直线与圆知识点以及经典例题总结归纳

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一. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线与圆的位置关系教学目标:1.了解直线与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。

2.了解切线与割线的概念。

3.了解圆与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与圆的三种位置关系的方法。

重点：理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。

难点：直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用；【知识精要】知识点1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念（1）圆的割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

例题1下列说法正确的有（）①圆的切线只有一条；②若直线与圆不相切，则直线与圆相交；③若直线与圆有公共点，则直线与圆相交；④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）0个例题2如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，点C在⊙O上。

如果∠P=500，那么∠ACB等于（）（A）400 （B）500 （C）650 （D）1300知识点2 直线与圆的位置关系的性质和判定如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 与⊙O 相交＜r ；（2）直线l 与⊙O 相切；（3）直线l 与⊙O 相离＞ r ；例题3设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：例题4菱形对角线的交点O ，以O 为圆心，以O•到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定例题5（2009年新疆）如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．知识点3 切线的判定及性质1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

（注由性质定理可得出以下结论（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）切线与圆只有一个公共点；（3）切线与圆心的距离等于半径。

）2）切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（注证明圆的切线时，常用的添加辅助线的方法有①若所给直线与圆有公共点，则联接过公共点的半径，证半径与直线垂直，简记为联半径，证垂直；②若所给直线与圆没有公共点，则过圆心做直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，简记为做垂直，证半径。

）例题5判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点。

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

例6（2009年恩施市）如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为AB 上一点，以O 为圆心、OB 长为半径的圆交BC 于D ，DE AC ⊥交AC 于E ．（1）求证:DE 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙与AC 相切于F ，35cm sin 5AB AC A ===，，求⊙O 的半径的长．例题7 如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证AC 与⊙O 相切.例8 已知Rt △ABC 的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.(1)以点C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切?(2)以点C 为圆心,分别以2cm,4cm 为半径作两个圆,这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系?例9、如下图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT ＝AB ．求证：AT 是⊙O 的切线．A CB┐自我检测1．已知⊙O的半径为5㎝，点P到圆心O的距离为6㎝，那么点P的位置（）A.一定在⊙O的内部B.一定在⊙O的外部C.一定在⊙O的上D.不能确定2.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（）A．12AD BC= B．12AD AC= C．AC AB> D．AD DC>3.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60︒，则OP＝( )A．50 cm B．253cm C．3350cm D．503cm4.⊙O的半径为4㎝，若线段OA的长为10㎝，则OA的中点B在⊙O的____；若线段OA的长为7㎝，则OA的中点B在⊙O的____．外，5.如图，等边三角形ABC的内切圆半径为3，则ABC△的周长为．6.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、21BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．7.如图，等腰OAB △中，OB OA =，以点O 为圆心作圆与底边AB 相切于点C ．求证：BC AC =．自测答案：BAA 内或120精选习题一、填空题：1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C 为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线AB 的位置关系是________.2.如图1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A 与BC 相切于点D,与AB 相交于点E,则∠ADE 等于____度.P O EC D BAPC(1) (2) (3)3.如图2,PA 、PB 是⊙O 的两条切线,A 、B 为切点,直线OP 交⊙A 于点D 、E,交AB 于C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).4.已知⊙O 的半径为4cm,直线L 与⊙O 相交,则圆心O 到直线L 的距离d 的取值范围是____.5.如图3,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B,且∠APB=50°,点C 是优弧 AB 上的一点,则∠ACB 的度数为________.6.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D 、E 、F 为切点,∠DOB=73°, ∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度. 二、选择题：7.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O 为圆心,6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定8.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.如L 是⊙O 的切线,要判定AB ⊥L,还需要添加的条件是( )A.AB 经过圆心OB.AB 是直径C.AB 是直径,B 是切点D.AB 是直线,B 是切点FO EDBA10.设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( ) A.d=m B.d>m C.d>2m D.d<2m 11.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( ) A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切 12.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D, 使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51° 三、解答题：13.如图,AB 是半圆O 的直径,C 为半圆上一点,过C 作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD 交半圆于E,交过C 点的切线于点D.(1)试判断AD 与CD 有何位置关系,并说明理由;(2)若AB=10,AD=8,求AC 的长.14.如图,BC 是半圆O 的直径,P 是BC 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A,∠B=30°. (1)试问AB 与AP 是否相等?请说明理由.(2)若求半圆O 的直径.15.如图,∠PAQ 是直角,半径为5的⊙O 与AP 相切于点T,与AQ 相交于两点B 、C. (1)BT 是否平分∠OBA?证明你的结论. (2)若已知AT=4,试求AB 的长.POCDBA归纳总结： 1.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 2.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

(完整版)直线与圆知识归纳

直线与圆◆知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

直线与圆的位置关系知识点及例题

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

学生版高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心，半径为；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外； ②P 在在圆C 内； ③P 在在圆C 上；【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离； ②两圆外切； ③两圆相交； ④两圆内切 ⑤两圆内含；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。