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关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
TSP问题的近似算法近似算法是解决优化问题的一种有效方法，它可以在较短时间内得到一个接近最优解的解，而不是花费大量时间去寻找最优解。
TSP问题（Traveling Salesman Problem）是一个经典的优化问题，它的目标是找到一条经过所有城市的最短路径。
这个问题是一个经典的NP难题，意味着在合理的时间内找到准确的最优解是不可能的，最多只能得到近似解。
因此，近似算法在TSP问题中具有重要的应用价值。
常见的近似算法包括贪心算法、局部搜索算法、动态规划算法等。
下面我们将介绍其中几种经典的算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的近似算法。
它的基本思想是每次选择当前最优解，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，贪心算法的思路是从起点出发，每次选择距离当前城市最近的城市，直到遍历所有城市。
但是这种贪心策略往往不能得到最优解，因为它可能陷入局部最优解。
2. 局部搜索算法局部搜索算法是一种基于局部优化的近似算法。
它的基本思想是从一个随机的解出发，不断地进行局部搜索，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，局部搜索算法的思路是从一个随机的解出发，通过交换城市的顺序来不断优化当前解，直到达到一定的迭代次数或无法继续优化为止。
这种算法的优点是效率高，缺点是易陷入局部最优解。
3. 动态规划算法动态规划算法是一种基于状态转移的近似算法。
它的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题，通过按顺序解决子问题来求解原问题。
在TSP问题中，动态规划算法通过定义状态、状态转移方程和初始状态来求解最短路径。
其时间复杂度为O(n^2*2^n)，因此不适用于大规模的问题。
总结以上是常见的几种近似算法，在实际运用中可以根据问题的特点选择合适的算法。
虽然这些算法不能得到准确的最优解，但它们可以在短时间内得到一个接近最优解的解，具有重要的实际应用价值。
已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。
如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。
若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σd(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。
遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。
定义整数pop-size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。
适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。
[随机规划与模糊规划]选择过程：选择过程是以旋转赌轮pop-size次为基础，每次旋转都为新的种群选择一个染色体。
Hopfield神经网络求解TSP问题1.什么是TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），也是最优化问题。
一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
用数学语言描述TSP如下 :设有限个城市集合 : C = { C1 , C 2 , … , Cn }，每两个城市间的距离为 d（Ci，Cj）∈Z, 其中 Ci，Cj∈C（ 1<=i , j <=n), 即求 minL=∑d（Ci，Cj）的值的问题。
有效路径的方案数目为Rn=（（n-1）！/2）,例如:R4=3,R5=12,R6=120,R10=181440可见路径总数，随n增大而急剧增长,当城市数目增加到一定的程度,计算量增加到无法进行的地步，所以要选择一种合理快速的算法，而不能对所有情况使用人工列举的方法。
2.Hopfield神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。
这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的.最基础的为BP、Hopfield网络等。
Hopfield网络是一种互连型网络的一种，它引入类似于Lyapunov 函数的能量函数概念，把神经网络的拓扑结构(用连接权矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。
3.神经元的数学模型人的大脑是由大量神经细胞或神经元组成的。
每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式相互连接起来，构成大脑内部的生理神经元网络系统，他们中各个神经元之间连接的强弱不是固定不变的，而是按照外部的信号激励程度做自适应的变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。
旅行商问题应用题引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，其目标是在给定一组城市和城市之间的距离矩阵的情况下，寻找一条最短路径，使得所有城市恰好访问一次且最后回到起始城市。
本文将介绍旅行商问题的应用场景，并讨论如何解决该问题。
应用场景旅行商问题的应用广泛，以下是一些例子：物流配送在物流配送领域，快递员需要按照最短路径依次访问多个客户，以最大程度地减少路程和时间。
通过求解旅行商问题，我们可以确定最优的路线规划，提高物流效率。
电路板布线在电路板布线中，需要在不相互干扰的情况下，将多个元件连接起来。
通过将元件表示为城市，元件之间的连接成本表示为城市之间的距离，可以将布线问题转化为旅行商问题。
求解旅行商问题可以找到最优的布线方案，提高电路板的性能。
DNA测序在生物学领域中，DNA测序是一项非常重要的任务。
通过旅行商问题，可以确定测序机器在测序多个DNA样本时的最短路径，以减少测序时间和成本。
解决方法求解旅行商问题有多种方法，常见的有贪心算法、动态规划算法和遗传算法等。
下面分别简要介绍这些方法：贪心算法贪心算法是一种简单而常用的方法，它通过局部最优的选择来进行整体的优化。
在旅行商问题中，贪心算法每次选择最近的未访问城市进行访问，直到所有城市都被访问。
然而，贪心算法不能保证找到全局最优解，可能会陷入局部最优。
动态规划算法动态规划算法采用自底向上的方式，通过将问题分解为子问题，并使用一个表格来存储已解决的子问题的最优解，从而逐步求解整体问题。
在旅行商问题中，动态规划算法通过填充一个二维表格来记录每个子问题的最优解，最后得到全局最优解。
