2016-2017年浙江省名校协作体高二下学期联考数学试卷及答案

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（ ） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（ ）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（ ） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（ ）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（ ） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（ ）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（ ） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______． 四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ． （Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学 次命题兼审校：丽水中学 审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ， 所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ． 在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈． 因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=， 则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ， 作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ， 解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =， 又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅， 即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+， 又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+． 则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）． （Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ， 由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥， 又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥． （Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°． 作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ， 所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥， 所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角． 在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=． 所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =． （Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=， 而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−， 所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−． （2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =， 所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上． 综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++， 则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−， 则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++， 所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=， 所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． 所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅． （Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+， 所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥， 又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−， 所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−， 则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ， 所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ， 则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++， 又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =． 同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =． 因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=． 把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞． （Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ， 则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=， 所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+， 因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++， 而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−． 因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=， 把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。

参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D6．C7．B 8．A二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每空4分，共36分） 9．433，12 10．12，31411．0，[)3,+∞ 12．2，43y x =． 13．22314.21415.3三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()2cos cos cosC 2cos2Ca Bb A a a +=-得： ()2sin cos sin cos cosC sin 2cos12C A B B A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即：()sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C +=…………4分 即：sin cos sin cos C C A C =…………6分故2C A C π==或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形…………8分 （2）若23B π=，则6A C π==，设2c m =，则23b m = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=…………10分故7=71m m =，…………12分1sin 32ABC S AC AB A ∆=⋅=…………14分17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E 点，连接DE ，PE .PAB ∆ 为等边三角形，AB PE ∴⊥，CA AB ∴⊥，AB DE ∴⊥，所以AB PDE ⊥平面，所以AB PD ⊥，………3分且PED ∠为二面角P AB D --的平面角，由余弦定理可知222222+(23)23cos 232232PE DE PD PD PED PE DE -+-∠===⋅⋅⋅，得到22PD =， 而22BD =，满足222BD PD PB +=，所以PD BD ⊥，………………………6分由PD BCPD ABC PD AB⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面，又因为PD PBC ⊂平面，所以PBC ABC ⊥平面平面………………………7分（Ⅱ）BD PAD ⊥ 平面，过N 点作//NN AD '交AD 于N '点，连接NM ，N M '.所以NN PAD '⊥平面，且322NN '=，………………………10分 则NMN '∠为直线NM 与平面PAD 所成的角，且sin NN NMN NM''∠=………12分 而33132N M '≤≤，所以6sin 3θ≤，所以3cos 3θ≥…………………15分 方法2：建立空间直角坐标系，酌情给分. 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）当2n =时，22221222324621a a --=+=+=- , 当3n =时，3233132339182731a a --=+=+=- , …………2分 因为21231n n n na a n n --=+- ,所以21231n n n a a n n n --=+- ,当2n ≥时，由累加法得 22122323 (231)n n a a n --=+⨯+⨯++⨯, 因为11a =,所以2n ≥时， 有()112131313n n na n ---=+=-，即()132n n a n n -=≥ ，又1n =时，111131a -== ， 故()13n n a n n N -*=∈. …………7分 （Ⅱ）n N *∈时,131n n n b a n-==,则21111...232n n S =++++. …………8分记函数()21111...232n n f n S n n ⎛⎫=-=++++- ⎪⎝⎭，所以()()111111...1232n f n n +⎛⎫+=++++-+ ⎪⎝⎭, 则()()111121 (1102122)221n n n n n f n f n +⎛⎫+-=+++-<-< ⎪+++⎝⎭,所以()()1f n f n +<.………………………10分 由于()121111102f S ⎛⎫=-=+-> ⎪⎝⎭, 此时121S >，()2211122120234f S ⎛⎫=-=+++-> ⎪⎝⎭,此时222S >,……………12分 ()321111111331302345678f S ⎛⎫=-=+++++++-< ⎪⎝⎭,此时323S <,由于()()1f n f n +<,故3n ≥时，()()30f n f ≤<，此时2n S n <. 综上所述，当1,2n =时,2n S n >;当()3n n N *≥∈时,2n S n <. ………………15分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）2214x y +=…………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1AT 的方程为：(2)6my x =+， 直线2A T 的方程为：(2)2my x =-， 11112221111(2)(2)66(2)(2)144m m y x y x x x x y y ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩，因为12x ≠-，所以得到2121829m x m -=+，从而1269my m =+，即2221826(,)99m m M m m -++，同理222222(,)11m m N m m --++，……7分 （1）当12x x =时，则由22221822291m m m m --=++，及0m >，解得3m =，直线MN 方程为1x =，此时32OMN S ∆=.……………………9分（2）当12x x ≠时，直线MN 方程为，232222222422262222262291()()18222119191m mm m m m m m m y x x m m m m m m m m -+-+-+++=-=---++-+-++，整理得3426(1)9m my x m+=--，所以直线MN 恒过定点(1,0)G ，……………11分 222222322422122623919134()3(1)(9)4129(9)(1)101122910OMN OGM OGN m m m m m m m m m m m m m m m S m m m m m m m S S OG y y ∆∆∆--+++++++++=+=-==+===++++++ …………………………………………………13分12x x ≠ ，0,3m m ∴>≠且令323t m m =+>，则2444344422323OMN t S t t t ∆==<=+++， 综上（1）（2）max 3()2OMN S ∆=……………………………………15分 20．（本题满分15分） 解：(Ⅰ)()f x '=21()g x x '=-，=g (1)1k '=-切，而 3(1)2f =， 所以在处的切线方程为：52y x =-+，………………………3分(Ⅱ) 所以()f x =x xln ，因为()f x '=2ln 1x x -=0得x e =可以得出:（0，e ）是递增区间；(e ,)∞+是递减区间……………………5分 所以当n e >时()(1)g n g n >+,即ln ln(1)1n n n n +>+1(1)n n n n +∴>+ 即111(1)nn n n +>+112017201620172016∴<…………………………7分（Ⅲ）由题意得上恒成立，令()ln 2x h x b x =-， ()y f x =1x =],1[2ln e x x b m 在-<则2()(0),2b xh x x x-'=>则()h x 在(0,2)b 上是增函数，在(2,)b +∞上是减函数， ………………………8分（1）当上是减函数， 故………………9分 （2）当上是减函数， 又 故①当②当………………11分（3）当 ………………12分综上，当 故当…………14分 又因为对于任意正实数b ，不等式 ………………15分],1[)(,210,120e x h b b 在时即≤<≤<;2)()(mineb e h x h -==],2[,]2,1[)(,221,221e b b x h eb b 在上是增函数在时即<<<<,21)()1(,2)(,21)1(b e e h h e b e h h --=--=-=;2)()(,2121min e b e h x h e b -==-<<时;21)1()(,221min -==<<-h x h e b e 时;21)1()(,],1[)(,2,2min -==≥≥h x h e x h e b e b 故上是增函数在时即时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤<-=∈21,21210,2)(,],1[mine b e b e b x h e x 时.21,21;2,210-<->-<-≤<m e b e b m e b 时当时.2,],1[2)(em e m x x bf -≤+>所以上恒成立在。

