旅行商问题_TSP_的几种求解方法

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

TSP问题的近似算法近似算法是解决优化问题的一种有效方法，它可以在较短时间内得到一个接近最优解的解，而不是花费大量时间去寻找最优解。

TSP问题（Traveling Salesman Problem）是一个经典的优化问题，它的目标是找到一条经过所有城市的最短路径。

这个问题是一个经典的NP难题，意味着在合理的时间内找到准确的最优解是不可能的，最多只能得到近似解。

因此，近似算法在TSP问题中具有重要的应用价值。

常见的近似算法包括贪心算法、局部搜索算法、动态规划算法等。

下面我们将介绍其中几种经典的算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的近似算法。

它的基本思想是每次选择当前最优解，直到得到一个接近最优解的解。

在TSP问题中，贪心算法的思路是从起点出发，每次选择距离当前城市最近的城市，直到遍历所有城市。

但是这种贪心策略往往不能得到最优解，因为它可能陷入局部最优解。

2. 局部搜索算法局部搜索算法是一种基于局部优化的近似算法。

它的基本思想是从一个随机的解出发，不断地进行局部搜索，直到得到一个接近最优解的解。

在TSP问题中，局部搜索算法的思路是从一个随机的解出发，通过交换城市的顺序来不断优化当前解，直到达到一定的迭代次数或无法继续优化为止。

这种算法的优点是效率高，缺点是易陷入局部最优解。

3. 动态规划算法动态规划算法是一种基于状态转移的近似算法。

它的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题，通过按顺序解决子问题来求解原问题。

在TSP问题中，动态规划算法通过定义状态、状态转移方程和初始状态来求解最短路径。

其时间复杂度为O(n^2*2^n)，因此不适用于大规模的问题。

总结以上是常见的几种近似算法，在实际运用中可以根据问题的特点选择合适的算法。

虽然这些算法不能得到准确的最优解，但它们可以在短时间内得到一个接近最优解的解，具有重要的实际应用价值。

已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。

如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。

这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。

若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σd(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。

遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。

定义整数pop-size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。

适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。

[随机规划与模糊规划]选择过程：选择过程是以旋转赌轮pop-size次为基础，每次旋转都为新的种群选择一个染色体。

Hopfield神经网络求解TSP问题1.什么是TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），也是最优化问题。

一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

用数学语言描述TSP如下 :设有限个城市集合 : C = { C1 , C 2 , … , Cn }，每两个城市间的距离为 d（Ci，Cj）∈Z, 其中 Ci，Cj∈C（ 1<=i , j <=n), 即求 minL=∑d（Ci，Cj）的值的问题。

有效路径的方案数目为Rn=（（n-1）！/2）,例如:R4=3,R5=12,R6=120,R10=181440可见路径总数，随n增大而急剧增长,当城市数目增加到一定的程度,计算量增加到无法进行的地步，所以要选择一种合理快速的算法，而不能对所有情况使用人工列举的方法。

2.Hopfield神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。

这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的.最基础的为BP、Hopfield网络等。

Hopfield网络是一种互连型网络的一种，它引入类似于Lyapunov 函数的能量函数概念，把神经网络的拓扑结构(用连接权矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。

3.神经元的数学模型人的大脑是由大量神经细胞或神经元组成的。

每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式相互连接起来，构成大脑内部的生理神经元网络系统，他们中各个神经元之间连接的强弱不是固定不变的，而是按照外部的信号激励程度做自适应的变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。

旅行商问题应用题引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组城市和城市之间的距离矩阵的情况下，寻找一条最短路径，使得所有城市恰好访问一次且最后回到起始城市。