但是，动态规划算法的时间复杂度较高，不适用于问题规模较大的情况。
遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
在旅行商问题中，遗传算法通过模拟基因的遗传、交叉和变异过程，生成多个路径方案，并利用适应度函数来评估每个方案的优劣，最终选择适应度较高的方案作为最优解。
求解TSP问题的几种算法比较侯淑静【摘要】The traveling salesman problem (TSP) is an important problem for the classical discrete optimization, which is very important to study the solving algorithm. After the introduction of the greedy algorithm, taboo search algorithm, simulated annealing algorithm, genetic algorithm, the author put forward the corresponding algorithm. Aiming at the four typical examples in the test base, we realized implementation of these algorithms with procedures, and the running time and the results of these algorithms are compared. The results show that the greedy algorithm can draw the solution in a short time, the taboo search algorithm and genetic algorithm have the same effect, and the results of simulated annealing algorithm is better than those of genetic algorithm.%旅行售货商问题(简称TSP )是离散优化的一个经典的重要问题，对求解算法的研究非常重要。
回溯法旅⾏商问题（TSP问题）学习链接：、今天早上做了⽆数个梦，然后被紧紧地吸附在床上。
挣扎⼀番后爬起来，已经是9点了。
然后我开始研究旅⾏商问题。
在⼀个⽆向图中找到⼀个可以遍历所有节点的⼀个最短回路。
理论上说可以⽤全排列列出所有解的下标，然后⼀个⼀个试，时间复杂度o(n!)。
但是可以⽤回溯法，⽤【约束函数】（constraint）判断当前路径是否连通，⽤【界限函数】（bound）判断当前路径是否⽐已经求得的最短路径⼩。
这两个判断任意⼀个不符，则做“剪枝操作”（不再对后续节点进⾏遍历）。
可以看出回溯法⽐穷举要⾼明的多。
这个回溯法和⼋皇后问题也有⼀些区别。
TSP问题需要构造⼀棵排列树：根节点为｛０｝第⼀层｛０,１｝第⼆层｛０,１,２｝，｛０,２,１｝第三层｛０,１,２,３｝，｛０,１,３,２｝，｛０,２,１,３｝，｛０,２,３,１｝，｛０,３,１,２｝，｛０,３,２,１｝……并且回溯法要求对图进⾏ＤＦＳ操作，即深度优先搜索。
因为需要⾸先⾸次找到最深处的节点，才能设置当前最优解，好让后续问题能有参考。
Java代码：1public class Main {23public static void main(String[] args) {4int[][] adjMatrix={5 {0,20,6,4},6 {20,0,5,10},7 {6,5,0,15},8 {4,10,15,0},9 };10 TSP problem=new TSP(adjMatrix);111213 }14 }1516class TSP{17int vexnum=0;//顶点数⽬18int adjMatrix[][];19 TSP(int[][] adjMat){20 adjMatrix=adjMat;21 vexnum=adjMatrix.length;22int init[]={0};23 Backtrack(1,init);24int a;25 a=0;26 }27int bestCost=0;28int[] bestX;//最优解向量29boolean isTraverseDeep=false;30//回溯法递归31//初始x：[0]32void Backtrack(int t,int[] x){//对顶点t进⾏操作，⽗结点的解向量是x，33if(t>=vexnum){//解向量的第⼀个元素应该是初始顶点，如0，最后⼀个元素也是034 x[t]=0;//最后⼀个节点赋值：0。
用遗传算法求解中国34个省会TSP问题一、TSP问题的描述旅行商问题（TSP）可以具体描述为：已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员从某一个城市出发，必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回到出发城市，如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短。
现给出中国34个省会数据，要求基于此数据使用遗传算法解决该TSP问题。
中国34省会位置city =1.西藏2.云南3.四川4.青海5.宁夏6.甘肃7.内蒙古8.黑龙江9.吉林10.辽宁 11.北京 12天津 13.河北 14.山东 15.河南 16.山西 17.陕西18.安徽 19.江苏20.上海 21.浙江 22.江西 23.湖北 24.湖南 25.贵州 26.广西27.广东28.福建 29.海南 30.澳门 31.香港 32.台湾 33.重庆 34.新疆像素坐标如下：Columns 1 through 11100 187 201 187 221 202 258 352 346 336 290 211 265 214 158 142 165 121 66 85 106 127 Columns 12 through 22297 278 296 274 265 239 302 316 334 325 293 135 147 158 177 148 182 203 199 206 215 233 Columns 23 through 33280 271 221 233 275 322 250 277 286 342 220 216 238 253 287 285 254 315 293 290 263 226 Column 34 104 77二、遗传算法的介绍2.1 遗传算法遗传算法的基本原理是通过作用于染色体上的基因寻找好的染色体来求解问题，它需要对算法所产生的每个染色体进行评价，并基于适应度值来选择染色体，使适应性好的染色体有更多的繁殖机会，在遗传算法中，通过随机方式产生若干个所求解问题的数字编码，即染色体，形成初始种群；通过适应度函数给每个个体一个数值评价，淘汰低适应度的个体，选择高适应度的个体参加遗传操作，经过遗产操作后的个体集合形成下一代新的种群，对这个新的种群进行下一轮的进化。
