【课 题：】直线的点斜式方程
【教学目的：】
知识目标：在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知
直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，
能观察直线的斜率和直线经过的定点
能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由
一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直
线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．
【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在
推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论
的基础。
【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，
即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程
的解为坐标的点在直线上．
【授课类型：】新授课
【课时安排：】1课时
【教 具：】
【教学过程：】
1、复习引入：
2、讲解新课：
(1)点斜式
已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？
设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
1
1x x y y k --= (1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2)
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系)
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．
注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(2)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是y=kx+b
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。
典型范例
错例剖析
3、小结：
4、课后作业：
5、能力提高：
（1）已知直线y=kx+b(k≠0)经过点(2,1),求证直线不可能经过两个
有理点（所谓的有理点即横纵坐标均为有理数的点）
6、高考链结：
【板书设计：】
【课后反思：】
【课题：】直线的两点式方程
(1)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
这个方程是由直线上两点确定的，故叫做直线的两点式方程．
对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(2)截距式
试用两点式求方程：
已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
也就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示即如果有一个的截距为零则不能用截距式．
典型范例
错例剖析
3、小结：
4、课后作业：
5、能力提高：
(1)已知直线过点P（3，4）且与x,y轴的正半轴相交于A、B，求
使?AOB 面积最小时的直线方程。
6、高考链结：
【板书设计：】
【课后反思：】
【课 题：】直线的一般式方程
【教学目的：】
知识目标：掌握直线方程的一般形式及其运用
能力目标：通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．
德育目标：通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．
【教学重点：】直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．
【教学难点：】
【授课类型：】新授课
【课时安排：】1课时
【教 具：】
【教学过程：】
1、 复习引入：
点斜式、斜截式不能表示与x 轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x 轴垂直的直线可表示成x=x 0，与x 轴平行的直线可表示成y=y 0。它们都是二元一次方程．
我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？
2、 讲解新课：
我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b
当α=90°时，它的方程可以写成x=x 0的形式．
由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程．
反过来，对于x 、y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0其中A 、B 不同时为零．
(1)当B ≠0时，方程(1)可化为B
C x B A y --=即为直线的斜截式方程 (2)当B=0时，由于A 、B 不同时为零，必有A ≠0，方程(1)可化为A C x -
=它表示一条与y 轴平行的直线．
这样，我们又有：关于x 和y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为：Ax+By+C=0
这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？
直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．
注：如果求解直线的方程没有特别说明要写成一般式。
典型范例
解：直线的点斜式是
化成一般式得
4x+3y-12=0．
把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式
讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．
例2把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：
x=-6
根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．
本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．
例3证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．
证法一直线AB的方程是：
化简得y=x+2．
将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．
∴A、B、C三点共线．
所以A、B、C三点共线．
∵|AB|+|BC|=|AC|，
∴A、C、C三点共线．
讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．
例4直线x+2y-10=0与过A(1，3)、B(5，2)的直线相交于C，
此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB 所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．
代入x+2y-10=0有：
解之得λ=-3．
错例剖析
3、小结：
(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．
(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．
4、课后作业：
5、能力提高：
6、高考链结：
【板书设计：】
