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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第2课时预习导航学案

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教案、学案、试题、试卷、复习资料

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时）

预习导航

课程目标 学习脉络

本节内容是由两角差的余弦公式推导出来的，而这些公式是高考必考的基本公式．

1．能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系．

2．能用上述公式进行求值、化简等.

和角、差角公式如下表：

名称 公式 简记

差的正弦 sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α－β)

差的余弦 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β C(α－β)

差的正切 tan(α－β)＝tantan1tantan T(α－β)

和的正弦 sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β S(α＋β)

和的余弦 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β C(α＋β)

和的正切 tan(α＋β)＝tantan1tantan T(α＋β)

逻辑联系

思考1 在公式T(α－β)，T(α＋β)中，α，β的使用范围是什么？

提示：在公式T(α－β)中，α，β∈R，且α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z)；

在公式T(α＋β)中，α，β∈R，且α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)．

思考2 两角和与差的正弦公式与余弦公式从形式上看有什么区别？

提示：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．

正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．

思考3 两角和与差的公式满足分配律吗？ 教案、学案、试题、试卷、复习资料

提示：一般情况下，不满足分配律．

即一般情况下，sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β.

思考4 对于三角函数式sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β的化简，你是如何进行的？

提示：使用公式时不仅要会正用，还要能够活用、逆用公式．因此对于sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β的化简，如果利用sin(α＋β)，cos(α＋β)展开，再化简也可得结果为sin

α，但比较麻烦．若采用整体思想，则可按如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α.

思考5 如何化简asin α±bcos α(ab≠0)?

提示：逆用两角和与差的公式进行化简．

asin α±bcos α

＝222222sin?cosabababab，

∵222aab222bab＝1，

∴可设cos θ＝22aab，sin θ＝22bab，

则tan θ＝ba(θ为辅助角)．

∴asin α±bcos α＝22ab(sin αcos θ±cos αsin θ)＝22absin(α±θ)．

此化简可称为辅助角公式．如sin α＋3cos α

＝132sincos22

＝2sincoscossin33＝2sin3.

特别提醒 在应用两角和与差的公式时，要注意以下问题：(1)要观察清楚三角函数式中出现的函数名称及运算符号；(2)对于公式，不但要会正用，还要会逆用；(3)公式的变形应用，一般有两个方面，一个是公式本身的变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；另一个是角的变形，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，15°＝60°－45°等，这也是整体思想的体现．总之，要在平时的解题中多总结，多研究，多留心，这样才能在解题中知道如何选择公式，选择哪一个公式会更好．

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[k12]

最新K12 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）

课堂导学

三点剖析

1.两角和与差的正余弦公式的应用

【例1】 求值:(1)cos75°;(2)sin12;(3)sin(-127).

思路分析：想办法利用特殊角表示所求式中的角:(1)75°=45°+30°;(2)

12=4-6;(3)sin(-127)=-sin127,127=3+4.

解：（1）cos75°=cos(45°+30°)

=cos45°cos30°-sin45°sin30°

=22·23-22·21

=426；

（2）sin12=sin(3-4)

=sin3cos4-cos3sin4

=23·22-21·22

=426;

(3)sin(-127)=sin(3+4)

=-(sin3cos4+cos3sin4)

=-(23·22+21·22)

=-426.

温馨提示

解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.

2．两角和与差的正余弦公式的灵活运用

【例2】 已知2＜β＜α＜43,cos(α-β)= 1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值. [k12]

最新K12 解：由2＜β＜α＜43,得

α-β∈(0, 4),α+β∈(π, 23).

∴sin(α-β)=135)1312(1)(cos122.

cos(α+β)=54)53(1)sin(12.

故sin2α=sin［(α-β)+(α+β)］

=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

=135×(-54)+1312×(-53)=-6556.

温馨提示

(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解决时不必要的麻烦.

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、

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2017-2018学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式优化练习 新人教A版必修4

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2 / 72 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[课时作业]

［A组 基础巩固]

1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ）

A．－错误! B．－错误!

C。12 D.错误!

解析：原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°

＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝－cos（35°＋25°）＝－cos 60°＝－错误!.

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3

二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标：1. 能利用两角和与差的正、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式． ( 要点 )2.

能利用两角和与差的正切公式进行化简、 求值、证明． ( 难点 )3. 熟习两角和与差的正切公式

的常有变形，并能灵巧应用． (易错点 )

[自主预习·探新知]

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法 公式

S sin 2 α＝ 2sin_ αcos_ α

2α

C2α cos 2 α＝ cos 2α－ sin 2α

2tan α

T2α tan 2 α ＝ 1－ tan 2α 2．余弦的二倍角公式的变形

3．正弦的二倍角公式的变形

1 sin 2 α

(1)sin αcos α＝ 2sin 2 α， cos α＝ 2sin α.

(2)1 ±sin 2 α＝ (sin_ α±cos _α) 2.

[ 基础自测 ]

1．思虑辨析

(1) 二倍角的正弦、余弦、正切公式的合用范围是随意角． ()

(2) 存在角 α，使得 sin 2 α＝ 2sin α 建立． ()

(3) 关于随意的角 α ， cos 2 α＝ 2cos α 都不建立． ( )

[分析] (1) ×. 二倍角的正弦、余弦公式对随意角都是合用的，而二倍角的正切公式，

要求 π ＋ π( ∈Z) 且 π π( ∈ Z) ，故此说法错误． α ≠ α ≠± ＋

2 k k 4 k k

(2) √. 当

α ＝ π( ∈ Z) 时， sin 2

α＝ 2sin

α .

k k 1－ 3

(3) ×. 当 cos α＝时， cos 2 α ＝ 2cos α. 2

[答案] (1) × (2) √ (3) ×

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切

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1 / 6【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式同步优化训练 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.化简sin1225cos611-cos1211sin65的值是( )

A.22 B.22 C.-sin12 D.sin12

解析：原式=-sin12cos65+cos12sin65=sin(65-12)=sin43=22.

答案：B

2.（高考卷，理5）对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是( )

A.sin(α+β)＞sinα+sinβ B.sin(α+β)＞cosα+cosβ

C.cos(α+β)＜sinα+sinβ D.cos(α+β)＜cosα+cosβ

解析：当α=β=30°时,可排除A、B选项,当α=β=15°时,代入C选项中,即0＜cos30°＜2sin15°,

两边平方得43＜4sin215°=4×32230cos1≈0.268,矛盾.故选D.

答案：D

3.(高考陕西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_________________.

解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°

=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=21.

答案：21

4.计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_________________.

解析：∵tan60°=tan(20°+40°)=340tan20tan140tan20tan，

则tan20°+tan40°=3(1-tan20°tan40°)=3-3tan20°tan40°，