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高等数学教学设计——中值定理

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4.1微分中值定理 单元教学设计 一、教案头

单元标题： 微分中值定理 单元教学学时 8 在整体设计中的位置 第23-26次 授课班级 上课地点

教学 目标

能力目标 知识目标 素质目标 ➀能够理解和掌握罗尔定理 ➁能够掌握拉格朗日定理并证明相关问题 ➂能够掌握导数判断函数的单调性 ➃能够掌握柯西中值定理及洛比达法则

洛尔定理、拉格朗日定理 单调性、柯西定理、洛比达法则

➀深刻思维能力 ➁团结合作能力 ➂语言表达能力

能力训练任务 及案例

任务1 罗尔定理

任务2 拉格朗日定理

任务3 单调性

任务4 柯西定理与洛比达法则

案例1 求1213123xxxy的单调区间 案例2 讨论2-xey的单调性 案例3 计算x-x)-(sinlim1x 案例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0,试证：至少存在一个点 ，使得)2f(-)(f 案例5 设)(xf在区间],[ba上连续，在ba,内可导，证明：在ba,内至少存在一点，使得 ffabaafbbf

)()(

案例6 若0,0ba均为常数，求xxxxba302lim 教学 材料

高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社 高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社 高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社 经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社 二、教学设计 步骤 教学内容 教学方法 教学手段 学生活动 时间 分配

1 （告知） 本单元学习目标： 洛尔定理 拉格朗日定理 单调性 柯西定理 洛比达法则 陈述 板书 识记 10分钟

2 （引入 任务1） 洛尔定理 学生阅读73页，理解罗尔定理。教师黑板画图像： 根据图像寻找点，结合导数的几何意义，寻找0f 经过讨论：原来这个点就是最高点或者最低点。 例： 设xxxf-3)(，验证符合洛尔定理。 练习：设[-1,1.5],3--2)(2xxxxf验证符合洛尔定理。 教师讲解 教师提示 学生认真听讲 分组研讨 30分钟

8642

2468

51015f(b)f(a)ba3 （任务2）

拉格朗日定理 学生阅读70页教材，结合下面的图像：

分析拉格朗日定理的成立理由 例 研究2xy在区间[1,2]上满足拉格朗日定理

证明：如果)(xf在区间[a,b]内满足0)(xf，则在[a,b]内f(x)是个常数。 练习：证明2arccosarcsinxx

教师启发讲解 板书 师生研讨 40分钟

8642

246810

51015f(b)f(a)ba4 （任务3）

单调性 学生阅读72页内容，总结单调性与导数有何关系。

总结：（1）如果)(xf在b][a,内的导数0)(xf，那么f(x)在这个区间内单调增加 （2）如果)(xf在b][a,内的导数0)(xf，那么f(x)在这个区间内单调减少 要研究函数的单调区间步骤 （1）求驻点 （2）以驻点分开定义域为若干块，在每块内探讨一阶导数的正负。正的单调增加，负则单调减少。

例：研究4xy的单调区间

例：研究23-3xxy的单调区间 练习：证明，0x时，xex

教师启发讲解 板书 师生研讨 60分钟

5 （任务4）

柯西定理与洛比达法则

柯西定理是前面两个定理的推广，学生了解即可。他的教师启发讲解 板书 师生研讨 60分钟

42

246

5510f'(x)<0f'(x)>0

f'(x)>0

x2x3x1x4

42

24

Y51015XABC证明是把两个函数看成参数方程 )f()(xYxFX

，)(),(afaFA，)(),(bfbFB，连接AB

的连线的斜率是F(a)-(b))(-)(Fafbf，在曲线上必有一个点C，它的切线斜率是)(F)(fdxdXdxdYdXdY 柯西定理的一个主要应用就是证明罗比达法则：Axfygxfxxxx)(xg)(lim)()(lim00

00

例 计算1--23-lim2331xxxxxx 例 计算xxxtancos1lim

例 计算xxx1arctan-2lim 例 计算nxxxlnlim 练习 计算xxxxln1-1-lim1 计算xxxtancotlnlim)2( 计算xxxtancotlnlim)2(

6 （案例）

案例1 求1213123xxxy的单调区间 案例2 讨论2-xey的单调性 案例3 计算x-x)-(sinlim1x 案例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)

学生讨论学习 60

分钟 =0,试证：至少存在一个点 ，使得)2f(-)(f 案例5 设)(xf在区间],[ba上连续，在ba,内可导，证明：在ba,内至少存在一点，使得 ffabaafbbf

