【高考领航】2015北师大数学(理)总复习 第5章-第3课时 等比数列及其前n项和Word版含解析]

2015年高考数学一轮复习 真题模拟汇编 5-3 等比数列及其前n 项和 理1. [2013·某某调研]已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A. 52B. 7 C. 6 D. 4 2解析：由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(±a 2a 8)3＝(±5016)3＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.答案：A2. [2014·某某质检]已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A. 2B. 4C. 5D. 52 解析：依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B.答案：B3. [2014·海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.解析：因为a 6－a 5＝2(S 5－S 4)＝2a 5，所以a 6＝3a 5.所以q ＝3.答案：34. [2013·某某高考]设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：由已知得a n ＝(－2)n －1，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15. 答案：155. [2012·某某高考]已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12，又a 25＝a 10＝a 1q 9>0，所以a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.所以由a 25＝a 10，即(a 1q 4)2＝a 1q 9，得a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.答案：2n。

(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a1n}， {a2n}，{an·bn}，{abnn}(λ≠0)仍是等比数列.
第三页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，
错误的打“×”)
(1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数 列( )
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变式训练 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn ＋1＝4an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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【解】 (1)∵Sn＋1＝4an＋2， ∴S2＝4a1＋2，即 a1＋a2＝4a1＋2， ∴a2＝3a1＋2＝5， ∴b1＝a2－2a1＝3. 又 an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an＋2－(4an－1＋2)＝4an－4an－ 1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)， 即 bn＝2bn－1(n≥2)，
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(2)由(1)知 cn＝－12×12n－1＝－12n， 又 cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－12n， ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1 －12n＝12n. 又 b1＝a1＝12，适合上式，故 bn＝12n.
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【解析】 (1)法一 由题意得 a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2， a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，
∴qa31＝ ＝1－，2，
或q3＝－12， a1＝－8.

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n 项和教学案文含解析北师大版第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.(5)当q ≠－1时，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列． [常用结论]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n(k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． ( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ．( ) (3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C [公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________.4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52，解得q ＝12或q ＝2.又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________. 6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n＝126，∴21－2n1－2＝126，解得n＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )A．1 B．5 C．3148D．1116D[由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，∴1＋q＝2q2，解得q＝－12或q＝1(舍)．∴S5＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－1251－⎝⎛⎭⎪⎫－12＝23×3332＝1116，故选D．]2．(2017·江苏高考)等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.32 [设{a n}的首项为a1，公比为q，则⎩⎪⎨⎪⎧a11－q31－q＝74，a11－q61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.[解](1)设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1.(2)若a n＝(－2)n－1，则S n＝1－－2n3.由S m＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n＝2n－1，则S n＝2n－1.由S m＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.[规律方法]解决等比数列有关问题的两种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a n}的前n项和S n＝na1；当q≠1时，{a n}的前n项和S n＝a11－q(1－q n)(q＜1)或S n ＝a1q－1(q n－1)(q＞1).等比数列的判定与证明【例1】(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝a nn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．[解](1)由条件可得a n＋1＝2n＋1na n.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){b n}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n＋1n＋1＝2a nn，即b n＋1＝2b n，又b1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a nn＝2n－1，所以a n＝n·2n－1.[规律方法]等比数列的判定方法(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1 等比数列项的性质【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.(1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×1－251－2＝31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1[(1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q＝48，①a 11－q 2n1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n＝14.③将③代入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 11－q 3n 1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝S 2n －S n2S n＋S 2n ＝60－48248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n＝S 2n －S n S n ＝14， 所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64， 所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.][规律方法] 应用等比数列性质解题时的两个关键点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(1)已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2 (2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 (1)B (2)B [(1)a 5·a 7＝a 26＝4a 24， ∴a 6＝2a 4，则a 6a 4＝q 2＝2. ∴q ＝2，从而a 1＝12＝22，故选B ． (2)S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q2a 41＋q2＝1q＝25＋1＝25－15＋15－1＝5－12，故选A ．] (2)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. ①求{a n }的通项公式； ②求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝eln 2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．[规律方法] 等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q )充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d2＝a 1＋d a 1＋7d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n .(2)由(1)得a n＝n，∴b n＝2n，∴b n＋1b n＝2，∴{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴T n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( ) A．2 B．1 C．12D．18C[法一：∵a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)，∴a24＝4(a4－1)，∴a24－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝a4a1＝214＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝14×2＝12，故选C．法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝14代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝12，故选C．]2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n＝( )A．n(n＋1) B．n(n－1)C．n n＋12D．n n－12A[由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴S n ＝2n＋n n－12×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.－8 [设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，①a1(1－q2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.。

(2)法一：由(1)知：2an＋1＝an＋1. ∴2an＝an－1＋1，∴2an＋1－2an＝an－an－1， ∴2cn＋1＝cn(n≥2)． 1 3 又 c1＝a1＝ ，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝ . 2 4 3 1 1 1 ∴c2＝ － ＝ ，c2＝ c1. 4 2 4 2 1 1 ∴数列{cn}是首项为 ，公比为 的等比数列． 2 2 1 1n－1 1n ＝ . ∴cn＝ · 2 2 2
n－1
1 － . 2
n－1
答案：2 2
1 － 2
3． (2012 年北京东城区模拟)设数列{an}满足： 2an＝an＋1(n∈N＋)， S4 且前 n 项和为 Sn，则 的值为( a2 15 A. 2 C．4 答案：A 15 B. 4 D．2 )
二、等比数列的有关性质 在等比数列中常用的性质主要有： 1．对于任意的正整数 m，n，p，q，若 m＋n＝p＋q，则 am· an ＝ap· aq，特别地，若 m＋n＝2p，则 am· an＝a2 p. 2．对于任意正整数 m，n，有 an＝amqn－m. 1 3．若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{a2 } ， { }也 n an 是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an· bn}也是等比数列．
时，{an}是递减数列．
当 q＝1 时，数列{an}是常数列， 当 q＜0 时，数列{an}是摆动数列，各项正负号相间．
4．(2011 年广东高考)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3 ＝4，则此数列的公比 q＝________. 解析：由题意得 2q2－2q＝4，解得 q＝2 或 q＝－1.又{an}单调递 增，得 q>1，∴q＝2. 答案：2
而找出 an＋1－1 与 an－1 的关系，即构造出 bn＋1 与 bn 的关系，即可 证明{bn}是什么数列． (2)由 bn 可求得 an，从而可求得 cn.