【课后反思：】
《直线的点斜式方程》教案教学目标 1．使学生掌握点斜式和斜截式的推导过程，并能根据条件，熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程. 2．会用直线的方程求出斜率、倾斜角、截距等问题，并能根据方程画出方程所表示的直线. 3．培养学生化归数学问题的能力及利用知识解决问题的能力. 4．理解直线方程点斜式和斜截式的形式特点和适用范围. 教学重点与难点 重点：直线方程的点斜式的公式推导以及有已知条件求直线的方程. 难点：直线方程点斜式推导过程的理解. 教学过程 一、创设情景 师：上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。那么，我们能否用给x,yk PPP)满足的的坐标)定的条件(点，将直线上的所有点的坐标的坐标和斜率(，或，201关系表示出来呢？这节课，我们一起学习直线的点斜式方程. 二、探求新知 P(x,y)l l k的方程经过点，求直线. 师：若直线，且斜率为000x,y P l P的任意一点，因为直线上不同于点生：(给学生以适当的引导)设点)(是直线0l k，的斜率为 由斜率公式得： y?y0?k，可化为：x?x0y?y?k(x?x)①00〖探究〗：思考下面的问题：(不必严格地证明，只要求验证) P(x,y)l k1上的点，其坐标都满足方程①吗？的直线，斜率为 ()、过点000P(x,y)l k2上吗？的直线 (、坐标满足方程①的点都在过点)，斜率为000P(x,y)k的，所以方程①就是过点经过探究和验证，上述的两条都成立.斜率为生：000l的方程. 直线因此得到： 、直线的点斜式方程：)一(0x,y k为直线的斜率(. )为直线上一点坐标，其中00方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 师：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？(让学生思考，互相讨论) 1：不能，因为不是所有的直线都有斜率生. 2：对，因为直线的点斜式方程要用到直线的斜率，有斜率的直线才能写成点斜式方生程，如果直线没有斜率，其方程就不能用点斜式表示. verygood！师： y x轴所在直线的方程又是什么？轴所在直线的方程是什么？那么， x k000)，，且过点生：因为(轴所在直线的斜率为 =，y xx00.) 轴所在直线上的每一点的纵坐标
直线的点斜式方程与斜截式方程习题课 班 组 姓名 组评 学习目标： 1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； 重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。 学法指导： 1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成. 2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录. 3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上. 一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导. （一）、知识梳理、双基再现 1、方程___________________叫做直线的点斜式方程．．．．．，简称点斜式．．． 。其中点 为直线上的点， k 为直线的 。 特殊情况：当直线经过点000(,)P x y 且斜率 时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴 ，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为 。 2、方程___________________叫做直线的斜截式．．．方程．．，简称斜截式．．． 。其中k 为直线的 ，b 为直线在_________________。 3、如图所示，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b 。 则a 叫做直线l _______________（或_________）； b 叫做直线l _______________（或__________） （二）、小试身手、轻松过关 写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点A(2，5)，斜率是4； （2）经过点B(3，-1)，斜率是2； （3）经过点C(2 ，2)，倾斜角是30°； （4）经过点D(0，3)，倾斜角是0°； （5）经过点E(4，-2)，倾斜角是120° 【我的疑惑】 二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题生成评价单完成情况进行点评.
一、选择题 1．经过点()1,2-且斜率为2的直线方程为 A ．24y x =+ B ．25y x =- C ．24y x =- D ．25y x =+ 【答案】A 【解析】由点斜式方程可得：()221y x -=+，整理得24y x =+，故选A. 【名师点睛】该题所考查的是直线的方程的求解，需要明确直线方程的点斜式.根据题中所给的条件，直线所过的一个点和直线的斜率，利用直线方程的点斜式即可求得结果. 2．下列说法中不正确的是 A ．点斜式()00y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线 B ．斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线 C ．两点式11 2121 y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D ．截距式1x y a b +=适用于不过原点的任何直线 【答案】D
【名师点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析． 3．与直线y =2x +1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．y = 1 2 x +4 B ．y =2x +4 C ．y =?2x +4 D ．y =? 12 x +4 【答案】D 4．过点A (5，6)和点B (－1，2)的直线的两点式方程是 A ． 51 62 y y x x -+= -- B ． 65 2615y x --= --- C ． 2615 65 y x ---=-- D ． 65 2615 x y --= --- 【答案】B 【解析】根据直线的两点式方程，得过点A (5，6)和点B (－1，2)的直线的两点式方程是65 2615 y x --= ---.故选B. 5．如果直线 34 x y c +=被两个坐标轴截得的线段长为5，则c 的值为 A ．1 B ．－1 C ．1 5 ± D ．±1 【答案】D 【解析】方法一：令0x =，得4y c =，令0y =得3x c =，即直线与两坐标轴的交点分别为 ()()0,4,3,0c c ， ()() 22 345c c +=，解得1c =±． 故选D ．
《直线的方程点斜式》优质课比赛教案
直线的方程——点斜式 1.教材分析 从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果. 刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益. 贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础. “解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想. 教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能. 综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.