本文将介绍旅行商问题的应用场景，并讨论如何解决该问题。

应用场景旅行商问题的应用广泛，以下是一些例子：物流配送在物流配送领域，快递员需要按照最短路径依次访问多个客户，以最大程度地减少路程和时间。

通过求解旅行商问题，我们可以确定最优的路线规划，提高物流效率。

电路板布线在电路板布线中，需要在不相互干扰的情况下，将多个元件连接起来。

通过将元件表示为城市，元件之间的连接成本表示为城市之间的距离，可以将布线问题转化为旅行商问题。

求解旅行商问题可以找到最优的布线方案，提高电路板的性能。

DNA测序在生物学领域中，DNA测序是一项非常重要的任务。

通过旅行商问题，可以确定测序机器在测序多个DNA样本时的最短路径，以减少测序时间和成本。

解决方法求解旅行商问题有多种方法，常见的有贪心算法、动态规划算法和遗传算法等。

下面分别简要介绍这些方法：贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过局部最优的选择来进行整体的优化。

在旅行商问题中，贪心算法每次选择最近的未访问城市进行访问，直到所有城市都被访问。

然而，贪心算法不能保证找到全局最优解，可能会陷入局部最优。

动态规划算法动态规划算法采用自底向上的方式，通过将问题分解为子问题，并使用一个表格来存储已解决的子问题的最优解，从而逐步求解整体问题。

在旅行商问题中，动态规划算法通过填充一个二维表格来记录每个子问题的最优解，最后得到全局最优解。

但是，动态规划算法的时间复杂度较高，不适用于问题规模较大的情况。

遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。

在旅行商问题中，遗传算法通过模拟基因的遗传、交叉和变异过程，生成多个路径方案，并利用适应度函数来评估每个方案的优劣，最终选择适应度较高的方案作为最优解。

求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。

回溯法旅⾏商问题（TSP问题）学习链接：、今天早上做了⽆数个梦，然后被紧紧地吸附在床上。

挣扎⼀番后爬起来，已经是9点了。

然后我开始研究旅⾏商问题。

在⼀个⽆向图中找到⼀个可以遍历所有节点的⼀个最短回路。

理论上说可以⽤全排列列出所有解的下标，然后⼀个⼀个试，时间复杂度o(n!)。

但是可以⽤回溯法，⽤【约束函数】（constraint）判断当前路径是否连通，⽤【界限函数】（bound）判断当前路径是否⽐已经求得的最短路径⼩。

这两个判断任意⼀个不符，则做“剪枝操作”（不再对后续节点进⾏遍历）。

可以看出回溯法⽐穷举要⾼明的多。

这个回溯法和⼋皇后问题也有⼀些区别。

TSP问题需要构造⼀棵排列树：根节点为｛０｝第⼀层｛０,１｝第⼆层｛０,１,２｝，｛０,２,１｝第三层｛０,１,２,３｝，｛０,１,３,２｝，｛０,２,１,３｝，｛０,２,３,１｝，｛０,３,１,２｝，｛０,３,２,１｝……并且回溯法要求对图进⾏ＤＦＳ操作，即深度优先搜索。

因为需要⾸先⾸次找到最深处的节点，才能设置当前最优解，好让后续问题能有参考。

Java代码：1public class Main {23public static void main(String[] args) {4int[][] adjMatrix={5 {0,20,6,4},6 {20,0,5,10},7 {6,5,0,15},8 {4,10,15,0},9 };10 TSP problem=new TSP(adjMatrix);111213 }14 }1516class TSP{17int vexnum=0;//顶点数⽬18int adjMatrix[][];19 TSP(int[][] adjMat){20 adjMatrix=adjMat;21 vexnum=adjMatrix.length;22int init[]={0};23 Backtrack(1,init);24int a;25 a=0;26 }27int bestCost=0;28int[] bestX;//最优解向量29boolean isTraverseDeep=false;30//回溯法递归31//初始x：[0]32void Backtrack(int t,int[] x){//对顶点t进⾏操作，⽗结点的解向量是x，33if(t>=vexnum){//解向量的第⼀个元素应该是初始顶点，如0，最后⼀个元素也是034 x[t]=0;//最后⼀个节点赋值：0。

用遗传算法求解中国34个省会TSP问题一、TSP问题的描述旅行商问题（TSP）可以具体描述为：已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员从某一个城市出发，必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回到出发城市，如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短。

