6.1.4z变换 - z变换二性质(精品文档)

求余x(弦 n)c信 on s)u 号 ((n)的 z变换。 交集
时移
x [n k ] z z kX (z ),RO R C
Consider: [ n ],[ n k ],[ n k ]
Z域尺度变换
anx[n] z X(z), RO aC R a
（1）当a为实数，则表示在z平面上的缩小或扩大；
s平面上的j虚轴0sj映射到z平面就是一个半径r1的单位园而左半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园内的圆周右半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园外的圆周
第2章 Z变换及离散时间系统分析
2.0 引言
x(n) zn
y(n)H(z)zn
LTI
h(n)
H (z) h(n)zn,
面上，这条直线就被映射成一条幅角为
=ω的射线。
s 平面上的实轴（ω=0，s =σ）映射到 z平面就是一条幅角 =0 的射线；s平 面上ω=π/4 的直线映射到z平面就是一 条幅角 =π/4 的射线。
3、z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)的关系：
z rej
X(z)X(rje ) [x(n)rn]ejn n
s 平面上的 j 虚轴( =0，s = j )映射到 z 平
面就是一个半径 r =1 的单位园，而左半 s 平面和
j 轴平行的直线映射到 z 平面就是一个单位园内 的圆周，右半 s 平面和 j 轴平行的直线映射到 z
平面就是一个单位园外的圆周。
为常数
在 s 平面上，ω为常数表示一条和实轴
平行的直线，由于 =ω，因此，在 z 平
——IIR系统
• 零极点模型（ARMA系统）：有极点，有 零点。
——IIR系统
2.5.2 离散系统的零极点分析

第6章 Z变换
主要内容
定义和收敛域 有理z变换 逆z变换 z变换的性质 有限长序列卷积的计算 传输函数
概述
z变换是离散时间傅立叶变换的推广形式 对于很多序列，其离散时间傅立叶变换不存 在，但其z变换存在 对于实值序列，其z变换是复数变量z的实有 理函数 z变换是数字滤波器设计和分析的重要工具 在z域中，LTI离散时间系统的表示由其传输 函数给出
逆z变换
使用查表法计算逆z变换 使用部分分式展开法求逆变换 P253 例6.14
有用性质的证明
共轭性质 时间反转性质 线性性质 P258 例6.22
有限长序列卷积计算
线性卷积 圆周卷积
线性卷积
两序列x[n],h[n]的线性卷积和y[n] 的z变换 Y(z)可以由x[n]和h[n]的z变换相乘获得 例6.30 6.31
LTI离散时间系统传输函数的表示
FIR数字滤波器 有限维LTI IIR离散时间系统
FIR数字滤波器
冲激响应h[n]定义在区间N1≤n≤N2上，在区间 外有h[n]=0，传输函数为：
H ( z) =
n= N1
h[n]z − n ∑
N2
对于因果FIR滤波器，0≤N1≤N2，所以所有极 点均在z平面的原点处 H(z)的收敛域是除了z=0的整个z平面 P267 例6.33
用极点表示的稳定性条件
基于冲激序列h[n]给出BIBO稳定性：
n = −∞
∑ h[n] < ∞
+∞
问题：对于无限冲激响应系统，稳定性条件很 难检测 解决：用传输函数H(z)的极点位置来表示稳定 条件。 P272 例6.36 例6.37
用极点表示的稳定性条件
通过傅立叶变换H(ejω)的存在性来验证其冲激 响应是否绝对可和：

6212已知九初值定理和终值定理初值定理适用于右边序列如果序列在km时fk0它与象函数的关系为九初值定理和终值定理终值定理适用于右边序列如果序列在km上式是取的极限因此要求例6213某因果序列的z变换为设a为实数limlimz在z1处有极点所以在单位圆上不收敛fz在z1有一阶极点的极点为收敛域为
复习
z
z z a
f (2) lim[z2 z z2 az] a2 z z a
（2）由终值定理可得
0
lim
z1
z
1 z
z
z
a

1 0
0
a 1 a1 a 1 a 1
F(z)

Z[
f（k）]
Z
1
k


2
f1(k )


F1 (2 z )
(2z)2 4z2
3 | z | 2
2z 3 2z 3
四、 卷积定理
若
f1(k) F1(z), 1 z 1
f2(k) F2(z),
2

z

2
则
f1(k)* f2(k) F1(z)F2(z)
且有任意常数 a1 , a则2 ,
a1 f1(k) a2 f2(k) a1F1(z) a2F2(z)
其收敛域至少是 F1(与z) F收2(敛z)域的相交部分。
例 6.2-1 已知 f (k) ε(k) 3k ε(k 1)，求f(k)的
双边Z变换F(z)及其收敛域。
(k) z
f1(k )

F1 ( z )

(z
z 1)2
， 则有
f (k ) ak f1(k )

由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
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n
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6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
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6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4： 求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
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