2.教学目标 2.1 知识与技能 (1)知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程； (2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式. 2.2 过程与方法 (1)让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力； (2)使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想. 2.3 情感态度与价值观 (1)使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力； (2)利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣. 3.教学重点与难点 教学重点：直线的点斜式方程. 教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解. 4.教学方法 (1)教师为主导，学生为主体，师生互动为主线. (2)通过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学，同时渗透数形结合等数学思想. 5.教学过程 5.1 问题情境（了解数学）
直线的两点式和截距式方程（导学案） 知识目标：1.能根据点斜式方程推导两点式方程、根据两点式方程推导截距式方程 2.掌握直线的两点式方程和截距式方程，会应用两点式方程和截距式方程解决相关问题（重点） 3.能已知条件的特点，恰当选取方程的形式来求方程 探究1写出下列经过A、B两点的直线的方程： （1）A（8，－1），B（－2，4） 解： （2）A（6，－4），B（－1，2） 解： （3）A (x 1，y 1 )，B ( x 2 ，y 2 ) ，其中x 1 ≠x 2 ，y1≠y2 解： 思考1：上面问题的求解过程可以简化吗？ 已知两点P 1(x 1 ，y 1 ) , P 2 ( x 2 ，y 2 )，其中x 1 ≠x2，y1≠y2，则经过这两点的直线 方程为 思考2：若P 1, P 2 中有x 1 ＝x 2 或y 1 ＝y 2 ，此时过这两点的直线方程是什么？ 综上所述，在运用两点式公式时应注意什么？ 探究2已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程。 思考3：应用截距式公式时应注意什么问题？
下列说法中不正确的命题是 。 ①点斜式y －y 0＝k （x －x 0）适用于不垂直于x 轴的任意直线； ②斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直x 轴的任意直线； ③两点式 1 21 121x x x x y y y y --=-- 适用于不垂直于x 轴的任意直线； ④截距式 1=-b y a x 适用于不垂直x 轴的任意直线. 4 已知三角形的三个顶点A (－5， 0)，B （3，－3），C (0，2)， 求BC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程。 1，2，3 灵活选取方程的形式来求方程 例2 根据下列条件，写出直线的方程 （1）倾斜角为30°，经过A （8，－2）； （2）经过点B （－2，0），且与x 轴垂直； （3）斜率为－4，在y 轴上的截距为7； （4）经过点A （－1，8），B （4，－2）； （5）在y 轴上的截距是2，且与x 轴平行； （6）在x 轴，y 轴上的截距分别是4，－3； 5 经过点A （1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 几条？请求出这些直线方程。
直线的斜截式方程 教学目标 1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y 轴上的截距的概念； 2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系； 3、初步掌握斜截式方程及其简单应用； 4、培养学生应用公式的能力。 教学重点 直线的斜截式方程。 教学难点 直线的斜截式方程及其应用。 教学过程 （一）复习引入 （1）提问：请同学们写出直线的点斜式方程，并说明（x ，y ），（x 1，y 1），k 的几何意义。 （答案：直线的点斜式方程是y －y 1=k （x －x 1）；（x ，y ）是已知直线上的任意一点的坐标，（x 1，y 1）是直线上一个已知点的坐标，k 是直线的斜率。） （2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是（0，b ），求直线l 的方程。 （答案：y=kx+b ） （二）讲解新课 （1）直线在y 轴上的截距 一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y 轴上的截距。 例如，引例中直线l 与y 轴交于点（0，b ），则b 就是直线l 在y 轴上的截距。 在这里特别要注意：截距是坐标的概念，而不是距离的概念。 （2）直线的斜截式方程 如果已知直线l 的斜率是k ，在y 轴上的截距是b ，那么直线l 的方程是y=kx+b 。 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式。 这个方程的导出过程就是引例的解题过程。这是我们同学们自己推导出来的。 （3）我们来认识一下这个方程 ①它和一次函数的解析式相似而不相同 在一次函数的解析式中，k 不能为0，而直线的斜截式方程没有这个限制。 ②练一练 根据直线l 的斜截式方程，写出它们的斜率和在y 轴上的截距： （1）y=3x －2， k=_________，b=_________ （2）3 132+=x y , k=_________，b=_________ （3）y=－x －1， k=_________，b=_________ （4）23-=x y ， k=_________，b=_________
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？ 设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k 的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程． 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是