参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每空4分，共36分） 9．433，12 10．12，31411．0，[)3,+∞ 12．2，43y x =． 13．22314.21415.3三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()2cos cos cosC 2cos 2Ca Bb A a a +=-得： ()2sin cos sin cos cosC sin 2cos12C A B B A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即：()sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C +=…………4分 即：sin cos sin cos C C A C =…………6分故2C A C π==或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形…………8分 （2）若23B π=，则6A C π==，设2c m =，则23b m = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=…………10分故7=71m m =，…………12分1sin 32ABC S AC AB A ∆=⋅=…………14分17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E 点，连接DE ，PE .PAB ∆为等边三角形，AB PE ∴⊥，CA AB ∴⊥，AB DE ∴⊥，所以AB PDE ⊥平面，所以AB PD ⊥，………3分且PED ∠为二面角P AB D --的平面角，由余弦定理可知222222+(23)23cos 232232PE DE PD PD PED PE DE -+-∠===⋅⋅⋅，得到22PD =， 而22BD =，满足222BD PD PB +=，所以PD BD ⊥，………………………6分 由PD BCPD ABC PD AB⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面，又因为PD PBC ⊂平面，所以PBC ABC ⊥平面平面………………………7分 （Ⅱ）BD PAD ⊥平面，过N 点作//NN AD '交AD 于N '点，连接NM ，N M '.所以NN PAD '⊥平面，且322NN '=，………………………10分 则NMN '∠为直线NM 与平面PAD 所成的角，且sin NN NMN NM''∠=………12分 而33132N M '≤≤，所以6sin 3θ≤，所以3cos 3θ≥…………………15分 方法2：建立空间直角坐标系，酌情给分. 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）当2n =时，22221222324621a a --=+=+=-, 当3n =时，3233132339182731a a --=+=+=-, …………2分 因为21231n n n na a n n --=+-,所以21231n n n a a n n n --=+-,当2n ≥时，由累加法得22122323 (231)n n a a n --=+⨯+⨯++⨯, 因为11a =,所以2n ≥时， 有()112131313n n na n ---=+=-，即()132n n a n n -=≥，又1n =时，111131a -==， 故()13n n a n n N -*=∈. …………7分（Ⅱ）n N *∈时,131n n n b a n-==,则21111...232n n S =++++. …………8分记函数()21111 (232)n n f n S n n ⎛⎫=-=++++- ⎪⎝⎭， 所以()()111111...1232n f n n +⎛⎫+=++++-+ ⎪⎝⎭, 则()()111121...1102122221n nn n n f n f n +⎛⎫+-=+++-<-< ⎪+++⎝⎭, 所以()()1f n f n +<.………………………10分 由于()121111102f S ⎛⎫=-=+-> ⎪⎝⎭, 此时121S >，()2211122120234f S ⎛⎫=-=+++-> ⎪⎝⎭,此时222S >,……………12分 ()321111111331302345678f S ⎛⎫=-=+++++++-< ⎪⎝⎭,此时323S <,由于()()1f n f n +<,故3n ≥时，()()30f n f ≤<，此时2n S n <. 综上所述，当1,2n =时,2n S n >;当()3n n N *≥∈时,2n S n <. ………………15分 19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）2214x y +=…………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A T 的方程为：(2)6my x =+， 直线2A T 的方程为：(2)2my x =-， 11112221111(2)(2)66(2)(2)144m m y x y x x x x y y ⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-+⎪⎪=-+=⎪⎪⎩⎩，因为12x ≠-，所以得到2121829m x m -=+，从而1269my m =+，即2221826(,)99m m M m m -++，同理222222(,)11m m N m m --++，……7分 （1）当12x x =时，则由22221822291m m m m --=++，及0m >，解得3m =，直线MN 方程为1x =，此时32OMN S ∆=.……………………9分 （2）当12x x ≠时，直线MN 方程为，232222222422262222262291()()18222119191m mm m m m m m m y x x m m m m m m m m -+-+-+++=-=---++-+-++， 整理得3426(1)9m my x m +=--，所以直线MN 恒过定点(1,0)G ，……………11分 222222322422122623919134()3(1)(9)4129(9)(1)101122910OMN OGM OGN m m m m m m m m m m m m m m m S m m m m m m m S S OG y y ∆∆∆--+++++++++=+=-==+===++++++ …………………………………………………13分12x x ≠，0,3m m ∴>≠且令323t m m =+>，则2444344422323OMN t S t t t ∆==<=+++， 综上（1）（2）max 3()2OMN S ∆=……………………………………15分 20．（本题满分15分） 解：(Ⅰ)()f x '=21()g x x '=-，=g (1)1k '=-切，而 3(1)2f =， 所以在处的切线方程为：52y x =-+，………………………3分(Ⅱ) 所以()f x =x x ln ，因为()f x '=2ln 1xx-=0得x e =可以得出: （0，e ）是递增区间；(e ,)∞+是递减区间……………………5分 所以当n e >时()(1)g n g n >+,即ln ln(1)1n n n n +>+1(1)n n n n +∴>+ 即111(1)nn n n +>+112017201620172016∴<…………………………7分（Ⅲ）由题意得上恒成立，令()ln 2x h x b x =-， ()y f x =1x =],1[2ln e x x b m 在-<则2()(0),2b xh x x x-'=>则()h x 在(0,2)b 上是增函数，在(2,)b +∞上是减函数， ………………………8分（1）当上是减函数， 故………………9分 （2）当上是减函数， 又 故①当②当………………11分（3）当 ………………12分综上，当 故当…………14分 又因为对于任意正实数b ，不等式 ………………15分],1[)(,210,120e x h b b 在时即≤<≤<;2)()(mineb e h x h -==],2[,]2,1[)(,221,221e b b x h eb b 在上是增函数在时即<<<<,21)()1(,2)(,21)1(b e e h h e b e h h --=--=-=;2)()(,2121min e b e h x h e b -==-<<时;21)1()(,221min -==<<-h x h e b e 时;21)1()(,],1[)(,2,2min -==≥≥h x h e x h e b e b 故上是增函数在时即时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤<-=∈21,21210,2)(,],1[mine b e b e b x h e x 时.21,21;2,210-<->-<-≤<m e b e b m e b 时当时.2,],1[2)(em e m x x bf -≤+>所以上恒成立在。

2016-2017学年金华十校第二学期期末调研考试高二数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设（为虚数单位），则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】..故选C.2.不等式的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，即不等式的等价条件是，则不等式的一个充分不必要条件一个是的一个真子集，则满足条件是，故选：A.3.在的展开式中，含的项的系数为（）A. 20B. 40C. 80D. 160【答案】D【解析】∵，∴，令，解得，∴含的项的系数为.故选：D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确．．．的是（）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】由a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中,若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则由线面平行的判定定理得b∥α，故A正确；在B中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中,若a∥α，α⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中,若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α，故D错误。

