正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题

专业资料

WORD完美格式 下载可编辑 正弦定理和余弦定理的应用举例

考点梳理

1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

2．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

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解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 专业资料

WORD完美格式 下载可编辑 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

考点自测

1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．

解析 记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos

旗开得胜

读万卷书 行万里路 1 必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编Word）

旗开得胜

读万卷书 行万里路 1 一、正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理

内

容 asin A＝bsin B＝csin

C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C

变

形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc

cos B＝c2＋a2－b22ac

cos C＝a2＋b2－c22ab

二、三角形中常用的面积公式

1.三角形中常用的面积公式

(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝12bcsin A＝12acsinB＝12absin C；

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

2.在△ABC中常用结论

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 旗开得胜

读万卷书 行万里路 1 (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin A＋B2＝cos

C2；cos A＋B2＝sinC2.

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A

(7)合比定理：asin A＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R.

(8)在锐角三角形中①A＋B＞π2；②若A＝π3，则π6＜B，C＜π2

正弦定理与余弦定理

一、知识梳理

1．内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC

面积公式:111sinsinsin222ABCSabCbcAacB 在三角形中大边对大角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：RCcBbAa2sinsinsin (解三角形的重要工具)

形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2 (边角转化的重要工具)

形式三：::sin:sin:sinabcABC 形式四：sin,sin,sin222abcABCRRR

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2222cosabcbcA 2222cosbcacaB 2222coscababC(解三角形的重要工具)

形式二： 222cos2bcaAbc 222cos2acbBac 222cos2abcCab

二、方法归纳

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求出角C，再求b、c.

(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况

a=bsinA有一解 b>a>bsinA有两解 a≥b 有一解 a>b有一解

三、例题

例1、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

一、 知识点

1、正弦定理及其变形

2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）

12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）

2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）

3::sin:sin:sinabcABC（）

sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC

2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）

已知a，b和A，求B时的解的情况:

如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA

如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.

3、余弦定理及其推论

2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab

4、余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角；

（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式

（1）高底21ABCS；

（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；

6、三角形中常用结论

（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）

（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA 二、典型例题

题型1 边角互化

[例1 ]在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为

【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7，则cosC=2222abcab=222357235=12