§1.2.1直线方程的点斜式和斜截式 一、教学目标 1．知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情感、态度与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.通过平行直线系，感受数学之美，激发学习数学的积极主动性。 二、教学重难点 1.教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程. 2.教学难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解. 三、教学过程 （一）设疑自探：预习课本P65-67,回答下列问题： 问题1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？确定一条直线需要什么样的条件？ 问题2：若直线l经过点P0(x0,y0),斜率为k, 这条直线上的任意一点P（x,y）的坐标x与y之间满足什么关系呢？所得到方程与直线l有什么关系 呢？由此你能推出直线的点斜式方程吗？
（二）自主检测： 1、（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率为___,倾斜角为___. （2）已知直线方程是0 x,那么直线的斜率为____,倾斜角为______. +y 1= + 2、写出下列直线的点斜式方程: （1）经过点A（3，-1）,斜率是2；（2）经过点B)2,2 (-，倾斜角为30°；（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°；（4）经过点D（-4，-2）,倾斜角是120°. （三）例题解析 例1、写出下列直线的方程，并画出图形： （1）经过点P（1,3），斜率是1； （2）经过点Q（-3,1），且与x轴平行； （3）经过点R（-2,1），且与x轴垂直； （4）经过两点)3 -B A. ,3( (- 0,5 ), 四、质疑再探： 1、根据例2思考讨论 （1）什么是直线的斜截式？ （2）b的几何意义是什么？ （3）由直线的斜截式方程你能想到我们学过的哪类函数，它们之间又有什么 关系呢？ （4）点斜式与斜截式有什么联系？在表示直线时又有什么区别呢？ 例2、如果直线l的斜率为k,且与y 轴的交点为(0,b),:你能求出直线l的方程吗？变式：直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别为 2、根据例3思考讨论任何一条直线都能用点斜式或斜截式方程表示吗？
直线的点斜式方程说课稿 新课标指出，学生是教学的主体。教师要以学生活动为主线。在原有知识的基础上，构建新的知识体系。本次说课包括五部分：说教材、说教法、说学法、说教学程序和说板书。 说教材 教材地位、作用 从整体来看，直线方程初步体现了解析几何的实质——用代数的知识来研究几 何问题。从集合与对应的角度构建了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系，是学习解析几何的基础。 从本节来看，直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位。它是学习直线方程知识的第一课时，是学生们首次在方程与图像间 建立起具体关系。学习直线的点斜式方程迈出了探究解析几何学知识的第一步， 对后续直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等内容的学习，无论是思想上还是方法上都有着积极的意义。 二、教学目标 1、知识与技能（知识目标）：掌握点斜式和斜截式方程的推导过程，并能根 据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程。 2、过程与方法（能力目标） : 初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会 数形结合的思想。 3、情感态度与价值观（情感目标）：使学生学会认识事物的特殊性与一般性 之间的关系。培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教学重点与难点 重点：（1）直线方程点斜式、斜截式方程的推导 （2）由已知条件求直线方程。 难点：直线点斜式方程的推导 说教法 1、学情分析 : 高一学生思维活跃，求知欲强，具有一定直观感知能力，也具有一次函数的 概念、图象和直线的斜率等知识储备，但在用代数方法解决几何问题的思维转换上有所欠缺，同时其抽象思维能力和语言表达能力有待提高，因此在概念的推导过程中可能会比较困难。 2、教学方法： 遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用“诱思探究教学法”教学。通过教师点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现和接受。 说学法 本节课所面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但思维习惯还有待教师引导。本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创设疑问，通过合作交流，共同探索，寻求解决问题的方法。
【课 题：】直线的点斜式方程 【教学目的：】 知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程， 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由 一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直 线的位置特征，培养学生的数形结合能力． 德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在 推导直线的斜截式方程上．实质上它也是整个直线方程理论 的基础。 【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程， 即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程 的解为坐标的点在直线上． 【授课类型：】新授课 【课时安排：】1课时 【教 具：】 【教学过程：】 1、复习引入： 2、讲解新课： (1)点斜式 已知直线l 的斜率是k ，并且经过点P 1(x 1，y 1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l 的方程(图1-24)？ 设点P(x ，y)是直线l 上不同于P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 1 1x x y y k --= (1) 即y-y 1=k(x-x 1) (2) 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点
