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高中数学 定积分与微积分基本定理 4_5_1 曲边梯形的面积 4_5_2 计算变力所做的功基础达标

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4.5 定积分与微积分基本定理

4．5.1 曲边梯形的面积

4．5.2 计算变力所做的功

基础达标 限时20分钟

1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于 ( )．

A.1n B.2n

C.12n D.3n

答案 B

2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平

均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为 ( )．

A．200 B．210

C．190 D．220

答案 A

3．关于近似替代下列说法正确的是 ( )．

A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代

B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代

C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代

D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代

答案 D

4．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．

答案 32

5．一物体的速度与时间的关系式为v＝12t2，则在从开始到1秒内运动的路

程为________．

答案 16

6．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.

解 ①分割

把区间[0,1]等分成n个小区间i－1n，in(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝1n，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n) ②近似代替

用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．

ΔSi＝fi－1nΔx＝1＋i－1n21n(i＝1,2，…，n)．

③求和

i＝1nΔSi＝i＝1n 1n1＋i－1n2

＝1n1＋1＋…＋1＋12＋22＋…＋n－2n2

＝1nn＋1n2×n－nn－6＝1＋131－1n1－12n.

④取极限

当n→∞时，i＝1nΔSi→1＋13＝43.

因此S＝43.

综合提高 限时25分钟

7．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上 ( )．

A．f(x)的值变化很小

B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化

D．当n很大时，f(x)的值变化很小

解析 当n很大时，区间i－1n，in的长度1n越小，f(x)的值变化很小．

答案 D

8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上的值可以用下列哪个值近似

地代替 ( )．

A．f1n B．f2n

C．fin D．f(0)

解析 当n很大时，f(x)＝x2在i－1n，in上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替． 答案 C

9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．

答案 4

10．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，

把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．

答案 1.02

11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．

解 (1)化整为零，插入等分点．

将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点

1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，1.

简写作：i－1n，in(i＝1,2，…，n)．

每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.

过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.

(2)以直代曲，估计误差．

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．

在小区间i－1n，in上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，

为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝i－1ni－1n－1为一边，以小区间长度Δx＝1n为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：

ΔSi≈f(xi)·Δx＝i－1ni－1n－1·1n(i＝1,2，…，n)．

(3)积零成整，精益求精．

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：

S＝i＝1nΔSi≈i＝1nf(xi)Δx＝i＝1n i－1ni－1n－1·1n＝－161－1n2.① 当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．

Δx趋于0时，S趋于－16(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是16.

12．(创新拓展)设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F

＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同，求F对质点m所作的功．

解 将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为9n.

在1＋i－n，1＋9in上取xi＝1＋9ni.

∴Fi＝x2i＋1＝1＋9ni2＋1，Wi＝Fi9n＝

9n1＋9ni2＋1＝18n＋729n3i2＋162n2i.

i＝1nWi＝18＋729n3×nn＋n＋6＋162n2×nn＋2＝18＋24321＋1n2＋1n＋811＋1n.

当n→∞时，i＝1nWi→18＋2432×2＋81＝342.

所以F对质点所作的功为342.

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16定积分与微积分基本定理

16定积分与微积分基本定理

新课标高三数学一轮复习 16 定积分与微积分基本定理

考纲解读

1． 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；

2． 了解微积分基本定理的含义。

考点分析

1． 在高考中，对于定积分与微积分基本定理的考察多数考察定积分的简单应用，例如曲线围成的面积的计算，力做的功；

2． 常以选择题、填空题形式考查，属容易题，综合性题目少，复习时不宜难度过大；

知识梳理

1． 定积分的实际背景与基本思想

用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的具体步骤为分割，近似代替，求和，取极限。

2．定积分的定义

如果函数fx在区间ab，上连续，用分点011inaxxxxb将区间ab，等分成n个小区间，在每个小区间1iixx，上任取一点i1,2,,in作和式11nniiiibafxfn其中x为区间的长度，当n时，和式11nniiiibafxfn的极限叫做函数fx在区间ab，的定积分，记作：bafxdx，即1limnbianifxdxfx