故选：D.5.已知双曲线的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为，则其焦点在x轴上，直线与x轴交点的坐标为，则双曲线的焦点坐标为，则有，解可得，，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，故选：B.6.用数学归纳法证明不等式时，从到不等式左边增添的项数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时,不等式左边为,共有项，当时,不等式坐左边为,共有项，∴增添的项数.故答案为：C.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B. 128C. 252D.【答案】B【解析】由三视图得到几何体是底面为直角三角形的三棱锥,高为8,表面积为；故选：B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8.五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，（红包中金额相同视为相同红包），则两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有（）A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C【解析】A，B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，在每类情况中,获奖的情况有：种，∴由乘法原理得：A.B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有：3×12=36种。

绝密★启用前【全国市级联考】浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末教学质量检测数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：75分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、圆（x+2）2+y 2=4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=9的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离2、设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时，（ ）A ．λ先变小再变大B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小D ．λ是一个定值3、设F 为双曲线（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，B 两点，OA ⊥AB ，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．4、设函数f （x ）=2017x+sin 2017x ，g （x ）=log 2017x+2017x ，则（ ） A ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≥g （x ）B ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＞g （x ）C ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≤g （x ）D ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＜g （x ）5、设A ，B 是函数f （x ）=sin|ωx|与y=﹣1的图象的相邻两个交点，若|AB|min =2π，则正实数ω=（ ）A ．B ．1C ．D ．26、已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若,则实数对（x ，y ）可以是（ ）A ．B ．C ．D ．7、设函数f （x ）=x 2+bx+c （b ，c ∈R ），若0≤f （1）=f （2）≤10，则（ ） A ．0≤c≤2 B ．0≤c≤10 C ．2≤c≤12 D ．10≤c≤128、在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，以OO 1所在直线为轴旋转线段BC 1形成的几何体的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9、若实数x ，y 满足不等式组，则z=2x ﹣y 的最小值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣210、下列函数是奇函数的是（ ）A ．f （x ）=x 2+2|x|B ．f （x ）=x•sinxC ．f （x ）=2x +2﹣xD ．11、若x ∈R ，则“x ＞1”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12、若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m B ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α13、函数f （x ）=ln （x 2﹣x ）的定义域为（ ）A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）14、sin15°cos15°=（ ）A ．B ．C ．D ．15、下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．16、设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos ＜，＞=（ ）A ．B ．C ．D ．17、设d 为点P （1，0）到直线x ﹣2y+1=0的距离，则d=（ ）A ．B ．C ．D ．18、设集合A={x|x≤3，x ∈N *}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（ ） A ．{3} B ．{2，3} C ．{0，2，3} D ．{﹣2，0，2}第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）19、在△ABC 中，∠ABC=，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ．若平面ABC 与平面α所成的二面角为，则sinθ=_____．20、设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S n =2a n ﹣n ，则=_____．21、在平行四边形ABCD 中，AD=，AB=2，若，则=_____．22、设抛物线x 2=4y ，则其焦点坐标为_____，准线方程为_____．三、解答题（题型注释）23、设函数f （x ）=，g （x ）=a （x+b ）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f （x ）•g （x ）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y= 在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h （x ）=|af 2（x ）﹣ |，若h （x ）的最大值为2，求a+b 的取值范围．24、如图，P 是直线x=4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B （1，0），直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A （﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l 交直线x=4于点Q ，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．25、设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0， ]．（1）若Q ，求cos （α﹣）的值；（2）设函数f （α）=sinα•（ ），求f （α）的值域．参考答案1、B2、D3、C4、D5、B6、D7、C8、C9、D10、D11、A12、D13、C14、A15、C16、D17、B18、B19、20、21、22、23、（1）见解析（2）单调递增（3）24、（1）见解析（2）见解析25、（1）（2）【解析】1、试题分析：由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。

参考答案一、选择题：（每小题4分，共40分） 12 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C A D A D C B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11、 (0,1) 1y =- 12、19 10013、223 2 14、225+ 2315、120o 16、22(1)(2)4x y -+-= 17、5924a -<<-或914a -<<- 三、解答题：本大题共5题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

218.:(1 )()2cos 3sin(2)13444f πππ=+⨯=+解 …………6分 (2)()1cos 23sin 22sin(2)1106f x x xx π=++=++ 分 11T π∴= 分 3222262k x k πππππ+≤+≤+ 263k x k ππππ+≤≤+ ()f x ∴的单调递减区间为 ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦…………14分19. （Ⅰ） 连接，，在平行四边形 中， 因为 为 的中点，所以为 的中点． 又 为 的中点，所以//PB MO因为PB ACM ⊄平面，PB ACM ⊂平面，所以//PB ACM 平面．…………7分 （Ⅱ）取的中点 ，连接 ，． 因为 为 的中点，所以//MN PO ，且． 由,PO ABCD ⊥平面得,MN ABCD ⊥平面所以MAN ∠是直线与平面 所成的角．…………11分在Rt DAO ∆中，，， 所以 ，从而 ． 在Rt ANM ∆中，145tan 554MN MAN AN ∠===， 即直线 与平面 所成角的正切值为455．…………15分 20．解：（1）()1'x f x a e -=⋅Q ，对任意的1,0x x R e -∈>∴当0a >时，()'0f x >，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()'0f x <，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a =时，()0f x =为常数函数，无单调性。

