内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
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内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
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内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）
A． （1，2） B． {1，2} C． {﹣1，﹣2} D．（0，+∞）
2．（5分）若复数z满足（i是虚数单位），则z=（）
A． B． C． D．
3．（5分）已知a=3，b=log2，c=log，则（）
A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞a＞b D．c＞b＞a
4．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）
A． ∃x∈R，sinx≥1 B． ∃x∈R，sinx＞1 C． ∀x∈R，sinx≥1 D．∀x∈R，sinx＞1
6．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）
A． 6 B． 5 C． 4 D．3
7．（5分）曲线f（x）=x3+x在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（） 内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
- 2 - / 20 A． （1，2） B． （1，2）或（﹣1，﹣2） C． （2，10） D． （2，10）或（﹣1，﹣2）
8．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（）
A． （2，） B． （2，） C． （4，） D．（4，）
10．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若m⊂α，m∥n，则n∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（）
A． ①② B． ①②③ C． ②③④ D．①③④
11．（5分）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A． [﹣，] B． [﹣2，2] C． [﹣1，1] D．[﹣4，4]
12．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
- 3 - / 20 13．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线一条渐近线的方程是x+2y=0，则该双曲线的离心率是．
14．（5分）某校歌咏比赛，据统计，报名的学生和教师的人数之比为5：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为0.1，则报名的学生人数是．
15．（5分）已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值是．
16．（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是．
三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：C1D⊥平面BDC；
（Ⅱ）设AA1=2，求几何体C﹣BC1D的体积． 内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
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19．（12分）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l和椭圆交于两点A，B，且=2，求直线l的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．
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- 5 - / 20 四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，直线切⊙O于点，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（I）求证：△ABE≌△ACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．
24．若a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求证：﹣≤ab+bc+ca≤1．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）
A． （1，2） B． {1，2} C． {﹣1，﹣2} D．（0，+∞）
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 集合A表示的是对数函数的定义域，令真数大于0求出A，利用交集的定义求出A∩B．
解答： 解：∵A={x|y=lnx}={x|x＞0} 内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
- 6 - / 20 又∵B={﹣2，﹣1，1，2}，
∴A∩B={1，2}
故选B
点评： 本题考查求对数函数的定义域、考查利用交集的定义求集合的交集．
2．（5分）若复数z满足（i是虚数单位），则z=（）
A． B． C． D．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
分析： 由复数方程，直接求z的表达式，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式．
解答： 解：==，
故选A．
点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）已知a=3，b=log2，c=log，则（）
A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． c＞a＞b D．c＞b＞a
考点： 对数值大小的比较．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用指数函数和对数函数的单调性求解．
解答： 解：∵0＜a=3＜30=1，
b=log2＜log21=0，
c=log＞，
∴c＞a＞b．
故选：C．
点评： 本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．
4．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（） 内蒙古赤峰市宁城县2015届高三上学期摸底统考数学试卷(文科)-Word版含解析
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A． B． C． D．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．
解答： 解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，
如图所示：
所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．
故选A．
点评： 本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p是（）
A． ∃x∈R，sinx≥1 B． ∃x∈R，sinx＞1 C． ∀x∈R，sinx≥1 D．∀x∈R，sinx＞1
考点： 特称命题；命题的否定．
专题： 计算题．
分析： 根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx＞1．
解答： 解：根据全称命题的否定是特称命题可得，
