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数值计算方法考试试题参考答案

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研究生课程考试试题

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试

年 级： 2009 学时： 80 考试时间： 120

专 业： 学生姓名: 学号:

一、取cos20.9994，计算1cos2。计算结果有多少位有效数字？怎样改进计算？

解：1cos20.0006，计算结果至多有一位有效数字。利用恒等式21cos22cos1可提高计算精度。

二、证明方程3()250fxxx在区间(2,3)内有唯一根*x，用二分法计算*x的近公似值nx时，试确定迭代次数使*31||102nxx（不要求计算nx）。

解：1）(2)8451f，(3)276516f，由根的存在定理知，()0fx在区间(2,3)内至少有一个根。又当(2,3)x时，2()320fxx，()fx在区间(2,3)内内严格单调增加。故3()250fxxx在区间(2,3)内有唯一根*x。

2）用二分法计算*x的近公似值nx时，有*11||(32)22nnnxx。要*31||102nxx，只要3111022n。解之得3ln10110.97ln2n，取11n，得迭代11次，使*31||102nxx。

三、求矩阵

211339335A

的Crout分解和Doolittle分解。

解：1）Crout分解：设112122313233llllll121323111uuu=211339335，得

112l，1212u，1312u，213l，2292u，2353u，313l，3292l，334l。

得11122221195339312333591342。

2）Doolittle分解：

12112113915339122233534112。

四、设

210111012A

计算1||||A，2||||A以及()A。

解： 1||||max{3,3,3}3A，2||||max{3,3,3}3A，又A的特征值为3，2，0。故()3A。

五、用Jacobi迭法解方程组

123122342143246xxxxxxx，

是否收敛，若不收敛，则能否改写此方程组使得Jacobi迭代法收敛？

解：Jacobi迭法的迭代矩阵为

0424001002B，

特征方程为：3()1640f，因(4)4f，(5)41f，得()f在区间(4,5)有一根。由此得，特征根的最大模一定大于1，即()1B。故Jacobi迭法发散。

将方程组改为121232343421246xxxxxxx，则系数矩阵是严格对角占优的，Jacobi迭代法收敛。

六、已知函数()fx在若干点的函数值：

x 0 0.3 0.6

0.9

()fx 1.000006 0.9850674 0.9410708

0.8703632

试用线性插值求(0.15)f和(0.45)f的近似值。

解：由于0.15介于0与0.3之间，取0与0.3为节点进行线性插值。

0.150.30.150(0.15)1.0000060.98506740.992546700.30.30f

由于0.45介于0.3与0.6之间，取0.3与0.6为节点进行线性插值。

0.450.60.450.3(0.45)0.98506740.94107080.96306910.30.60.60.3f

七、已知以下数据：

ix 1 2 3 4 5

iy 0 2 2 5 4

试用一次多项式按最小二乘原理拟合以上数据。

解：矛盾方程为

022324554ababababab

法方程为

51513155550abab

解法方程得：0.7a，1.1b。得拟合函数为0.71.1yx。

八、已知函数()fx在若干点处的值：

ix -1 -0.5 0 0.5 1

()ifx 0 2.125 3 2.125 0

试计算积分11()fxdx的梯形值1T，2T，4T以及Simpson值1S，2S。

解：11(1)(00)02T，1223322TT，241(2.1252.125)3.62522TT。

12141433STT，242413.833333STT。

九、试设计求积公式

11211()[(1)2()3()]3fxdxffxfx

使其代数精度尽可能地高，并指明求积公式所具有的代数精度。

解：设公式对函数2(),fxxx是精确的，得

12221212301232xxxx

解之得：1165x，232615x。

求积公式为：11116326()[(1)2()3()]3515fxdxfff。

又代入3()fxx，左0，右0。故公式具有2阶代数精度。

十、证明，用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题

1,01(0)1yyxxy，

对任意的h值得到的近似解都是相同的。

证明：改进的Euler公式为：112121,1()2(,)()nnnnnnhyyKKKfxyKfxyhK，初值问题的改进的Euler公式为22122222nnnhhhhyyxh。