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.抛物线24x y =的准线方程为（）A.=2y -B.2x =- C.1y =- D.=1x -【答案】C 【解析】【分析】求出焦参数p ，根据焦点的位置确定准线方程．【详解】由题意焦点在y 轴正半轴，24p =，2p =，所以准线方程为1y =-．故选：C ．2.数列1，53，52，…的通项公式可能是（）A.211n n a n +=+ B.211n n a n +=+ C.221n n a n =- D.221n n a n -=【答案】A 【解析】【分析】代入即可结合选项逐一排除.【详解】当2n =时，对于B 中2221352153a +==≠+，当3n =时，对于C 中2339523152a ==≠⨯-，对于D 中3223155392a ⨯-==≠，四个选项中只有211n n a n +=+同时满足11a =，253a =，352a =.故选：A3.已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12//l l ，则m 的值为（）A.1B.－3C.1或－3D.－1或3【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行得到方程，求出3m =-或1，检验后得到答案.【详解】由题意得()230m m +-=，解得3m =-或1，当3m =-时，直线1l ：310x y -++=，2l ：390x y --=，两直线平行，满足要求.当1m =时，直线1l ：10x y ++=，2l ：10x y ++=，两直线重合，舍去，故选：B4.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（）A.若//m n 且n ⊂α，则//m αB.若//m α且n ⊂α，则//m nC.若m α⊥且n ⊂α，则m n ⊥D .若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定和性质依次判断各选项.【详解】对于A ，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，故A 错误；对于B ，若//m α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 异面，故B 错误；对于C ，由线面垂直的性质定理可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能在β内，可能与β平行，可能与β相交，故D 错误.故选：C.5.已知点()4,2P -和圆Q ：()()224216x y -+-=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得以PQ 为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案.【详解】由题可得()4,2Q ，则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为()0,2，半径为4，则PQ 为直径的圆的方程为：()22216x y +-=.将两圆方程相减可得公共弦方程为：2x =.则圆Q 圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q 半径为4，则公共弦长为：=.故选：D6.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A.米 B. C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --.由题可得()10B a --，代入方程可得a ，后可得x ，即可得答案.【详解】设双曲线方程为()222210,0y x a y a a-=><，如图建立直角坐标系.水面上升5米后，设水面宽为CD ，设D (),5x a --，其中0x >.又由题可得()10B a --，代入双曲线方程可得：()()222221050011050020a a a a a a+-=⇒+-=⇒=，则D (),25x -.将D 点坐标代入双曲线方程可得：2625115400400x x -=⇒=，则D ()15,25-.又由对称性可得()15,25C --，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D7.在正三棱台111ABC A B C -中，111132A B AA AB ===，11A B AB O ⋂=，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，根据向量法求异面直线所成角.【详解】取AB 中点1O ，取11A B 中点Q ，连接1QO ，O 在1QO 上，且1332QO =，因为在正三棱台111ABC A B C -中，所以1O C AB ⊥，111QC A B ⊥，又111132A B AA AB ===，113333,2O C QC ==，在梯形11O CC Q 中，过点1C 作11C R O C ⊥，垂足为R ，过点Q 作1QS O C ⊥，垂足为S ，过点O 作1OT O C ⊥，垂足为T ，所以//OT QS ，则1111OT OO O T QSO QO S==，设1,C R h RC x ==，在1Rt C RC 和1Rt QSO 中，2222221111CC RC C R QS QO O S -===-，即22223333322x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3x =6h =，因为1A OQ 与1BOO 相似，所以11112OQ A Q OO O B==，即112623,3333OT QS O T O S ====，如图，分别以11,O B O C 所在直线为x 轴，y 轴，过1O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，11A B AB O ⋂=，所以()()(13263,0,0,,0,,0,,33B C C O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(13,,0,,33BC CO ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设异面直线OC 与1BC 所成角为α，则111cos cos ,3BC COBC CO BC COα⋅===，故选：B.8.如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A.87B.88C.89D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列、放缩法、裂项求和法等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意知，1122311n n OA A A A A A A -===⋅⋅⋅==，且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A -△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a -=+，所以数列{}2n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()20242111111,1ni ia n n a ==+-⨯==∑，1111++<++121=+++1189=<=，11+++21=++288==，即188891<++，所以所求整数部分都是88.故选：B.【点睛】方法点睛：定义法：若1n n a a +-=常数，则{}n a 是等差数列；等差中项法：若122n n n a a a ++=+，则{}n a 是等差数列.数列求和的方法可以考虑等差数列的前n 项和公式，也即公式法，也可以考虑利用裂项求和法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分.9.已知向量()1,2,0a =- ，()2,4,0b =-，则下列正确的是（）A.//a bB.a b⊥ C.2b a= D.a 在b方向上的投影向量为()1,2,0-【答案】ACD 【解析】【分析】ABC 选项，根据2b a =得到//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，利用投影向量的求解公式得到答案.【详解】ABC 选项，由题意得2b a =，故//a b 且2b a = ，AC 正确，B 错误；D 选项，a 在b方向上的投影向量为()01,2,a b b b b-⋅--⋅⋅=-，D 正确.故选：ACD10.若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（）A.数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B.数列{}lg n a 是等差数列C.若{}n a 是递减数列，则01q <<D.若13n n S r -=-，则1r =【答案】ABC 【解析】【分析】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，利用等比、等差数列的定义可判定A 、B ，由10n n a a +-<，可求q 的范围，判断C ，由n S 求出1a ，再由正项数列的条件，得r 的范围，判断D .【详解】设正项等比数列{}n a 的首项为1a ，则通项公式11n n a a q-=，则()2212111n n a a q -=，所以()2221122212111111n n n n a a q q a a q +-==，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为211a ，公比为21q 的等比数列，A 正确；则()1lg 1lg lg n a n q a =-+，所以数列{}lg n a 是以1lg a 为首项，以lg q 为公差的等差数列，故B 正确；若{}n a 是递减数列，则()110n n n n n a a a q a a q +-=-=-<，因为0n a >，则0q >，则01q <<，C 正确；若13n n S r -=-，则1110a S r ==->，则1r <，D 错误.故选：ABC11.如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A.A ，B 两点的纵坐标之和为常数B.在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>︒C.1,,A O B 三点共线D.在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：设出直线方程，与抛物线联立，通过韦达定理来判断；对于B ：通过计算PA PB ⋅的正负来判断；对于C ：通过计算1,OA OB k k 是否相等来判断；对于D ：求出重心，代入抛物线方程，看方程是否有解来判断.【详解】对于A ：设直线AB 的方程为2px ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pty p --=，所以122y y pt +=，不为常数，A 错误；对于B ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，122y y pt +=，212y y p =-，则()()11221212,,2222p p p p PA PB x y m x y m x x y m y m⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+-=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()221212121224p p x x x x y y m y y m =++++-++()()()221221212122424y y p p t y t p y y m y y m p =+++++-++⎡⎤⎣⎦42222222424p p p pt p p ptm m p ⎡⎤=+++--+⎣⎦()222220p t ptm m pt m =-+=-≥则90APB ∠≤ ，故在直线l 上不存在点P ，使90APB ∠>︒，B 错误；对于C ：由题可得112212,2OA OB y y yk k p x p ===--，则1121121121112222OA OB p py y ty y y py x y k k x p px px ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭-=+==()221212112220p y y ty y p t p tpx px ++-===，所以1=OA OB k k ，即1,,A O B 三点共线，C 正确；对于D ：设,2p P m ⎛⎫-⎪⎝⎭，又()212122x x t y y p pt p +=++=+，则APB △的重心坐标为12122,33p x x y y m ⎛⎫+- ⎪++ ⎪⎪⎝⎭，即2222,33p pt pt m ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得22222233p pt pt m p ++⎛⎫=⋅⎪⎝⎭整理得22224830m ptm p t p +--=，()222222221648348120p t p t p p t p ∆=++=+>，所以在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上，D 正确.故选：CD12.在正三棱锥S ABC -中，,,SA SB SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（）A.53°B.60°C.75°D.89°【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BM 与平面α所成角的正弦，求其范围，然后比较角的大小即可.【详解】因为,,SA SB SC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则)()(2,,,0,0,2AB C M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭则(,0,2AC BM ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设面α的法向量为(),,n x y z =，则0n AC ⋅=+=，取1x =可得()1,,1n y =，所以sin BM nBM nθ⋅==⋅ ，令12y t -=，则12y t =+==当0=t时，0=，sin 0θ=，则0θ=，当0t ≠时，=又229113188142399t t t ⎛⎫⎛⎫++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=，所以sin θ≤=又sin 602︒=<，()1sin 75sin 304522224+︒=︒+︒=⨯则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是AB.故选：AB.【点睛】方法点睛：对于线面角，可通过建立空间直角坐标系将其表示出，然后求其范围.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______.【答案】6【解析】【分析】先求出{}n a 的通项公式，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，其前n 项积n T 最大，得解.【详解】由题意可得11632n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，*N n ∈，12n n T a a a ∴=⋅L ，且0n a >，当111n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，n T 最大，即11631216312n n-⎧⎛⎫⨯≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6n =.故答案为：6.15.已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______.【答案】32π9##32π9【解析】【分析】画出圆锥的轴截面后进行分析，注意利用三角形面积公式与内切圆半径的关系()12S a b c r =++，然后利用圆锥体积公式即得.【详解】圆锥的轴截面如图所示：设该圆锥的底面直径为6x ，则底面半径为3x .因为底面直径与母线长之比为6:5，所以母线长5x ，所以该圆锥的高4h x ==,因为内切球的半径为1，根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为()1164556122x x x x x ⨯⨯=++⨯，解得23x =，所以圆锥的底面半径为2，高为83，所以此圆锥的体积211832ππ23339V Sh ==⨯⨯=.故答案为：32π9.16.已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______.【答案】43##113【解析】【分析】先设(),P x y ，根据3PA PB =列出方程，得到222502x ax y a -++=，联立椭圆方程得到53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，作出辅助线，得到tan 3APD ∠=，1tan 3BPD ∠=，利用正切的差角公式求出答案.【详解】不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa -=>，A ，B 为左右顶点.