现给出中国34个省会数据，要求基于此数据使用遗传算法解决该TSP问题。

中国34省会位置city =1.西藏2.云南3.四川4.青海5.宁夏6.甘肃7.内蒙古8.黑龙江9.吉林10.辽宁 11.北京 12天津 13.河北 14.山东 15.河南 16.山西 17.陕西18.安徽 19.江苏20.上海 21.浙江 22.江西 23.湖北 24.湖南 25.贵州 26.广西27.广东28.福建 29.海南 30.澳门 31.香港 32.台湾 33.重庆 34.新疆像素坐标如下：Columns 1 through 11100 187 201 187 221 202 258 352 346 336 290 211 265 214 158 142 165 121 66 85 106 127 Columns 12 through 22297 278 296 274 265 239 302 316 334 325 293 135 147 158 177 148 182 203 199 206 215 233 Columns 23 through 33280 271 221 233 275 322 250 277 286 342 220 216 238 253 287 285 254 315 293 290 263 226 Column 34 104 77二、遗传算法的介绍2.1 遗传算法遗传算法的基本原理是通过作用于染色体上的基因寻找好的染色体来求解问题，它需要对算法所产生的每个染色体进行评价，并基于适应度值来选择染色体，使适应性好的染色体有更多的繁殖机会，在遗传算法中，通过随机方式产生若干个所求解问题的数字编码，即染色体，形成初始种群；通过适应度函数给每个个体一个数值评价，淘汰低适应度的个体，选择高适应度的个体参加遗传操作，经过遗产操作后的个体集合形成下一代新的种群，对这个新的种群进行下一轮的进化。

行程问题的九个公式行程问题（TravellingSalesmanProblem，简称TSP）在理解和解决许多实际问题（例如路由规划、车辆调度与最优路径搜索）方面都发挥着重要作用。

其主要研究内容是：在一定网络结构中，以某一源点为起点，按指定的顺序依次访问该网络中的其他结点，并且最终到达源点，构成一个闭环路径，该闭环路径的路径权值最小。

TSP的数学模型被称为旅行商问题，它的解表示最优路线以及最小距离，是人们研究图论一大难题。

研究行程问题需要使用一些特定的公式，下文将介绍求解TSP过程中使用到的九个公式。

第一个公式是显示型，即给定一个旅行商路径，可以算出它的路径权值：d(Pi, Pj)= d(i,j)+d(j,k)+... d(pk-1,pk)。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序。

第二个公式是移动型，即某一结点被插入到一条路径中时，其权值的增加量：d(i, j)+d(j, k)-d(i, k) 。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(i,k)表示从结点i到结点k的距离。

第三个公式是换位型，即某一结点在路径上两个相邻位置之间“移动”时，其权值变化：d(i, j)+d(k, l)-d(i, k)-d(j, l) 。

其中，d(i,j)和d(k,l)分别表示权值变化前的两条路径的长度，d(i,k)和d(j,l)表示权值变化后的两条路径的长度。

第四个公式是回头路检查型，即确定某结点是否能被加入某个方案的路径时：D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1,pk)+d(pk,i)。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k 时从k回到i的距离。

第五个公式是分支限界型，即确定当前搜索节点的最小路径权值时：D(i,j)= C(i,j)+f(i,j) 。

多目标旅行商问题（MO-TSP）是指在多个目标地点之间找到最优路径，使得旅行商能够同时满足多个旅行目标的问题。

这是一个复杂的组合优化问题，涉及到时间、成本、距离等多个目标的平衡。

针对这一问题，已经有许多算法被提出，比如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。

在本文中，我将针对用于解决多目标旅行商问题的算法进行深入剖析和讨论。

1. 遗传算法遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的优化方法，通过种群的进化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，遗传算法可以通过不断进化种群中的路径来寻找最佳的解决方案。