附件1： 论文编号： （由教研室统一按市、县编码编号） 省教育科学院省教育学会 2017年教育教学科研论文、教学（活动）设计 征集评选登记表 （征文封面） 说明：一、学科类别：1.中学语文 2.中学数学 3.中学英语 4.中学物理5.中学化学 6.中学生物 7.中学政治 8.中学历史 9.中学地理 10.小学语文 11.小学数学 12.小学思品 13.小学英语 14.小学科学 15.中小学音乐 16.中小学体育与健康 17.中小学美术 18.中小学信息技术19.通用技术20.中小学综合实践活动 21. 学前教育 22.特殊教育 23.职业教育 24.综合（凡不是纯学科性的论文都归在这一类，如：如何做好班主任工作、如何提高学生的心理素质等）25.心理健康教育。 二、论文题目不要太长。教学设计或教学案例直接点明是什么课的设计或案例，如：《祝福》教学设计、《分数的除法》教学案例（不要把某某版第某册第某课作为题目的组成部分）。
《直线的点斜式方程》教学设计 课题：§3.2.1 直线的点斜式方程 一、教学目标 1．知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法 在已知直角坐标系确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情感、态度与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.通过平行直线系，感受数学之美，激发学习数学的积极主动性。 二、教学重难点 1.教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程. 重点突出策略：让学生以个人思考和小组讨论相结合的方式自行推导两种形式的方程。2.教学难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解，即纯粹性和完备性。 难点突破策略：由具体例子到一般问题，从有限关系到无限事实，让学生能初步体会直线的方程和方程的直线之间的对应关系，即纯粹性和完备性。为以后曲线与方程的对应关系做铺垫。此处的要求不易过高，也不可能一次到位，要有一个螺旋上升的过程。 三、教学分析 1.教材分析：在学习了《直线的倾斜角和斜率》和《两条直线平行与垂直的判定》的基础上，学习直线方程的第一课时《直线的点斜式方程》，知识储备充分，过渡自然合理，解析几何的思想开始渗透。 2.教法分析：在新课程的理念下，逐步转换师生的角色，尝试以学生为主体的探究合作式解决问题法；在高效精品课堂的旗帜下，探索效率最高化的教学模式。 3.学情分析：高一（16）班的学生大部分基础较好，学习主动性强，但有个别学生基础薄弱，反应迟钝。 4.教学准备: 《直线的点斜式方程》教学设计（学生版），电子笔，黑板. 四、教学过程设计
直线的点斜式方程练 习题
3.2.1 直线的点斜式方程 练习一 一、选择题 1、经过点（-√2，2）倾斜角是030的直线的方程是 A 、y ＋√2 =√3/3 （ x －2） B 、y+2=√3（x －√2） C 、y －2=√3/3（x ＋√2） D 、y －2=√3（x ＋√2） 2、已知直线方程y －3=√3（x －4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是 A 、（4，3）；π/ 3 B 、（－3，－4）；π/ 6 C 、（4，3）；π/ 6 D 、（－4，－3）；π/ 3 3、直线方程可表示成点斜式方程的条件是 A 、直线的斜率存在 B 、直线的斜率不存在 C 、直线不过原点 D 、不同于上述答案 4、若A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=mx+b 上两点，则︱AB ︱是 A 、︱x 1－x 2︱m B 、︱x 1－x 2︱（1+m ） C 、︱x 1－x 2︱√1+m 2 D 、︱x 1－x 2︱（1+m 2） 5、给出四个命题： (1)设直线1l ，2l 的倾斜角分别是α1,α2, 1l 到2l 的角为θ，那么： 若α2＞α1，则θ=α2－α1；若α1＞α2，则θ=α1－α2； (2)若l 1到l 2的角为θ，则l 2到l 1的角为θπ-； (3)若1l 无斜率， 2l 的倾斜角为θ(θ≠900)，则1l 到2l 的角为2πθ+ ； (4) 1l 和2l 的夹角一定是锐角。 其中错误的命题的个数是 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
6、在y 轴上截距是2的直线的方程为 A 、y=kx-2 B 、y=k(x-2) C 、y=kx ＋2 D 、y=k(x ＋2) 7、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有 A 、A · B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0 C 、C ≠0 D 、A 2＋B 2=0 8、下列直线中，斜率为-43 ，且不经过第一象限的是 A 、3x ＋4y ＋7=0 B 、4x ＋3y ＋7=0 C 、4x ＋3y-42=0 D 、3x ＋4y-42=0 9、已知点(x ，-4)在点(0，8)和(-4，0)的连线上，则x 的值为 (A)-2 (B)2 (C)-8 (D)-6 10、直线(m ＋2)x ＋(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是 (A)65 (B)-65 (C)6 (D)-6 二、填空题 11、过点A （－1，2）且倾斜角正弦值为5 3的直线方程是______。 12、已知)cos ,sin 3(2θθ-A , B(0,1)是相异的两点, 则直线AB 倾斜角的取值范围是 ____________. 13、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。 三、解答题 14、若点A(a+2,b+2)关于直线4x+3y+11=0对称的点是B(b －4,a －b), 求a,b 的值.