设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=-+，化简得：222502x ax y a -++=，则222222502x y a x ax y a ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得5434x a y a⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以53,44P a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，不妨设P 在第一象限，作PD x ⊥轴于D ，则34PD a =，544a a BD a =-=，94AD AB BD a =+=，故94tan 334a AD APD a PD ∠===，14tan 334a BD BPD a PD ∠===，()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯.故答案为：43四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749=S ，59a =.（1）求n S ；（2）若3S 、118S S -、k S 成等比数列，求k 的值.【答案】（1）2n S n =（2）19k =【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得到方程组，解得1a 、d ，即可求出通项公式与n S ；（2）由（1）可得3S 、118S S -、k S 的值，再根据等比中项的性质得到方程，求出k .【小问1详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749=S ，59a =，所以715176749249S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-，则()21212n n n S n +-==.【小问2详解】由（1）可知2339S ==，11857S S -=，2k S k =，又3S 、118S S -、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S -=⋅，即22579k =⨯，解得19k =或19k =-（舍去），19k ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A -，()2,6B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）已知l ：()()()131510m x m y m ++--+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.【答案】（1）()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）（2）35m =或3m =【解析】【分析】（1）方法一：设出圆心(),a b ，根据CA CB =和圆心在直线25y x =+上得到方程组，求出0a =，5b =，得到圆心和半径，得到答案；方法二：求出AB 的中垂线方程，联立25y x =+得到圆心坐标，进而得到半径，得到圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出实数m 的值.【小问1详解】方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则=，即250a b +-=，解得0a =，5b =，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =-+.则2525y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C 的半径r AC ==，所以圆C 的方程是()2255x y +-=（或2210200x y y +-+=）.【小问2详解】设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d ==，平方整理后可得251890m m -+=，解得35m =或3m =.19.如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =.（1）求证：1BC AA ⊥；（2）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，即可证明AM BC ⊥、1A M BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1AA M ，即可得证；（2）解法一：连接MN ，1A N ，利用余弦定理求出AMN ∠，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法二：连接MN ，利用余弦定理求出AMN ∠，作MF AN ⊥于F ，连接BF ，即可得到BFM ∠为二面角B AN M --的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ，∵三棱柱111ABC A B C -中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AB A AC ∠=∠，∴11A AB A AC ≌△△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，1,A M AM ⊂平面1AA M ，∴BC ⊥平面1AA M ，又1AA ⊂平面1AA M ，∴1BC AA ⊥.【小问2详解】方法一：连接MN ，1A N ，在AMN 中，13AN =，3AM =2MN =，所以222cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，则150AMN ∠=︒，显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，则1//MA NA ，在平面1NMAA 中，过点M 作1MD A N ⊥交1A N 于点D ，则DM AM ⊥，则60NMD ∠=︒，所以sin 301DM MN =︒=，如图建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B，()N ，所以)1,0BA =-，()AN =-，设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，则0n BA y n AN z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(n =，又平面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,4n m n m n m ⋅==，所以平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值为34.方法二：显然1//MN BB 且1MN BB =，11//BB AA 且11BB AA =，所以1MN AA //且1MN AA =，所以四边形1NMAA 为平行四边形，连接MN ，在AMN中，AN =，AM =2MN =，即2223cos 22AM MN AN AMN AM MN +-∠==-⋅，即150AMN ∠=︒.作MF AN ⊥于F ，连接BF .因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，,BC MF ⊂平面BMF所以AN ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M --的平面角.在AMN 中，11sin15022AN FM AM MN =︒，解得13FM =.则BF =，所以cos 4FM BFM BF ∠==.所以平面1A AN 与平面ANB的夹角的余弦值为4.20.已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，求证：直线l 过定点.【答案】（1）2y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义与点()0,1A x 在抛物线C 上列式求解即可；（2）方法一：分直线斜率存在于不存在两种情况，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而表达12k k ⋅再化简即可；方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，代入1212k k ⋅=-化简，结合直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--即可.【小问1详解】由题意得：0052421p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得0121p x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或0214p x =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =.【小问2详解】方法一：①当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得20ky y m -+=，则140km ∆=->，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y --⋅=⋅==--+++++112k m k ==-++，整理得310m k ++=，所以13m k =--，所以直线l ：()1331y kx k k x =--=--，所以直线l 过定点()3,1-.②当直线l 斜率不存在时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则1211111112k k m m m --⋅=⋅==----，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1-在直线l 上.综上：直线l 过定点()3,1-.方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t --⋅=⋅==---++，则()12123t t t t =--+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t --=--，则()()12122112211221311131t t t t y x x x t t t t t t t t t t --+=+=+=--+++++，所以直线l 过定点()3,1-.21.已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na pa n a +-=+-∈N .（1）若0p =，求数列{}3nn a ⋅的前n 项和n S ；（2）若1p =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）1321344n n n S ++=-+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列{}n a 递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列{}3nn a ⋅的前n 项和；（2）若1p =，可得()111n n n a a a +-=-，从而111111n n n a a a +=---，利用裂项相消法推导出前n 项和为n T ，再由n T 的单调性可证明不等式成立.【小问1详解】当0p =时，则111n na a +-=，得11n n a a +-=，所以11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.所以()2111n a n n =+-⨯=+，则()313nnn a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +-=+++++-+⋅ ()()21131361313n n n -+⨯-=+-+⋅-，所以1321344n n n S ++=-+⋅.【小问2详解】当1p =时，由111n n na a a +-=-，得211n n n a a a +=-+，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=->，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +-=-，可得()111n n n a a a +-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以1111n n T a +=--，易知1111n a +⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=-≤-<--，即：112n T ≤<.【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，利用裂项相消法求和.22.已知离心率为2的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B .（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，的取值范围.【答案】（1）22143x y -=（2）,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆与双曲线的基本量求解即可；（2）方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，联立直线与双曲线的方程，结合()00,P x y 在双曲线上，化简可得104x x =，同理04Q x x =，代入20Q x x λ=化简，结合双曲线方程可得233,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠代入化简可得=，再根据102λ<<求解范围即可；方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，联立方程得出韦达定理，再根据P ，A ，D 三点共线，P ，B ，E 三点共线，列式化简可得002222x m m x --=++，进而可得02x λ=，结合双曲线方程可得2,P λλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再根据正弦定理，结合sin sin BDP ADB ∠=∠=再根据102λ<<求解范围即可.【小问1详解】由题意得：22222c a c a b a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得b =所以双曲线1C 的方程为22143x y -=.【小问2详解】方法一：设直线AP ：()0022y y x x =++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x ⎡⎤+++-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，得：()()220012200161222324y x x x y-+-=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y -=，即22004312y x =-，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--====+++++-，即104x x =.同理设直线BP ：()0022y y x x =--，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =.因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=.把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠.12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，消x 得：()2223463120t y tmy m +++-=，所以122634tm y y t -+=+，212231234m y y t -=+，得()2121242m y y y y mt-=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =--，两式相除得()()1202102222y x x y x x --=++，而()()()()()()()()()()()()2121121212122121122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y-++--+-+-===+++++-+++()()()()()()121222222222m m y m y m mm m y m y ⎡⎤-++--⎣⎦==+⎡⎤+++-⎣⎦.因为20Q x x λ=，所以20m x λ=.因为002222x m m x --=++，所以2002002222x x x x λλ--=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ-=，解得033y λ=，则点2,P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.设DBP 与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=︒，所以sin sin BDP ADB ∠=∠，12BP r r AB===因为102λ<<，所以12λ>13,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点晴：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，注意判别式的判断;（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +，12x x （或12y y +，12y y ）的形式；。

