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运筹学图解法的灵敏度分析

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管理运筹学第二章 线性规划的图解法

管理运筹学第二章 线性规划的图解法


B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）

-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学灵敏度分析

运筹学灵敏度分析


只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2

84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2

84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学钱颂迪答案

运筹学钱颂迪答案

运筹学钱颂迪答案【篇一： 803 运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。

本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。

二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间： 180 分钟3.题型比例：满分 150 分，基本概念 20% ，计算及证明题 80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。

线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1 型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6.图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。

四、主要参考书目1、郭耀煌，李军 .运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004 ；2 、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991 。

【篇二：运筹学大纲(13 、 14 级使用)2014.9 】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020 、 381703课程类型：专业必修课或学科必修课总学时： 48 或 32学分：3或2适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期： 3 或 4 或 5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。

运筹学第11讲灵敏度分析1

运筹学第11讲灵敏度分析1


12.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
12 x2 3/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
cj zj
0 0 0 11//84 19//24
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij） 或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及 其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
2 1 1c2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 1 5/ 4 15/ 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
1 c2 0； 1 3c2 0
44
22
cj zj
0
0
0 14 1/44c2
121/
23c2 2
即故当产品Ⅱ的13利 润c在2 [12
,
1→1+△c2
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析增加一个变量 xj 的变化 4. 分析增加一个约束条件的变化
系数矩阵A
5. 分析系数 aij 的变化
第5页
初 始
基变量 基变量 基可
运筹学图解法的灵敏度分析

运筹学图解法的灵敏度分析


B'
B
1
O
C
2
4
6
x1
总结：约束条件中右边系数 b i 的 灵敏度分析
? 当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将 变化；
? 当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。
? 当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； ? 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
交于该顶点的两条直线的斜率即 cj变动范围， cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
? 例：
max F ? 6 x 1 ? 4 x 2 s.t .
2 x 1 ? 3 x 2 ? 10 4 x 1 ? 2 x 2 ? 12 x1 , x2 ? 0
3当目标函数等值线的斜率在变化对原问题的影响20斜率讨论c斜率讨论最优解不变时c斜率20斜率20线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点交于该顶点的两条直线的斜率即c条直线斜率之间变动时原线性规划问题的最优解不变最优值变动c11时对原问题的影响1211121原可行解域为oabc现可行解域为0abc
C
最优生产方案为：
甲生产60，乙生产250；
100
此时，
x1 ? x2 ? 300
总利润为28000元。
D
O
100
200
300
400
50x1 ? 100x2 ? 0
B1变化前后对比：
? b1=300时， ? 最优解为
x1=50,x2=250 ? 最优值为
50*50+100*250
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档

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c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
灵敏度分析(运筹学).ppt

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0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学灵敏度分析

运筹学灵敏度分析

单击此处添加小标题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
单击此处添加小标题
资源价格（元/吨）
单击此处添加小标题
资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学第二章24灵敏度分析

运筹学第二章24灵敏度分析


（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：

将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；


进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
灵敏度分析(图解法)

灵敏度分析(图解法)

18 —
若 c1减少 14 —
12 —
c1x1 Z 16 — x2 = - c + c 2 2
灵敏度分析 —图解法
2x1 + 2x2 18
2x1 + x2 16
10 — B
8— 6—
C
新的最优解
D 4x1 + 6x2 48
| | 10 12 | | | 14 16 18
4—
2— 0
A
| 2
| | 10 12 | | | 14 16 18
A
| 2
| 4
| 6
E
| 8
x1
灵敏度问题及其图解法
• 研究内容：
a 研究线性规划中， ij , bi , c j 的变化对最 优解的影响。
研究方法：
图解法 对偶理论分析
在单纯形表中 进行分析
仅适用于含2个变量 的线性规划问题
灵敏度分析——图解法
线性规划模型 Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 48 2 x1 + 2 x2 18 2 x1 + x2 16 x1、 x2 0
cx
Z
14 —
12 —
灵敏度分析 —图解法
2x1 + 2x2 18
2x1 + x2 16
10 — B
8—
6— 4— 2— 0
C D
新的最优解
4x1 + 6x2 48
| | 10 12 | || 6
E
| 8
x1
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 40x2 = - 34x1 + Z
运筹学第二章灵敏度分析

运筹学第二章灵敏度分析


m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：

运筹学第2章 线性规划的图解法


约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解: x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有可 能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
x1 , x2 ≥ 0
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值
表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
➢ 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
➢ 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
➢ 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件。
➢ 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
11
§2 图 解 法
例2: 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原 料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其 中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的 规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加 工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1 小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨 A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元， 试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力 的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？

