第9章 压杆稳定

第九章 压杆稳定 §9.1 压杆稳定的概念 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 §9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式 §9.5 压杆的稳定校核 §9.6 提高压杆稳定性的措施

1. 引言 强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力 ① 刚度——构件抵抗变形的能力 稳定性——构件保持原有平衡形态的能力 稳定状态 ②平衡 不稳定状态 随意状态 ③失稳：构件从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的现象称为失稳。 2．实例 qcrFcr

① 受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。 ② 受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。 ③ 窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。 ④ 圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。 ⑤ 细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。 3．稳定研究发展简史 早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。 例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。从此稳定问题才在工程中得到高度重视。 §9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例 （1）内燃机配气机构中的握杆，当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。 （2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。 （3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。 （4）桁架结构的某些杆件。 （5）建筑物中的柱。 2．压杆分类







.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆

bbs



3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。 4．两端铰支细长压杆稳定性讨论







..3.2.1的显著增大直至破坏加情况下引起弯曲变形弯曲变形在微小压力增临界状态不稳定的直线平衡稳定的直线平衡压杆平衡

5．临界压力：当压力达到临界值时，压杆将由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。可以认为，使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力

FFcrF=Fcr

FF=FcrF即为临界压力。 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力

xl

w

yxF

F

1．设两端为球铰的细长压杆处于微弯平衡。选取坐标系如图示。距原点为x的任意截面的挠度为w，弯矩的绝对值为Fw，若取压力F的绝对值，则w为正时，M为负，w为负时，M为正，即M与w的符号相反。 M=-Fw

EIMxw2

2

dd

∴ EIFwxw22dd 引入 EIFk2 则 0222wkxwdd 微分方程的通解为 w=Asinkx+Bcoskx A、B为积分常数，由边界条件确定。 当 x=0时，w=0，则B=0 当 x=c时，w=0，则Asinkl=0 讨论： （1）显然A≠0，若A=0，则w=0，杆始终为直线，这与微弯假设前提矛盾。 （2）故只有sinkl=0，于是 kl=0，π,2π,3π……或 kl=nπ（n=0,1,2……） 故 lnk

由 2222lnEIFk 则

222lEIn

F

由此可见，使曲线保持平衡时，压力为出现多值。使压杆保持微弯平衡时的最小压力即为临各压力。取n=1，则

22lEI

Fcr

两端铰支细长压杆的欧拉公式。 2．对公式222lEInFcr的讨论 由 解：W=Asinkx lnk

则 Awsinxln 当n=1时， Awsinxl（一个半波正弦曲线） 22lEI

Fcr

当n=2时， Awsinxl2（2个半波正弦曲线）

224lEI

Fcr

当n=3时， Awsinxl3（3个半波正弦曲线）

229lEI

Fcr

当…… 当在高阶临界压力下，压杆变民成2个、3个……半波正弦曲线，其形式是稳定的，只有当中间有约束时，才能转为稳定。 3．积分常数A为压杆中点的挠度 由 Awsinxl 当 2lx时 w=A

§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力

1．根据实际压杆端部约束可简化为 （1）两端铰支22lEIFcr （2）一端固定，一端自由22)2(lEIFcr （3）两端固定22)5.0(lEIFcr （4）一端固定，一端铰支22)7.0(lEIFcr 2．临界压力统一形式（欧拉公式） 22)(lEI

Fcr

式中μ——长度因数；μl——相当长度 3．实际压杆约束简化及μ可查规范。

§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1．细长压杆临界压力欧拉公式

2

2

lEI

Fcr

临界压力： 22lEIcr ∵ I=I2A=i2A i截面惯性半径 或 22ilEcr

引入 il——柔度或细长比 则 22Ecr 欧拉公式 λ称为柔度或长细比，另一个无量钢量，集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸、形状对临界应力的影响。 2．以柔度λ将压杆分类 （1）细长杆（大柔度杆） （2）中长杆（中柔杆） （3）短杆（小柔杆） 注意：欧拉公式仅适用细长杆临界压力和临界应力计算。 ①细长杆（大柔度杆）

欧拉公式导出利用弯曲变形的微分方程EIMxw22dd，而材料服从胡克定律是微分方程的基础，因此 pcr

即： pxE22

PE

2



令 pE21 则 1 此时压杆称为细长杆或大柔度杆。这就是欧拉公式的适用范围。 注意：λ1——称为第一界限柔度，由公式可知它与材料性质有关。即不同的材料λ1不同。 ②中长杆（中柔度杆） 若λ能适用。属于超过比例极限σp的压杆稳定问题。一般采用经验公式:直线公式和抛物线公式。 直线公式： σcr=a－bλ 式中a、b为与材料有关的常数P301-302。 根据： scr或bcr 即 sba或bba 故 bas或bab

令 bas2或bab2 则 λ≥λ2可用经验公式 λ2≤λ≤λ1称为中柔杆。 ③小柔度杆（短粗杆） λ



bcrscr



④临界应力总图 综上所述，临界应力σcr随压杆柔度λ而不同，即不同的柔度，临界应力σcr应按相应的公式来计算。 临界应力σcr随柔度λ变的图线称为临界应力总图。

BA

C

D

σ

σσcr

sp

0λλλ12

crσ=s

σ

σcr=

a_bλ

σcr=

σcrλ

π2E

λ2杆件性质 适用范围 计算公式 计算公式 大柔杆 λ≥λ1

22

crE

 i

l

中柔杆 λ2≤λ≤λ1 ba

cr

p

2

1E



小柔杆 λ≤λ2 

bscr



bs2b

a

⑤临界压力 Fcr=σcrA Note：失稳是考虑杆的整体变形，局部削弱（如螺钉孔等）对整体变形影响很小，计算A、I时可忽略削弱的尺寸。

§9.5 压杆的稳定校核 稳定条件：

stcrnFFn

n——工作安全因数 nst——稳定安全因数。nst一般高于强度安全因数，因为压杆的初曲率，压力偏心，材料不均匀和支座缺陷都严重影响压杆稳定。 Examplel 试计算临界压力Fcr

FABC

da

3 m2 m 图示结构，AB为圆杆d=80mm，A端固定，B端球铰，BC为方截面杆，边长为a=80mm两端为球铰，若AB、BC各自独立变形，