测量误差和测量不确定度(一般检测机构)教材

1 测量误差和测量不确定度一、测量误差 （一）测量和误差 1、测量的概念 测量是指以确定量值为目的的一组操作。任何测量结果都含有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程之中。测量按获得测量值的方法可分为直接测量、间接测量和组合测量；按测量条件的异同，测量可分为等精度测量和不等精度测量。 等精度测量也叫在重复性条件下测量，重复性测量条件为 ① 相同的测量程序； ② 相同的观测者； ③ 在相同的条件下，使用相同的测量仪器； ④ 相同的地点； ⑤ 在短时间内重复测量。 2、测量误差的概念 测量误差是指测量结果减去被测量的真值。常用的误差表示方法有：绝对误差、相对误差和引用误差。 （1）绝对误差 绝对误差，即测量误差的定义

0xxai （2-3-1）

式中：a——绝对误差； ——测量误差

xi——测量结果或测得值； x0——被测量的真值。 （2）相对误差 相对误差，即测量误差（绝对误差）除以被测量的真值。由于真值通常是未知的，所以实际上用的是约定真值，当误差较小时，约定真值可用测得值代替，并用百分数表示

ixaxaxar00（100%） （2-3-2） 式中：r——相对误差； x0′——约定真值； a、xi、x0——同式（2-3-1） （3）引用误差 引用误差即测量仪器的误差除以仪器的特定值，该特定值一般称为引用值，可以是测量仪器的量程或标称范围的上限。引用误差可用百分数表示为

%xxrmn100 （2-3-3）

式中：rn——测量仪器的引用误差； x——测量仪器的绝对误差，常用示值误差表示； xm——测量仪器的量程或标称范围的上限。 仪器的准确度等级，就是根据它允许的最大引用误差来划分的。0.1级表，表示该仪器允许的最大引用误差限为0.1%。以rnm表示之

%xxrmmmn100 （2-3-4） 2

式中：rnm——最大引用误差； mx——仪器标称范围内出现的最大示值误差； xm——同式（2-3-3）。 3、测量误差的来源 测量误差的来源主要是“人、机、料、法、环”五个方面的误差。 （1）测量设备误差 测量设备本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化等所引起的误差。 （2）方法误差 测量方法不完善，主要为测量技术及操作和数据处理所引起的误差。 （3）环境误差 测量环境的各种因素，如温度、湿度、气压、含尘量、电场、磁场与振动等所引起的误差。 （4）人员误差 由测量人员的生理机能和实际操作，如视觉、听觉的的限制或固有习惯、技术水平以及操作失误等所引起的误差。 （5）被测对象变化误差 被测对象自身在整个测量过程中处在不断变化着，如被测光度灯的光度、被测量块的尺寸等所引起的误差。 4、测量误差的分类 按误差的性质或出现的规律来分，测量误差可分为二类：系统误差和随机误差。 （1）系统误差和随机误差的概念 ①系统误差——在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即

0101limxxxxεniinni (2-3-5)

式中：iε——系统误差；

xi——对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值； x0——被测量的真值。 系统误差按其呈现特征可分为定值系统误差和变值系统误差。定值系统误差可分为恒正定值和恒负定值系统误差；而变值系统误差又可分为线性、周期性和复杂规律系统误差。 ②随机误差——测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量测得结果的平均值之差。即

xxxxδiniinnii11lim （2-3-6）

式中：iδ——随机误差；

xi——测量结果； x——同式（2-3-5）。 ③测量误差和系统误差、随机误差关系

由（2-3-5）式可知：0xxεi （2-3-6）式可知：xxδii 根据（2-3-1）式：iiiiεδxxxxxx00Δ （2-3-7） 由此可知：测量误差等于系统误差和随机误差的代数和。这是VIM“国际通用计量学基本术语”1993年第二版所给出的新定义后而成立的。 （二）随机误差和系统误差 3

1、随机误差 （1）正态分布 1）、正态分布的特性 经统计分析，许多随机误差服从正态分布，它有三种特性： a、对称性：绝对值相等的正负误差出现的可能性相等； b、单峰性：绝对值小的误差出现的可能性大，绝对值大的误差出现的可能性小； c、有界性：随机误差的绝对值不会超过某一界限。 2）、以正态分布为例,统计中常见术语说明（见图2-3-1） a、置信水准（置信概率、置信水平）以p表示； b、显著性水平（置信度）以表示，=1－p； c、置信区间以[－kσ，kσ]表示； d、置信因子以k表示，当分布不同时，k值也不同。 3）、正态分布的随机误差表示法——实验标准差（见图2-3-1）

①密度函数：22221)(xexf 式中：e——自然对数的底（e=2.71828）； x——随机误差； σ——标准偏差； σ2——方差。 ——上述正态分布密度函数，又称高斯曲线。