运筹学灵敏度分析目标规划


3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变

运筹学复习提纲2017 (1)


设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
§1
人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
10.55 10.8 11 11.1
25 30 15 45
建模：
成本 交货 生产 1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产 需求量 产量 1 2 3 4 5（虚拟） 10.55 10.67 10.79 10.91 0 M 10.8 10.92 11.04 0 M M 11 11.12 0 M M 14 14.12 0 M M M 11.1 0 M M M 14.1 0 25 30 15 45 11 30 32 20 8 28 8 126 126
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型： 目标函数：Max 约束条件：s.t. z = 50 x1 + 100 x2 x1 + 2 x1 + x2 ≤ 300 x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 ,
x2 ≥ 0
§2
对于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 下面通过例1详细 讲解其方法：
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cj变化只影响目标函数等值线的斜率；

线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两
条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析

例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0

上例中，设备台时数的对偶价格=50。
讨论：原料A（b2）的对偶价格
400
2 x 1 x 2 400
原料A的约束条件
B C C’
b2小变动对原问题 不产生影响
300
A 200 100
原料B的约束条件
设备台时的约束条件 100 D 200 D’ 300 400
原料A的 对偶价格 为0
O
50 x1 100 x2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250； 此时， 总利润为27500元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
现提高设备可利用台时数 （b1=300 b1=310)

设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max F 50 x 1 100 x 2 s .t . x 1 x 2 310 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
max s .t .
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（5）当目标函数等值线的斜率 k<k2时，最优解交于C点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
4
6
x1
讨论最优解不变时c1变动的范 围（c2=4不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2 当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 c1 4 2 3
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
8 c1的变动范围为： c1 8 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
2 3
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论最优解不变时c2变动的范 围（c1=6不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2
5 A
2 斜率k 2 2
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
5 A
2 斜率k 2 2 （1）Cj变动不影响可行解域； （2）cj变动将影响目标函数等值线 的斜率，从而可能影响与可行解域 的交点； （3）当目标函数等值线的斜率在 1 和 2 之间变动时，最优解仍在B点；
当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
讨论bi变动带来最优值的变化

例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗 以及资源的限制如下表：
设备 原料A 原料B 甲产品 1 2 0 乙产品 1 1 1 资源限制 300台时 400kg 250kg
F 50 x 1 100 x 2
x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B B’
此时，可行解域为OAB’C’D 最优解为B’点（60，250）
300
A 200 100
§5.1 图解法的灵敏度分析

灵敏度分析的概念和重要性
目标函数中的系数cj的灵敏度分析 约束条件中右边系数bi的灵敏度分析
一、灵敏度分析的概念

灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最
优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、
aij变化时，对最优解产生什么影响。
二、灵敏度分析的重要性

讨论：原料B（b3）的对偶价格
400 A’ A 200 100 D 200 B’
原料A的约束条件
B C
x 2 250
b3变动 会对原问题的 最优解产生 影响
原料B的约束条件
新的 最优解 在B‘点
设备台时的约束条件
O
100
300
400
50 x1 100 x2 0
讨论：b3增加一个单位， 最优值的变化量。
首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确；
其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着 市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的 价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响 这些系数的变化；

有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的
模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精
改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，
变得更小；

如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。
即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更
大；

如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。
练习题
b3=250时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500

b3=251时， 最优解为 x1=49,x2=251 最优值为 50*49+100*251 =27550

所以，原料B的对偶价格=50
几种情况

如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到
5 A’ A 3
（2）原最优解为B点，现最优 解为B‘点。
B’ B
1 C O 2 4 6 x1
总结：约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析

当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将
变化；

当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。

C’ C
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产60，乙生产250； 此时， 总利润为28000元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
B1变化前后对比：
b1=300时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（4）当目标函数等值线的斜率 0>k>k1时，最优解交于A点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 6 c2 2 3
3
B
1
c 2的变动范围为： c2 9 3
2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
总结：cj的灵敏度分析

目标函数中的系数cj变化不影响可行解域；
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5 A’ A 3
4 x1 2 x2 12
确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。
三、目标函数系数cj的 灵敏度分析

例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
图解
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10

b1=310时， 最优解为 x1=60,x2=250 设备台时数增加10台时 最优值为 总利润增加500元 50*60+100*250 =28000

每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润
对偶价格

约束条件常数项中增加一个单位而使得
目标函数值得到改进的数量称之为这个
约束条件的对偶价格。

工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙 产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和 产品乙才能使得获利最多？
数学模型：

设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max s .t . x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0 F 50 x 1 100 x 2