在每一代进化中，选择、交叉和变异等操作都会对种群进行改进，直到找到最优的解。

2. 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式算法，模拟金属退火过程中的晶粒结构变化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，模拟退火算法可以通过接受较差解的概率来跳出局部最优解，并在搜索空间中进行全局搜索，以找到更好的解。

3. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚁群寻食行为的启发式算法，模拟蚂蚁在搜索食物时释放信息素的过程。

在解决MO-TSP问题时，蚁群算法可以通过蚂蚁在路径上释放信息素的方式来寻找最优路径，蚁群不断更新信息素浓度，并通过信息素浓度来选择下一步的移动方向。

在实际应用中，这几种算法都有其优缺点，如何选择最合适的算法取决于实际问题的复杂度、目标要求和算法的性能。

在我看来，遗传算法在求解MO-TSP问题时具有良好的全局搜索能力，但对于大规模问题的收敛速度可能较慢；模拟退火算法适用于局部搜索和全局搜索的结合，但在处理多目标问题时需要合理设定参数；蚁群算法在求解路径优化问题时具有较好的鲁棒性和稳健性，但对于问题解空间的探索可能会存在过早收敛的问题。

MO-TSP问题是一个复杂的组合优化问题，需要综合运用各种启发式算法和元启发式算法，以及结合实际问题的特点和要求，才能找到最佳的解决方案。

通过对算法的深入理解和灵活运用，我们可以在实际问题中取得较好的优化效果。

2010年第5期(总第77期)边疆经济与文化THE BORDER ECONOMY AND CULT URENo 1512010General 1No 17710　B I A N J I A N G J I N G J I Y U W EN HUA【旅游经济】求解旅行商问题的几种解法高春涛(哈尔滨商业大学基础科学学院,哈尔滨150028)摘　要:旅行商问题(TSP )是一个典型的NP 完全问题,现在还没有找到有效的解法。

目前比较热门的求解TSP 问题的方法主要有四种:神经网络算法;模拟退火算法;遗传算法;蚁群算法。

关键词:旅行商问题;组合优化;解法中图分类号:F 592 文献标志码:A 文章编号:167225409(2010)0520010202收稿日期:2010201222作者简介:高春涛(1973),女,黑龙江拜泉人,讲师,硕士,主要从事混沌神经网络研究。

一、引言旅行商问题(Traveling Sales man Pr oble m ),是指给定n 个城市,任何两城市之间皆有路连通,其距离为已知,某旅行商从其中某城市出发,要经过每城市一次,且只能一次,最后又必须返回出发城市,要求找出最短的巡回路径。

由于在很多实际问题中,如印刷电路板的铅孔路线方案、连锁店的货物配送路线等问题经过简化处理,均可建模为旅行商问题,因而对旅行商问题求解方法的研究具有重要的应用价值。

旅行商问题是运筹学中有代表性的组合优化问题,也是典型的NP 完全问题。

虽然它陈述起来很简单,但求解却很困难,对于具有n 个城市的TSP 问题,其可能的路径数目为(n -1)!/2,至今尚未找到有效的求解方法,在理论上枚举法可以解决这一问题,但是当n 较大时,解题的时间消耗会使枚举法显得没有任何实际价值。

因此寻求一种求解时间短,能满足实际问题精度要求的解,成为解决该问题的主要途径。

二、TSP 求解方法求解旅行商问题的方法可以分为两大类,一类是精确算法,目的是要找到理论最优解;另一类是近似算法,其算法简单,计算量小,大多数情况下求得的满意解能满足要求。

旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。

最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。

目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。

规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。

以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。

多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。

如何确定最短路线。

TSP问题最简单的求解方法是。

它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。

可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。

求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。

2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。

TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。

3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。

基于动态规划算法的旅行商问题求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题。

它的任务是在给定一系列城市和每对城市之间的距离（或者称为成本），找到一条经过每个城市一次且回到起始城市的最短路径。

动态规划算法是求解旅行商问题的一种常用方法。

它基于以下思想：将大问题分解为若干个小问题，通过解决小问题的最优解来逐步得到大问题的最优解。

首先，我们需要定义旅行商问题的状态。

在本问题中，我们可以将状态定义为一个二元组 (i, S)，它表示旅行商当前所在的城市为 i，已经遍历过的城市集合为 S。

这里的状态空间是城市集合 C 的幂集除去空集：状态空间：C = {1, 2, ..., n}，其中 n 是城市的数量。

接下来，我们需要定义状态转移方程。

假设当前状态为 (i, S)，我们需要求解的是到达状态 (i, C) 的最短路径。

状态转移方程可以表示为：dp[i][S] = min{dist[i][j] + dp[j][S\{j}]}，其中 j∈S，j≠i其中，dp[i][S] 是从城市 i 出发，经过集合 S 中的城市，最后回到起始城市的最短路径长度。

dist[i][j] 表示城市 i 到城市 j 的距离。

S\{j} 表示从集合 S 中去掉元素 j 后的集合。

最后，我们需要定义问题的边界条件。

当集合 S 中只有一个城市 i 时，经过城市 i 后回到起始城市的路径长度就是从起始城市到达城市 i 的距离。

所以边界条件可以表示为：当 |S| = 1 时，dp[i][S] = dist[i][1]接下来，我们使用动态规划算法来解决旅行商问题。

1. 创建一个二维数组 dp[n][2^n]，其中 n 是城市的数量。

初始化数组 dp 的所有元素为无穷大。

2. 对于每个城市 i，将 dp[i][∅]（空集）的值设为 dist[i][1]。

3. 对于集合 S 的大小从 2 到 n-1 的每个值，依次遍历每个城市 i。

２００８年第４期福建电脑旅行商问题的几种解决途径沈润泉１，何本阳２（１．镇江高等专科学校电子信息系江苏镇江２１２００３２．同济大学计算机系上海２０００９２）【摘要】：旅行商销售问题是人工智能中遇到的一个课题，是用基于产生式系统的状态空间图来解决的，但其无论在时间复杂度，还是空间复杂度上都是比较大的，所以本文又阐述如何用最小生成树（Ｐｒｉｍ算法和Ｋｒｕｓｋａｌ算法）来解决这一问题。

【关键词】：产生式系统、状态空间图、最小生成树、Ｐｒｉｍ算法、Ｋｒｕｓｋａｌ算法１．问题的提出旅行商问题（ＴＳＰ）是伴随人工智能技术的发展而产生的，它是人工智能技术解决实际问题的一个典例。

这一问题的解决可以说在某种程度上增强人们对人工智能技术的信心，从而促进了人工智能学科的发展。

旅行商问题的描述：有Ｎ个城市由公路相互连通，从任一城市到另外城市都要支付相应的费用，一个销售商从其中一城市出发，访问其他Ｎ－１个城市仅且一次，问如何规划一条路径，使该旅行商的花费最少。

２．基于产生式系统的状态空间规划法首先扼要地介绍产生式系统［１］（ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ）的描述搜索过程的方法。

一般而言，一个产生式系统由三部分组成：一个总数据库，一套规则，一个控制策略。

下面我们用状态图示法（图１）来描述旅行商问题（以五个城市例，其他依次类推）。

其中城市分别用节点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ表示，各节点间弧线连接，并赋予对应权值（代价），以表示各城市间的交通费用。

该旅行商从城市Ａ出发，遍历所有其它城市，如何规划一条最低花费路线。

规则对应于决策：（１）下一步走向城市Ａ；（２）下一步走向城市Ｂ；（３）下一步走向城市Ｃ；（４）下一步走向城市Ｄ；（５）下一步走向城市Ｅ。

一条规则除非能够把某个数据库变为一个合法数据库，否则就不适用于这个数据库。

例如，应用＂下一步走向城市Ａ＂这条规则就不适用于尚未出现所有城市的任一数据库。

任一以Ａ城市为起点，且出现所有其它城市的总数据库，都满足终止条件。