其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间ab，叫做积分区间，函数fx叫做被积函数，x叫做积分变量，fxdx叫做被积式。

3．定积分的运算性质

（1）bbaakfxdxkfxdx （2）bbbaaafxgxdxfxdxgxdx

（3）bcbaacfxdxfxdxfxdx 其中acb

4．微积分基本定理

如果fx是区间ab，上的连续函数，并且Fxfx，那么我们有bafxdxFbFa，或者写成babfxdxFxa

5．利用定积分求曲边梯形的面积

定积分求曲边梯形面积的步骤

定积分求曲边梯形面积的步骤

定积分求曲边梯形面积

1. 概述

曲边梯形是一种特殊的梯形，其上底和下底的长度不同，且两个底之间的边是一条曲线。要计算曲边梯形的面积，可以通过定积分来实现。本文将介绍使用定积分求解曲边梯形面积的步骤。

2. 基本原理

定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积。在本问题中，我们需要将曲边梯形划分为无穷多个无限小的矩形区域，并计算这些矩形区域的面积之和。通过取极限，我们可以得到曲边梯形的面积。

3. 求解步骤

步骤一：确定曲线方程

首先需要确定曲线方程，以便后续计算。假设曲线为y=f(x)，其中f(x)为定义在[a, b]上的函数。

步骤二：确定上下底边界

将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。根据题目给定条件或要求，确定上底和下底的边界。

步骤三：确定高度函数

高度函数h(x)定义为上底和下底之间的距离，即h(x) = f(x) - g(x)，其中g(x)为下底的方程。

步骤四：计算矩形面积

将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。计算每个小区间内的矩形面积，即ΔA = h(x) * Δx。

步骤五：求和

将所有矩形面积ΔA相加，得到曲边梯形的近似面积S：

S ≈ Σ(ΔA)

步骤六：取极限

当n趋向于无穷大时，Δx趋向于0，曲边梯形的近似面积逐渐接近真实面积。通过取极限得到定积分公式： S = ∫[a, b] h(x) dx

4. 实例演示

假设我们要计算曲边梯形的面积，其中上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x，且x的范围为[0, 1]。

步骤一：确定曲线方程

曲线方程为y = x^2。

步骤二：确定上下底边界

上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x。

步骤三：确定高度函数

高度函数h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x。

步骤四：计算矩形面积

将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。计算每个小区间内的矩形面积ΔA = h(x) * Δx。

用定积分求曲边梯形的面积的四个步骤

用定积分求曲边梯形的面积的四个步骤

用定积分求曲边梯形的面积的四个步骤

要用定积分求曲边梯形的面积，可以按照以下四个步骤进行：

步骤 1: 确定积分区间

首先，确定曲边梯形的横坐标的积分区间。该区间应该是曲线在横坐标上的起点和终点之间的范围。

步骤 2: 设定积分表达式

根据曲边梯形的形状，设定积分表达式。考虑曲线的方程和上下底边之间的距离。根据曲边梯形的特点，积分表达式应该包括纵向的高度差和横向的微小宽度差。

步骤 3: 进行积分计算

对于设定的积分表达式，进行积分计算。根据具体的函数表达式和积分区间，进行积分运算。可以使用相关的积分规则和技巧进行计算。

步骤 4: 计算结果

根据积分计算的结果，得到曲边梯形的面积。确保检查单位和精度，以适应具体问题的要求。

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理

一、定积分

1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．

（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程

3．定积分的定义和相关概念

（1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0

欢迎下载 2 ()dbafxx=1lim()ninibafn.

（2）在()dbafxx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．

4．定积分的性质

（1）ddbbaakfxxkfxx(k为常数)；

（2）[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx；

（3）()d=()d+()dbcbaacfxxfxxfxx(其中a

【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．

5．定积分的几何意义

（1）当函数f (x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分baf (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．

（2）一般情况下，定积分baf (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． —