)()(

案例6 若0,0ba均为常数，求xxxxba302lim

作业 77页1 2 3 4 课后 体会 4.2函数的极值和最值 单元教学设计 一、教案头

单元标题： 函数的极值和最值 单元教学学时 8 在整体设计中的位置 第27-30次 授课班级 上课地点

教学 目标

能力目标 知识目标 素质目标 ➀能够极值和最值的概念和区别 ➁能够求解函数的极值和最值 单调性 极值 最值 求法

➀深刻思维能力 ➁团结合作能力 ➂语言表达能力 能力训练任务 及案例

任务1 函数的极值定理及其求解

任务2 函数的最值及其求解

案例1 求1213123xxxy的极值 案例2 讨论2-xey的极值 案例3（最大流量出口） 有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x取和值时水槽的流量最大？ 案例4 （铁路站点安置） 铁路线AB距离为100公里，工厂C距A为20公里，AC垂直于AB，今要在AB上选定一个点D向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D点选在何处才能使从B到C的运费最少？ 案例5 （最大面积问题） 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图

教学 材料

高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社 高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社 高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社 经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社 二、教学设计 步骤 教学内容 教学方法 教学手段 学生活动 时间 分配

1 （告知） 本单元学习目标： 极值 最值 陈述 板书 识记 5分钟

2 （引入 任务1） 极值 学生阅读77页内容，搞清楚： （1）极值点的定义 （2）求解极值点的方法 定义：设函数)(xf在点0x的某邻域内都有)f(x)(0xf，则称0x是极大点，)f(x0为极大值。设函数)(xf在点0x的某邻域内都有)f(x)(0xf，则称0x是极小点，)f(x0为极小值。 如下图 31,xx是极大点，2x是极小点 判断一个点0x的极大点或者极小点有两种方法 1、根据0x两侧的)(xf的符号来判定 教师讲解 教师提示 学生认真听讲 分组研讨 50分钟

x1

x2x

30x左侧 0x 0x右侧

0)(xf 极小点 0)(xf 0)(xf 极大点 0)(xf 0)(xf 不是极值点 0)(xf 0)(xf 不是极值点 0)(xf 例 求函数2-1xy的极值点和极值 练习：求函数2)-1(2xy的极值点和极值 2、根据二阶导数)(xf的符号来确定 设0x是驻点，如果0)(0xf，则0x是极小点；如果0)(0xf，则0x是极大点；0)(0xf，则0x是无法

判断0x是极大点还是极小点。 例 求函数xxxy96-23的极值 例 求函数231)-(x-2y的极值

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高数中值定理

高数中值定理

(1) 若 M = m , 则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 若 M > m ,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1)定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, y
o 1x
F (b) F (a)
由罗尔定理知,至少存在一点
使
即
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F( )(b a), (a , b) 一定相同
上面两式相比即得结论. 错!
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 6 用柯西中值定理再证明例 2：
设函数 f (x) C[0,1] D(0,1) ，且 f (0) 0 ， f (1) 4 ， 试证明：在开区间 (0,1) 内至少存在一点 ，使得
(1 2) f ( ) 1
证： F(x)
arctan
x
，
f
(x)
，且
F ( x)
1 1 x2
0
由柯西中值定理有：至少存在一点 (0,1) ，使得
f (1) f (0) f ( ) F (1) F (0) F( )
即
4 4
0 0
f ( )
1 1
2
，
也即： (1 2) f ( ) 1
例 7 设函数 f (x)C[a,b] D(a,b) ，且 f (x) 0 ， x (a,b) ，试证明：在 (a,b)内存在 和 ，使得
高等数学 第3章 第一节 中值定理

高等数学 第3章 第一节 中值定理

6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高等数学 中值定理

高等数学 中值定理


所以F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
又F(0)=0， F(1)=1·f(1)＝0
由罗尔定理：至少存在一点 （0，1）使 F( ) 0
即 f () f () 0
9
练习 设函数 f(x)在上 [0, ] 可导，且 0<f(x)<1, 4
在 (0, ) 内 f ( x) sec2 x 4
第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理
1
知识回顾：
1.若函数f
(x)在点x0可导，则 f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
f( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) , x0f( x0 ) Fra biblioteklim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) , x0
证明在 (0, ) 内有且仅有一个x,使f(x)=tanx 4
证 设F(x)=f(x)－tanx
F (0) f (0) 0, F () f () 1 0
4
4
∴在
(0,
) 4
内至少有一个a,
使F(a)=0，
即 f(a)=tana
10
设在
(0,
) 4
内另有一个点b,
使f(b)=tanb
则F(b)= f(b)－tanb = 0 = F(a)
(3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点
(a,b) ，使得
使 f () 0
f ( ) = 0.
而在(0,1)内 f ( x) 5x4 5 0, 矛盾，
故方程 x5 －5x＋1=0有且仅有一个小于1 的正实根
高等数学教案第四章

高等数学教案第四章

第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。

拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。