2021/1/14第2章对偶理论及灵敏度分析
2021/1/14
管理工程系管理工程教研室2主要内容
对偶理论
线性规划对偶问题
对偶问题的基本性质
影子价格
对偶单纯形法
灵敏度分析
灵敏度问题及其图解法
灵敏度分析
参数线性规划
2021/1/14线性规划的对偶问题
对偶问题的提出
原问题与对偶问题的数学模型
原问题与对偶问题的对应关系
2021/1/14管理工程系管理工程教研室4实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品，有关数据如下表：
设备A
设备B
调试工序
利润（元）0
6
1
25
2
1
115时
24时
5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出
2021/1/14管理工程系管理工程教研室5如何安排生产，
使获利最多
？
厂
家设Ⅰ产量–––––
Ⅱ产量–––––1x
2x
0 52426155
2max
212121221
xxxxxxx
s.t.xxz
,
2021/1/14管理工程系管理工程教研室6设设备A ——元／时
设备B ––––元／时
调试工序––––元／时1y
2y
3y
收
购付出的代价最小，
且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
自己生产的利润。
2021/1/14管理工程系管理工程教研室7设备A
设备B
调试工序
利润（元）0
6
1
25
2
1
115时
24时
5时ⅠⅡD厂家能接受的条件：
收购方的意愿：
32152415minyyyw单位产品Ⅰ出租
收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租
收入不低于1元出让代价应不低于
用同等数量的资源
自己生产的利润。12526
32132
yyyyy
2021/1/14管理工程系管理工程教研室8
0 52426155
2
212121221
xxxxxxx
s.t.xxz
,max
0y1252652415
32132132321
yyyyyyy
tsyyyw
,,.min
对
偶
问
题原
问
题
收
购厂
家
一对对偶问题
2021/1/14管理工程系管理工程教研室9
淮北师范大学
2011届学士学位论文
线性规划灵敏度分析
学 院、专 业 数学科学学院 数学与应用数学
研 究 方 向 运筹学
学 生 姓 名 陈 红
学 号 ***********
指导教师姓名 张发明
指导教师职称 副教授
2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析
陈 红
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘 要
本文主要从价值系数jc的变化，技术系数ija的变化，右端常数ib的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming
Chen Hong
(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)
Abstract
This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘jc’, the variety of
technology coefficient ‘ija’, the variety of the resources condition‘ib’and increase the
运筹学灵敏度举例
1．已知以下线性规划问题
max z= 2x1 +x2 -x3
s.t. x1 +2x2 +x3 ≤8
-x1 +x2 -2x3 ≤4
x1, x2, x3 ≥0
的最优单纯形表如下：
z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
z 1 0 3 3 2 0 16
x1 0 1 2 1 1 0 8
x5 0 0 3 -1 1 1 12
(1) 求使最优基保持不变的c2=1的变化范围
C 2 1+ -1 0 0 0
z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
CB z 1 0 3- 3 2 0 16
2 x1 0 1 2 1 1 0 8
0 x5 0 0 3 -1 1 1 12
3-≥0，≤3，即c2≤4。当c2=5，即=4
z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
z 1 0 -1 3 2 0 16
x1 0 1 [2] 1 1 0 8 8/2
x5 0 0 3 -1 1 1 12 12/3
x2进基，x1离基
z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
z 1 1/2 0 7/2 5/2 0 20
x2 0 1/2 1 1/2 1/2 0 4
x5 0 -3/2 0 -5/2 -1/2 1 0
新的最优解为x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，max z=20
(2) 对c1=2进行灵敏度分析
C 2+ 1 -1 0 0 0
z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
CB z 1 0 3+2 3+ 2+ 0 16+8
2+ x1 0 1 2 1 1 0 8
0 x5 0 0 3 -1 1 1 12
3203020，3232/，当≥-3/2时，即c1≥1/2时，最优基保持不变。
当c1=4时，=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8=32。
运筹学2对偶问题
运筹学教程
运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual
Problem
1. 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP 2.对偶性质 对偶性质 3.对偶单纯形法 对偶单纯形法 4.灵敏度分析 灵敏度分析
Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis
运筹学教程
§2.1线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 Dual
model of LP
Ch2 Dual Problem2022年11月26日星期五 Page 2 of 19
在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规
划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】 某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、 例
资源限量及价值系数如下表：产品 资源 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润 9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量
建立总收益最大的数学模型。
运筹学教程
§2.1线性规划的对偶模型 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem2022年11月26日星期五 Page 3 of 19
设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模 解
型为： m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 3
9x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2
+ 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业自己不生产产 品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格