浙江省名校协作体2016-2017学年高二第一学期联考数学试题一、选择题:共8题1．函数的定义域为A。

B。

C. D.【答案】C【解析】本题主要考查函数的定义域。

依题意，要使函数有意义，则,解得，故选C。

2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】本题主要考查诱导公式及三角函数图像.由，则只需将函数的图象向左平移个单位，故选D.3．若,则A。

B。

C。

D。

【答案】C【解析】本题主要考查对数及对数函数。

由，则函数在上为增函数,故，故A错误;函数在(0，+∞)上为减函数,故,故，即；故B错误；−,故，即,即，故C正确;，且，,即,即。

故D错误；故选C。

4．若正数满足，则的最小值为A.B。

C。

D。

【答案】C【解析】本题主要考查基本不等式。

依题意，，则,当且仅当即时取等号，故选C.5．方程共有几个不同的实根A。

B. C。

D.无数多个【答案】B【解析】本题主要考查函数与方程.依题意,由方程得，设，由均递减，则递减,当时，,当时，，故函数有唯一零点，即方程有唯一实根，故选B。

6．设等差数列的前项和为,若,，则中最大的是A.B。

C。

D.【答案】C【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及数列求和.依题意，由，，得即，得,故==，则根据二次函数得对称轴为20，故，最大.故选C。

7．已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调,则的最大值为A。

12 B.11 C.10 D。

9【答案】B【解析】本题主要考查三角函数性质.依题意，为的零点，为图像的对称轴，则,即，即，,即为正奇数,若在单调则，即,得，当时，，,由，得,此时在单调,满足题意故的最大值为11，故选B。

8．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若均是、、的一个周期，则也均是、、的一个周期，③若、、均是奇函数,则、、均是奇函数，下列上述命题成立的个数为A。

