沪教版初二上册二次根式的运算(提高)知识讲解

16.2最简二次根式和同类二次根式

考点一、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

考点二、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

要点：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

要点：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.

题型1：最简二次根式的概念

1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）

A．2 B．9 C．12 D．47

A

【分析】

利用最简二次根式定义判断即可．

A：2是最简二次根式，符合题意；

B：93，不符合题意；

C：1222，不符合题意；D：42777，不符合题意；

故选：A．

【点睛】

此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 2．下列根式2xy，8，2ab，35xy，xy，12中，最简二次根式的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．6个 D．5个

A

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解：2xy符合最简二次根式的条件；

8=22，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；

2ab=22ab，被开方数含分母，不是最简二次根式；

16.3.2二次根式的加减及混合运算

考点一、二次根式的加减

1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

要点：

（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.

（2）二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

3)合并同类二次根式.

考点二、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

题型1：二次根式的加减法1-数字型

1．82的计算结果是（ ）

A．5 B．10 C．32 D．42

C

【分析】

根据二次根式的运算法则即可求解．

82=8222232,

故选C．

【点睛】

此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

2．化简：273______．

23【分析】

先进行化简，然后作差求解即可．

解：原式333 23故答案为：23．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．

3．计算：188______．

52【分析】

首先化简二次根式，进而合并求出即可．

解：原式322252．

故答案为：52．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

题型2：二次根式的加减法2-字母型

4．计算：（1）11233________； （2）34xx_________．

16.3.1二次根式的乘除

考点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

;

≥0，≥0，…..≥0）;

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

2.积的算术平方根

（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

考点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..

要点：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根的性质 （a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

题型1：二次根式的乘法1-数字型

1．计算0.41.6的值是（ ）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

D

【分析】 根据二次根式乘法法则计算即可．

原式0.41.60.640.8．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．

八年级第一学期数学辅导（二次根式全章题型归纳）

【题型1：二次根式的概念】

1、当x______时，根式34x有意义；当x______时，根式2xx有意义；

2、3aaa成立的条件是_________；当x______时，22(25)(25)xx；

3、当x______时，根式2x有意义；当x______时，根式23x无意义；当x______时，根式2||2xx有意义；当x 时，2223xxx有意义；

4、252533xxxx成立的条件是_________；若255xxxx，则x的取值范围是_________；

【题型2：二次根式的性质】

1、化简：（直接写答案）①13=_________；②449=_________③221312=_________④42(0)aaba_________；⑤22()()(0,0)xyxyxy=_________；⑥1aa=_________；

2、代数式2172(7)aaaa=_________；

3、化简：251(2)()364abab=_____________；

4、把代数式1(1)1xx根号外的因式移入根号内，则原式等于___________；

5、化简：3422abccab=__________；

6、若化简2|1|816xxx的结果为25x，则x的取值范围是__________； 7、如果||1aa，那么2|21|221aaa=_________；

8、代数式3ab的最大值为_________；这时,ab的关系是_________；

9、已知2,20ab，用,ab的代数式表示0.016=_________；

10、若△ABC的三边长分别为,,abc，且满足2123680aab，则最大边c的取值范围为____________。