直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线. (二)能力训练点 通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力. (三)学科渗透点 通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识. 二、教材分析 1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上. 2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上. 得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程. 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合. 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？ 设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.
重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程. 这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式. 当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1. 当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1. (二)斜截式 已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程. 这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得: y-b=k(x-0) 也就就是 上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得. 当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距. (三)两点式 已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程. 当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成 请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式. 对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样. (四)截距式
【课题：】直线的点斜式方程 【教学目的：】 知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程， 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由 一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力. 德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上?实质上它也是整个直线方程理论的基础。 【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上. 【授课类型：】新授课 【课时安排：】1课时 【教具：】 【教学过程：】 1、复习引入： 2、讲解新课： （1）点斜式 已知直线I的斜率是k,并且经过点P i（x i, y i），直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线I的方程（图1-24）? 设点P（x , y）是直线I上不同于R（X1, yj的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 , y y1 k - （1） x X-| 即y-y 1=k（x-x 1）（2） 注意方程（1）与方程⑵ 的差异：点R的坐标不满足方程（1）而满足方程⑵，因此，点P1不在方程（1）表示的图形上而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称作直线I的方程. 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以 这个方程的解为坐标的点都在直线I上，所以这个方程就是过点R、斜率为k的直线I的方程.（实质上 是证明了直线的方程与方程的直线的关系） 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式. 注：当直线的斜率为0°时（图1-25）, k=0,直线的方程是y=y「 当直线的斜率为90。时（图1-26）,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因I上每一点 的横坐标都等于X i,所以它的方程是X=X i .
3.2.1直线的点斜式方程 一、教学目的 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． 二、教学目标 目标：理解和掌握直线的点斜式方程及其求法 直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=- 该方程叫做直线的点斜式方程。 三、问题诊断与分析 这节内容是在学习直线方程的概念与直线的斜率基础上,具体地研究直线方程的几种形式,而这几种形式都是以点斜式方程为基础进行推导的.因此,在推导点斜式方程时,要使学生理解:已知直线的斜率和直线上的一个点,这条直线就确定了,进而直线方程也就确定了.求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示,这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程. 四、教学设计 （一）温故知新 1、确定直线的几何要素：直线上一点和直线的倾斜角（斜率）。 2、已知直线上两点的斜率公式： 3、一次函数及其图象：函数y=kx +b (k ≠0)称为一次函数，其图象是一条直线，该直线的斜率为k ，与y 轴的交点为 . 1．探究：直线的点斜式方程 问题一：什么是直线的点斜式方程？直线的点斜式方程是怎样得到的？ 设计意图：让学生知道明确研究方向（用点斜式方程表示直线） 小问题1：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请根据斜率公式建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。 设计意图：让学生根据斜率公式，可以得到，当 x x ≠时， x x y y k --= ，即 )(00x x k y y -=-，明确研究方向。 小问题2：（1）由),(000y x P ，斜率k 确定的直线l 上的任意点),(y x P 都满足方程（1）吗？ （2）满足方程（1）的点的坐标都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？ 设计意图：让学生知道该直线方程由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方 程，简称点斜式. 问题二：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 设计意图：使学生理解点斜式方程的适用范围。 追问：（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？
