求切线方程为 1 1 (x- )，去分母化简得12y-6= x，即 2 6 2 3 x-12y+6=0. 3 6 3 6 2
释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
3. 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较 繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决 这个问题？ 提示：可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算