②数学期望：0)(·)(dxxfxx

③方差：niinxndxxfx1222)(1lim 当用算术平均值x代替数学期望时，则 ④标准偏差：1112222112nυυυxxnxsnniii （2-3-8） 式中：n——测量次数； xi——第i次测得值；

niixnx1

1

——n次测得值的算术平均值；

xxi——第i次测得值与平均值之差，称为残余误差或残差。

式（2-3-8）即贝塞尔（Bessel）公式。 由于n为有限次，所以以上标准偏差，称为实验标准偏差，亦称标准差或均方根差，对同一量（x）进行有限(n)次测量,其测得值(xi)间的分散性可用标准差s（xi）来表述。

可以导出,测量列平均值x的标准差)(xs比标准差)(ixs小n倍，即

nxsxsi)()( （2-3-9）

值得指出的是，)(ixs是n次中单次测量的实验标准差，而)(xs是测量列算术平均值的实验标

)(xf p -3σ 0 3σ x 图2-3-1 正态分布

2 2

 4 )(f )(xf a1

-a 0 a 图2-3-3 三角分布 x

准差。由于随机误差具有抵偿性，故平均值的实验标准差比单次测量值的实验标准差小，且按n1

速度进行。 ⑤分布例子： a、重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值分布； b、用扩展不确定度Up给出、而对其分布又无特殊指明； c、合成不确定度uc(y)中，相互独立分量ui(y)较多，大小接近； d、合成不确定度uc(y)中，相互独立分量ui(y)中，存在2个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布； e、合成不确定度uc(y)中，相互独立分量ui(y)中，量值较大的分量接近正态分布。 （2）非正态分布的随机误差表示方法 1)、均匀分布（矩形分布（见图2-3-2）

①密度函数：axf21)(

②数学期望：aaaadxaxdxxxfxμ02)()( ③方差：3221222)(aaaaaadxxdxxfxσ ④标准偏差：3

aσ(a为置信水准区间的半宽度)（2-3-10）

⑤分布例子 a、按级使用的仪器仪表最大允许误差导致的不确定度； b、数据修约导致的不确定度； c、数字式测量仪器对示值量化（分辨力）导致的不确定度； d、模拟式仪表读数误差引起的不确定度； e、用上、下界给出的线膨胀系数； f、缺乏任何其它信息时，一般假设为均匀分布。 2)、三角分布（见图2-3-3） ①密度函数：

2a

xa （-a≤x≤0）

2a

xa （0≤x≤a）

②数学期望：0·)(·2002dxaxa·xdxaxaxdxxfxxμaaaa ③方差：aaaaadxaxaxdxaxaxdxxfxσ0222022226· ④标准偏差：6

aσ （2-3-11）

)(xf a21

-a 0 a 图2-3-2 均匀分布

x 5 xf

)(νt

)(νpt 0 )(νpt x

)(xf -a 0 a x 图2-3-5 反正弦分布

⑤分布例子： a、相同修约间隔给出的两独立量之和或之差，由修约导致的不确定度； b、因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度； c、用替代法检定标准砝码、电阻时，两次调零不准导致的不确定度； d、两相同均匀分布的合成。 3）、梯形分布（见图2-3-4） ①密度函数：

22baa

 (-a≤x≤-b)

)(xf = ba1

(-b≤x≤b)

22baa

 (b≤x≤a)

②数学期望：0)(x

③标准偏差：)(616222ababa （2-3-12） 式中：当b=0即β=0，则6a 当a=b即β=1，则3a ④分布例子 两独立均匀分布（a2＞a1）之和所导致的不确定度； 4）、反正弦分布（见图2-3-5）

①密度函数：221)(xaπxf （-a≤δ≤a）

②数学期望：0)(x ③标准差：2a （2-3-13） ④分布例子：服从均匀分布变量的正弦或余弦函数，则服从反正弦分布。 a、度量偏心引起的测角不确定度； b、正弦振弦引起的位移不确定度； c、无线电中失配引起的不确定度； d、随时间正余弦变化的温度不确定度。 5）、t分布——学生分布（见图2-3-6）

①标准偏差)()(xsxtσp （2-3-24）

式中：tp——置信概率 ν——自由度 ②t分布是一般形式，而标准正态分布N（0，1）是其特殊形式，t（ν）成为标准分布的条件是当自由度ν趋于∞。tp（ν）为临界值，它可作为包含因子，即k=tp（ν）之用。 ③分布例子：

在不确定度评定中，既有正态分布，又有较多的均匀分布或其他分布时，其包含因子用tp（ν）处理。

6）、不同分布与p、k、σ的关系（见表1-3-1）

)(xf ba1

-a -b 0 b a x 图2-3-4 梯形分布