《直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标 不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
反斜截式方程在高中解题中的应用 高中数学解析几何部分，我们知道直线有多种表示形式，其中斜截式方程b kx y +=，应用条件是已知直线与y 轴的交点),0(b 。但此方程有一个缺点就是不能表示倾斜角为90度的直线。如果问题需要考虑直线倾斜角为90度时的情况，可以通过分类讨论来解决。 什么是反斜截方程？如果直线经过点)0,(a P ，且倾斜角不为0，直线方程可表示为a my x +=，称之为反斜截式方程，其中k m 1=（当直线有斜率时）。此方程的缺点是不能表示倾斜角为0的直线，但优点是能表示倾斜角为90度的直线，当0=m 时就表示倾斜角为90度的直线。 很多时候用反斜截式方程来表示直线，能避免讨论，起到事半功倍的效果。以下举几个例子。 1、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为),0,(),0,(21c F c F -直线033:=-+c y x l 交椭圆于N M ,两点，M 是椭圆的顶点，21F MF ?的周长是6. （1）求椭圆的标准方程. （2）假设椭圆的左顶点是A ，过点)0,(2c F 的直线交椭圆于'',N M ，直线'',AN AM 分别交直线4=x 于Q P ,两点，求证：以线段PQ 为直径圆过定点)0,(2c F . 解答： （1）13 422=+y x
（2）分析：证明直径所对的角为直角即可。只要证明022=?Q F P F 即可。 解答：设),4(),,4(),,(),,('2 '122'11'y Q y P y x N y x M ，假设''N M 所在直线方程为.1R m my x ∈+=， 把直线代入椭圆方程，得到： .4 39,4360 96)43(22122122+-=?+-=+∴=-++m y y m m y y my y m 直线)2(20:11'++=-x x y y AM ，把4=x 代入得到2611'1+=x y y ，同理2 622'2+=x y y 9431 36439 -36)(3936)2)(2(362221*********'2'1-=+?+? =+++=++=∴m m y y m y y m y y x x y y y y 09'2'122=+=?∴y y Q F P F 所以原命题成立。 小结：1、主要是利用几何意义来解决问题，通过向量这个工具来解决。2、反斜截式方程的应用，注意这个小技巧。 2、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是2 1，以坐标原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 有且只有一个公共点. （1）求椭圆的标准方程 （2）若过点)0,1(-的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，则在x 轴上是否存在一个定点M 使 ?为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，说明理由. 解答：
1.2.1 直线方程的点斜式和斜截式 一、教学目标 1．知识与技能 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题. 通过平行直线系，感受数学之美，激发学习数学的积极主动性。 二、教学重难点 1. 教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程. 2. 教学难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解. 三、教学过程 （一）设疑自探：预习课本P65-67,回答下列问题： 问题1:过定点P （x o,y°）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？确定一条直线需要什么样的条件？ 问题2：若直线l 经过点P0（x0, y0）, 斜率为k, 这条直线上的任意一点P（x,y）的坐标x与y之间满足什么关系呢？所得到方程与直线I有什么关系呢？由 此你能推出直线的点斜式方程吗？ (二)自主检测： 1、 ( 1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-l,那么直线的斜率为____ ，倾斜角为__
(2)____________________________________________ 已知直线方程是x y 1 0,那么直线的斜率为___________________________________ ,倾斜角为 ______ 2、写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(3, -1),斜率是 2 ；(2)经过点B( .2,2)，倾斜角为30° (3)经过点C(0, 3)，倾斜角是0°；(4)经过点D(-4，-2 )，倾斜角是120° (三)例题解析 例1、写出下列直线的方程，并画出图形： (1)经过点P (1,3)，斜率是1； (2)经过点Q (-3,1)，且与x轴平行; (3)经过点R (-2,1)，且与x轴垂直; (4)经过两点A( 5,0), B(3, 3). 四、质疑再探： 1、根据例2思考讨论 (1)什么是直线的斜截式？ (2)b的几何意义是什么？ (3)由直线的斜截式方程你能想到我们学过的哪类函数，它们之间又有什么关 系呢？ (4)点斜式与斜截式有什么联系？在表示直线时又有什么区别呢？例2、如果直线I的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),:你能求出直线I的方程 吗？ 变式：直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别为_________ 2、根据例3思考讨论任何一条直线都能用点斜式或斜截式方程表示吗?