2016-2017学年浙江省温州市八校联考高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（4分）已知集合P={x|x2＞2}，Q={0，1，2，3}，则（∁R P）∩Q=（）A．{0，1}B．{0}C．{2，3}D．{1，2，3}2．（4分）已知，0＜α＜π，则sin2α的值等于（）A．B．C．D．3．（4分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．（4分）已知单位向量和满足，则与的夹角为（）A．B．C． D．5．（4分）已知m、n为空间两条不同直线，α、β、γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．（4分）设正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值7．（4分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与（x﹣2）2+（y﹣4）2=9相外切，若过点P（﹣1，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当∠ACB最小时，弦AB的长为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若P点的横坐标为，f（）=，PR⊥QR，则函数f（x）的解析式可以是（）A． B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）=x（1+|x|），设关于x的不等式f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，若，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．C．D．10．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（）A．2πB．C．D．二、填空题（本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每小题6分，共36分.）11．（6分）双曲线的焦距是；渐近线方程为．12．（6分）设函数f（x）=，则f（﹣2）=；使f（a）＜0的实数a的取值范围是．13．（6分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知S2=3，且a n+1=S n+1，n∈N*，则a1=；S n=．14．（6分）若实数x，y满足不等式组，目标函数z=3x+y，若a=1，则z的最小值为；若z的最大值为5，则实数a=．15．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=90°，弦AB中点M在准线l上的射影为M1，则的最大值为．17．（4分）记min，已知向量满足|=2，与的夹角为120°，，则当min取得最大值时，|=．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知，．（Ⅰ）当b=2时，求c；（Ⅱ）求b+c的取值范围．19．（15分）如图，将正六边形ABCDEF中的一半图形ABCD绕AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF与AD的交点．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面B1FG；（Ⅱ）求直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值．20．（15分）设函数f（x）=，h（x）=2f（x）﹣ax﹣b．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，且h（x）在[﹣1，1]有零点，求实数b的取值范围．21．（15分）数列{a n}满足a1=，a n+1﹣a n+a n a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．22．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0）．设t＞0，过点T（0，t）斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．（Ⅰ）用a，b，k，t表示△OMN的面积S，并说明k，t应满足的条件；（Ⅱ）当k变化时，求S的最大值g（t）．2016-2017学年浙江省温州市八校联考高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（4分）已知集合P={x|x2＞2}，Q={0，1，2，3}，则（∁R P）∩Q=（）A．{0，1}B．{0}C．{2，3}D．{1，2，3}【分析】解不等式得集合P，根据补集与交集的定义写出（∁R P）∩Q．【解答】解：集合P={x|x2＞2}={x|x＜﹣或x＞}，Q={0，1，2，3}，∴∁R P={x|﹣≤x≤}，∴（∁R P）∩Q={0，1}．故选：A．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（4分）已知，0＜α＜π，则sin2α的值等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简，根据同角三角函数关系式和二倍角公式可得答案．【解答】解：由，可得cosα=，0＜α＜π，∴sinα=，则sin2α=2sinαcosα=．故选：C．【点评】本题考查了诱导公式化简能力，同角三角函数关系式和二倍角公式计算．比较基础．3．（4分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．4．（4分）已知单位向量和满足，则与的夹角为（）A．B．C． D．【分析】根据，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出的夹角．【解答】解：由得：；∴，且；∴；解得；∴；∴夹角为．故选：C．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．5．（4分）已知m、n为空间两条不同直线，α、β、γ为不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】A，只有和交线垂直，才能得线面垂直；B，α⊥β，β⊥γ，α与γ的位置关系不确定；C，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a、b平行或异面；D，若m⊥α，m∥n，n∥β，面β内一定存在直线存在与直线m平行，【解答】解：对于A，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错；对于B，∵α⊥β，β⊥γ，α与γ即可以平行，也可以相交，故错；对于C，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a、b平行或异面，故不正确；对于D，若m⊥α，m∥n，n∥β，面β内一定存在直线存在与直线m平行，则α⊥β，正确；故选：D．【点评】本题考查空间直线的位置关系中平行的判定，直线与平面平行、垂直的性质定理等，要注意判定定理与性质定理的综合应用．6．（4分）设正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【分析】利用≤2（a+b）即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，则≤2（a+b）=2，∴，当且仅当a=b=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与（x﹣2）2+（y﹣4）2=9相外切，若过点P（﹣1，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当∠ACB最小时，弦AB的长为（）A．4 B．C．2 D．【分析】根据题意先求圆心，利用与另外一个圆相外切，求出半径，直线与圆相交建立关系．动点考查，求方程．【解答】解：由题意：圆C的圆心在直线x﹣y+1=0与x轴的交点，则圆心为（﹣1，0），设半径为r．圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2=9相外切，圆心距等于两圆半径之和，∴r+3=5解得：r=2所以圆C：（x+1）2+y2=4P（﹣1，1）在圆C内．由圆的弦长性质知道，弦长最短，对应的圆心角最小，当∠ACB最小时，弦长最短，过某点的最短弦长是与过该点的直径垂直．∵过P（﹣1，1）的直径方程为x=﹣1，∴过P（﹣1，1）的最短弦方程为y=1，此时∠ACB最小，弦AB的长为2．故选：B．【点评】本题考查了圆与直线的关系的运用，过某点的弦长的性质．根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．属于基础题．8．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），其部分图象如图所示，点P，Q分别为图象上相邻的最高点与最低点，R是图象与x轴的交点，若P点的横坐标为，f（）=，PR⊥QR，则函数f（x）的解析式可以是（）A． B．C．D．【分析】由已知可得A=，设其周期为T，则：P（，），R（，0），Q（+T，﹣），由两点间距离公式，勾股定理可求T，利用周期公式可求ω，由f（）=，可得φ，即可得解函数解析式．【解答】解：由已知可得A=，设其周期为T，则：P（，），R（，0），Q（+T，﹣），由于PR⊥QR，可得：PR2+RQ2=PQ2，可得：（﹣）2+（0﹣）2+（+T﹣﹣）2+（﹣﹣0）2=（﹣）2+（﹣﹣）2，整理可得：T2=16，解得：T=4，ω==，由于f（）=，可得：sin（×+φ）=，所以，φ+=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ+，k∈Z，所以，当k=0时，φ=，函数f（x）的解析式是f（x）=sin（x+）．故选：A．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了勾股定理及正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．9．（4分）已知函数f（x）=x（1+|x|），设关于x的不等式f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，若，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．C．D．【分析】根据题意，将函数f（x）写成分段函数的形式为f（x）=，进而分析可得函数f（x）为增函数，则可以将f（x2+1）＞f（ax）转化为x2+1＞ax，即不等式x2+1＞ax的解集为A，结合题意可得，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x（1+|x|）=，分析可得：函数f（x）为增函数，若f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，则不等式x2+1＞ax的解集为A，又由，则有，解可得﹣＜a＜，即a的取值范围是（﹣，）；故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数单调性的应用，关键要将函数写成分段函数的形式，再分析函数的单调性．10．（4分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（）A．2πB．C．D．【分析】由题意可知：B1D⊥平面A1BC1，|PD|+|PB1|=6＞丨B1D丨=2，点P 在一个“椭球”上运动，且被垂直于其对称轴的平面A1BC1截出一个圆，记其半径为r，根据勾股定理即可求得半径，求得圆的面积．【解答】解：连接B1D，记B1D与平面A1BC1交于点O，易证B1D⊥平面A1BC1，丨OD丨=2丨OB1丨=．由|PD|+|PB1|=6＞丨B1D丨=2，点P在一个“椭球”上运动，且被垂直于其对称轴的平面A1BC1截出一个圆，记其半径为r，记丨PD丨=a，则，解得，所以点P的轨迹所形成的图形的面积S=πr2=，故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每小题6分，共36分.）11．（6分）双曲线的焦距是；渐近线方程为．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在y轴上，则a=，b=1，计算可得c的值，由焦距公式以及渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点在y轴上，则a=，b=1，则其c==，故其焦距2c=2，渐近线方程y=±x，即；故答案为：；．【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线标准方程的形式以及有双曲线标准方程确定焦点位置的方法．