变形的Euler公式为：12121(,)(,)22nnnnnnyyhKKfxyhhKfxyK，初值问题的变形的Euler公式为

22122222nnnhhhhyyxh

故用改进的Euler公式和变形的Euler公式解初值问题

1,01(0)1yyxxy，

对任意的h值得到的近似解都是相同的。

十一、求隐式Euler公式111(,)nnnnyyhfxy的绝对稳定区间。

解：选取试验方程：

00()yyyxy

，由111(,)nnnnyyhfxy推出

11nnnh

111nnh

01(1)nnh

为使n不超过0，应有

11(1)nh

得绝对稳定区间为(,0)。

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数值计算方法A卷标准答案

数值计算方法A卷标准答案

1 一. 填空题（每空2分，共34分）

1. 设 *2.40315x 是真值 2.40194x的近似值，则 *x有 3 位有效数字。

2.求方程coxx根的牛顿迭代格式是1cos_____________1sinkkkkkxxxxx。

3． 迭代法12213kkkxxx收敛于*3__3________x，此迭代格式是__2__阶收敛的。

5. 形如

0()()nbkkakfxdxAfx 的插值型求积公式, 其代数精度至少可

达_________n次，至多可达___21______n次。

6. 向量 (3,2)TX，, 矩阵 7231A，则

1AX___36____，Cond)___90_____A。

7．对矩阵A作如下的LU分解：

6001032211012001542774322baA，则 ___2____a，___3____b

8. 设 100aAb，要使lim0kkA，a与b应满足 ___1,1____ab。

10. 设(0,1,2,3,4,5)ixi为互异节点，()ilx为对应的5次Lagrange插值基函数，则5540((ln2)1)()iiiixxlx=54__(ln2)1_________xx

二. (12分)

设函数)(xf在区间[0,2]上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(xH，并写出其余项()()()RxfxHx 的表达式

x 0 1 2 2 ()fx 1 2 9

'()fx 4

解： 2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)Nxffxfxx

213(1)321xxxxx （5分）

数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）

数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）

数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）

数值分析

（p11页）4 试证：对任给初值x 0,

0)a >的⽜顿迭代公式

112(),0,1

,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：

2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=

-=≥=

证明： （1

）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??

（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+

-= +=+212121

6 证明：

若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218， ⽽()k k k k k x x x x x 28882182

1-=-???? ??+=-+ n

n k k x x 21221102

15.22104185

.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法.

①根据本章中所给出的定理：

（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.0102

21111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：

00025.0102

21333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解

对于7.21=x ，0183.01<-e x

∴其相对误差限为00678.07

.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有

数值计算期末试题及答案

数值计算期末试题及答案

数值计算期末试题及答案

1. 题目：求方程 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 在区间 [0, 2] 上的根。

解答：

为了求解方程 f(x) = 0 在给定区间上的根，可以使用二分法或者牛顿法等数值方法。这里我将采用二分法进行求解。

首先，观察方程在区间 [0, 2] 上的图像，可以发现 f(0) = -1，f(2) =

1，即方程在区间 [0, 2] 上存在根。接下来，我们可以通过二分法逼近此根的位置。

二分法的基本思路是不断将给定区间一分为二，并判断根的位置在前半部分还是后半部分，然后继续在包含根的那一半区间内进行二分，直到达到所需的精确度为止。

具体的二分法迭代过程如下：

1. 初始化区间左边界 a = 0，右边界 b = 2，以及精确度 eps。

2. 当 (b - a) > eps 时，执行以下步骤：

a. 计算区间中点 c = (a + b) / 2。

b. 如果 f(c) 等于 0 或者在所需的精确度 eps 内，返回 c。

c. 否则，根据 f(c) 和 f(a) 的符号判断根的位置：

- 如果 f(c) 和 f(a) 的符号相同，说明根在区间 [c, b] 中，更新 a =

c。 - 否则，根在区间 [a, c] 中，更新 b = c。

3. 返回最终得到的近似根 c。

根据上述算法，我们可以得到方程 f(x) = 0 在区间 [0, 2] 上的近似根为 c ≈ 1.521。

2. 题目：使用梯形法则计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。

解答：

定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现。其中，梯形法则是一种常用的数值积分方法。

梯形法则的基本思路是将定积分区间划分成多个小梯形，然后计算各个小梯形的面积之和作为近似解。具体的步骤如下：

1. 初始化定积分区间的左边界 a = 0，右边界 b = π，以及划分的小梯形数量 n。

《数值计算方法》试题集及答案(1-6)#优选.

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1 / 16word. 《计算方法》期中复习试题

一、填空题：

1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_________)(dxxf,用三点式求得)1(f 。

答案：2.367，0.25

2、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1， )2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL

3、近似值*0.231x关于真值229.0x有( 2 )位有效数字；

4、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是( )；

答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx

5、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f( 1 ),]4,3,2,1,0[f( 0 )；

6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( 12nab )；

8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )；

11、 两点式高斯型求积公式10d)(xxf≈(10)]3213()3213([21d)(ffxxf )，代数精度为( 5 )；

12、 为了使计算 32)1(6)1(41310xxxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10xtttty ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为 199920012 。 word.