河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题+Word版含答案

19届（高三）上期入学摸底测试

文科数学试题

附参考数据与参考公式：

20PKk 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

0k 2.706 3.841 5.024 6.635

10.828

22nadbcKabcdacbd

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集UR，集合25|11,|11xAxxBxx，则UAB（ ）

A． |12xx B．|12xx C． |12xx D．|14xx

2.欧拉公式cossinixexix（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x时，10ie被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，2ie表示的复数在复平面中位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知向量,2,4,2ambm，条件://pab，条件:2qm，则p是q的（ ）

A． 充分不必要条件 B．

必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

4.函数1cos23sincos2fxxxx的一个对称中心是（ ）

A． ,03 B．,06 C. ,06 D．,012

5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的,xy分别为（ ）

A．90，86 B．94，82 C. 98，78 D．102，74

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．322 B． 343 C. 326 D．323

7.已知0,,axy满足约束条件133xxyyax，若2zxy的最小值为32，则a （ ）

A．14 B．12 C. 1 D．2

8.函数2sin2xyx的图象可能是（ ） A． B．

C. D．

9.设0，函数2sin13yx的图象向右平移43个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）

A．32 B．23 C. 43 D．34

10.函数fx与其导函数fx的图象如图，则满足fxfx的x的取值范围为（ ）

A． 0,4 B．,01,4 C. 40,3 D．0,14,

11.已知点,nnAnanN都在函数log01afxxaa且的图象上，则37aa与52a的大小关系为（ ）

A．3752aaa B．3752aaa C. 3752aaa D．37aa与52a的大小与a有关

12.点P为双曲线221916xy的右支上一点，,MN分别是圆2254xy和圆2251xy上的点，则PMPN的最大值为 （ ）

A． 8 B． 9 C. 10 D．7

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为,,xyz，则1001531003xyzxyz，当81z时，2xy ．

14.设正三棱锥PABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径R，7HR，则22HPA ．

15.抛物线28yx的焦点为F，点6,3,AP为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长的最小值为 ．

16.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知3abcabcab，且4c，则ABC面积的最大值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分

17.已知等差数列na中，12a，公差3d；数列nb中，nS为其前n项和，满足212nnnSnN.

（1）记11nnncaa，求数列nc的前n项和nT；

（2）求数列nb的通项公式. 18.2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：

年龄段 22,35 35,45 45,55 55,59

人数（单位：人） 180 180 160 80

约定：此单位45岁59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.

（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？

（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？

热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计

青年

12

中年 5

总计

30

（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2 人能胜任的2人能胜任才艺表演的概率是多少？

19.如图，在三棱锥PABC中，22,4,ABBCPAPBPCACO为AC的中点.

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离.

20.设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为2,0.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，求OMAOMB的值.

21. 设函数2122xfxxeaxax.

（1）讨论fx的单调性；

（2）设1a，当0x时，2fxkx，求k的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为1,5，点M的极坐标为4,2，若直线l过点P，且倾斜角为3，圆C以M为圆心，4为半径.

（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（2）试判定直线l与圆C的位置关系.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数2,1fxxagxbx.

（1）当1b时，若12fxgx的最小值为3，求实数a的值；

（2）当1b时，若不等式1fxgx的解集包含1,12，求实数a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: ABBDC 6-10:CADAD 11、12：DB

二、填空题

13. 30 14. 3539 15. 13 16. 43

三、解答题

17.解：（1）因为12,3ad，所以1123135naandnn，

则111111353233532nnncaannnn，

所以111111111132435323232232nnTnnnn；

（2）因为212nnnS，所以11111,1222nnnnSSn，

则11111111111122222222nnnnnnnnbSSn，

当111111,122nbS，满足上述通项公式，

所以数列nb的通项公式为12nnb．

18.解：（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；

（2）2×2列联表如下：

热衷关心民生大事

不热衷关心民生大事 总计

青年 6 12 18

中年 7 5 12

总计 13 17 30

2230651274051.8332.70613171812221K，

∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；

（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1234,,,AAAA，其余两人记为12,BB，则从中选两人，一共有如下15种情况： 12131423243411122122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AAAAAAAAAAAAABABABAB，

3132414212,,,,,,,,,ABABABABBB，

抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，

所以62155P．

19.解：

（1）因为4,OPAPCAC为AC的中点，所以POAC，

且23OP．连结OB，因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且1,22OBACOBAC，

由222OPOBPB知，OPOB，

由,OPOBOPAC，知OP平面ABC；

（2）作CHOM，垂足为H，

又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM，

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知012422,,45233OCACCMBCACB，

所以25sin45,35OCMCACBOMCHOM．