12．（6分）设函数f（x）=，则f（﹣2）=4；使f（a）＜0的实数a的取值范围是（0，1）．【分析】利用分段函数求出函数值，通过指数与对数得到不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣2）==4；a＞0时，log2a＜0，可得：a∈（0，1）．a＜0时，，无解．故答案为：4；（0，1）．【点评】本题考查分段函数的应用幂函数的值的求法，指数与对数不等式的求法，考查计算能力．13．（6分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知S2=3，且a n+1=S n+1，n∈N*，则a1=1；S n=2n﹣1．【分析】S2=3，且a n+1=S n+1，取n=1，则：a1+a2=3，a2=a1+1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣1+1，相减可得a n+1=2a n，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵S2=3，且a n+1=S n+1，取n=1，则：a1+a2=3，a2=a1+1，解得a1=1，a2=2．n≥2时，a n=S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴S n==2n﹣1．故答案为：1，2n﹣1．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（6分）若实数x，y满足不等式组，目标函数z=3x+y，若a=1，则z的最小值为2；若z的最大值为5，则实数a=．【分析】首先把a=1代入约束条件，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得z 的最小值；再由题意可得a＞0，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得z的最大值，由此求得a值．【解答】解：若a=1，则不等式组为，画出可行域如图：联立，解得A（1，﹣1）．化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最小值为2；要使约束条件表示的可行域存在，且目标函数z=3x+y有最大值，则a＞0．作出可行域如图：联立，解得A（，﹣1），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为，得a=．故答案为：2；．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】由题意三视图可知，几何体是棱长为2的正方体，截取两个四分之一圆柱，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意可知几何体是棱长为2的正方体，截取两个四分之一圆柱，所以几何体的体积为V=23﹣12=．故答案为：【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=90°，弦AB中点M在准线l上的射影为M1，则的最大值为．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤，即的最大值为，故答案为．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．17．（4分）记min，已知向量满足|=2，与的夹角为120°，，则当min取得最大值时，|=．【分析】建立坐标系，得出，的坐标，依次计算，得出min关于μ的解析式，利用函数性质求出min取得最大值时μ的值，从而得出的坐标．【解答】解：∵|=2，与的夹角为120°，不妨设=（1，0），=（﹣1，），则=（λ﹣μ，）=（2﹣2μ，），∴=2﹣2μ，=5μ﹣2，令2﹣2μ≤5μ﹣2得μ≥，∴min{}=，∴当μ=时，min取得最大值，此时=（，），||==．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知，．（Ⅰ）当b=2时，求c；（Ⅱ）求b+c的取值范围．【分析】（Ⅰ）由余弦定理得c2﹣2c﹣8=0，由此能求出c．（Ⅱ）法一由正弦定理得b=4sinB，c=4sinC，从而b+c=4（sinB+sinC）=4sin（B+），由，能求出b+c的取值范围．法二：由余弦定理得=（b+c）2﹣3bc，由此能求出b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，，b=2，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得c2﹣2c﹣8=0…．（4分）即（c﹣4）（c+2）=0．又c＞0，故取c=4．…．（7分）（Ⅱ）（方法一）由正弦定理得，同理c=4sinC．…．（9分）b+c=4（sinB+sinC）===．…．（12分）由知，，．得．所以，即b+c的取值范围是…．（15分）（方法二）由余弦定理得=（b+c）2﹣3bc…．（10分）解得．又．所以b+c的取值范围是．…．（15分）【点评】本题考查三角形边长、两边和取值范围、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（15分）如图，将正六边形ABCDEF中的一半图形ABCD绕AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF与AD的交点．（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面B1FG；（Ⅱ）求直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出B1G⊥AD，FG⊥AD，从而AD⊥平面B1GF，由此能证明平面ADEF⊥平面B1FG．（Ⅱ）法一：作B1H⊥FG于H，连接AH，则∠B1AH就是直线B1A与平面ADEF 所成的角，由此能求出直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值．法二：以A为坐标原点，以AD为x轴，过A在平面ADEF内作垂直于AD的直线为y轴，过A作垂直于平面ADEF的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值为．【解答】证明：（Ⅰ）由正六边形对称性可知BF⊥AD，因此B1G⊥AD，FG⊥AD．…．（3分）又B1G∩FG=G，B1G⊂平面B1GF，FG⊂平面B1GF，所以AD⊥平面B1GF．…．（5分）又因为AD⊂平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面B1FG．…．（7分）（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）已得平面B1GF⊥平面ADEF．作B1H⊥FG于H，又由于平面B1GF∩平面ADEF=FG，所以B1H⊥平面ADEF．连接AH，则∠B1AH就是直线B1A与平面ADEF所成的角．…．（11分）不妨设正六边形边长为2．则AF=AB1=2且∠B1AF=60°，∠B1AG=∠FAG=60°得B 1F=2，．在△B1GF中，=．．，，所以直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值为．…．（15分）（方法二）如图，以A为坐标原点，以AD为x轴，过A在平面ADEF内作垂直于AD的直线为y轴，过A作垂直于平面ADEF的直线为z轴建立空间直角坐标系．不妨设正六边形边长为2．则，，设．由得x①．由得②．又③．…．（10分）由①②③得．所以．…．（13分）取平面ADEF的法向量．．所以直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值为．…．（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（15分）设函数f（x）=，h（x）=2f（x）﹣ax﹣b．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，且h（x）在[﹣1，1]有零点，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知中函数f（x）=，根据f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（﹣x）=f（x），可得结论；（Ⅱ）若f（x）为奇函数，即a=﹣1，若h（x）在[﹣1，1]有零点，即有x∈[﹣1，1]满足方程，构造函数求出值域，可得答案．（Ⅰ）若f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x）得，【解答】解：化为2x+1+a•2﹣x+1=﹣2﹣x+1﹣a•2x+1，所以a=﹣1．…．（3分）若f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（﹣x）=f（x）得，化为2x+1+a•2﹣x+1=2﹣x+1+a•2x+1，所以a=1．…．（6分）综上知，当a=﹣1时，f（x）为奇函数；当a=1时，f（x）为偶函数；当a≠±1时，f（x）非奇非偶．…．（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知若f（x）为奇函数，则a=﹣1．此时在[﹣1，1]有零点，即有x∈[﹣1，1]满足方程．…．（11分）由于函数在[﹣1，1]单调递增，在x∈[﹣1，1]时其值域为，所以，即实数b的取值范围为．…．（15分）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的零点，根的存在性及根的个数判断，难度中档．21．（15分）数列{a n}满足a1=，a n+1﹣a n+a n a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．﹣a n+a n a n+1=0，两边同除以a n a n+1，得，从而可【分析】（Ⅱ）由a n+1知数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）方法一，放缩后，利用等比数列的求和公式，方法二：放缩法后，利用裂项求和【解答】解（Ⅰ）：由已知可得数列{a n}各项非零．否则，若有a k=0结合a k﹣a k﹣1+a k a k﹣1=0⇒a k﹣1=0，=0⇒a k﹣2=0⇒…⇒a1=0，与已知矛盾．继而⇒a k﹣1﹣a n+a n a n+1=0可得．所以由a n+1即数列是公差为1的等差数列．所以．所以数列{a n}的通项公式是（n∈N*）．（Ⅱ）证明一：因为．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n=．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．证明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n===．所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…a n＜1．【点评】本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查了利用放缩法则证明不等式，考查裂项法求和，属于中档题22．（14分）给定椭圆C：=1（a＞b＞0）．设t＞0，过点T（0，t）斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．（Ⅰ）用a，b，k，t表示△OMN的面积S，并说明k，t应满足的条件；（Ⅱ）当k变化时，求S的最大值g（t）．（Ⅰ）根据题意，设l方程为y=kx+t，联立直线与椭圆的方程可得（b2+a2k2）【分析】x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；由根与系数的关系的关系表示|OT|和|x M﹣x N|，进而由三角形面积公式计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S的表达式，分与两种情况讨论，分析S 的最大值，综合即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设l方程为y=kx+t，将l方程代入C方程整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；△=4a4k2t2﹣4a2（t2﹣b2）（b2+a2k2）=4a2b2（b2+a2k2﹣t2）．由△＞0得k，t应满足的条件为b2+a2k2﹣t2＞0，==．所以，其中b2+a2k2＞t2（Ⅱ）=．当，即，取，有，得．当，即，b2+a2k2＞2t2，有，取k=0，得．所以，当k变化时，S的最大值g（t）=．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是掌握椭圆的几何性质．。