5．2.3简单复合函数的导数考点学习目标核心素养复合函数的导数能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数数学抽象、数学运算复合函数的导数的应用会用复合函数的导数求解相关问题数学运算问题导学预习教材P78倒数第一行～P80的内容，并思考下列问题：1．复合函数的定义是什么？2．如何求复合函数的导数？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．■名师点拨在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)和y ＝sin(x ＋2)都是复合函数．( ) (2)函数y ＝ln(3x ＋1)是函数y ＝ln u ，u ＝3x ＋1的复合函数．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1答案：A3．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( ) A ．n sin n －1x B ．n cos n －1xC.cos n x D ．n sin n －1x ·cos x解析：选D.由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，所以y ′x ＝y ′t ·t ′x ＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .4.已知f (x )＝ln(2x ＋5)，则f ′(1)＝____________． 解析：因为f ′(x )＝12x ＋5(2x ＋5)′＝22x ＋5， 所以f ′(1)＝22×1＋5＝27.答案：27探究点1 简单复合函数求导求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x . 【解】 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y′x＝y′u·u′x＝e u·(－sin x)＝－e cos x＋1·sin x.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u ln 2＝2（2x＋1）ln 2.(3)设y＝2sin u，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos(3x－π6)．(4)设y＝u－12，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝(u－12)′·(1－2x)′＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.(1)求复合函数导数的步骤(2)求复合函数导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(e x＋x2)；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10.(2)令u＝e x＋x2，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x ＝1 u·(e x＋x2)′＝1e x＋x2·(e x＋2x)＝e x＋2xe x＋x2.(3)因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos 4x)＝34＋14cos 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x′＝－sin 4x.探究点2复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数．(1)y＝ln 3xe x；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)．【解】(1)因为(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x，所以y′＝（ln 3x）′e x－（ln 3x）（e x）′（e x）2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝（1＋2x2）1＋x21＋x2.(3)因为y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12x sin 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x′＝－12sin 4x－x2cos 4x·4＝－12sin 4x－2x cos 4x.(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解：(1)因为y ＝1－cos 23x2，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－cos23x 2′＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3 )′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3. (3)y ′＝0－（1－x ）′1－x＝－12（1－x ）－12（1－x ）′1－x＝12（1－x ）1－x.(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 探究点3 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R)，曲线y＝f(x)与直线y＝3 2x在(0，0)点相切，求a，b的值．【解】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目的隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．曲线y＝e sin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解：设u＝sin x，则y′＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos x·e sin x，即y′|x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.因为直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2D ．24(2 016－8x )2解析：选C.y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2.2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选 B.y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 3．函数y ＝1（3x －1）2的导数是( )A.6（3x －1）3B.6（3x －1）2C ．－6（3x －1）3D ．－6（3x －1）2解析：选C.y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（3x －1）2′＝－2（3x －1）3·(3x －1)′＝－6（3x －1）3，故选C. 4．己知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝__________ . 解析：因为f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，所以f ′(1)＝32. 答案：325．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝__________．解析：由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.答案：2[A 基础达标]1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选BCD.A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选BCD.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xC ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2D ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x解析：选C.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，所以y ′x＝y ′u ·u ′x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5解析：选 B.y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln （x 0＋a ），解得x 0＝－1，a ＝2.5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23 D ．1解析：选A.y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，解得x ＝y ＝23，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以围成的三角形的面积为12×23×1＝13.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是__________． 解析：因为y ＝sin 2x cos 3x ， 所以y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线的斜率为__________．解析：y ′x ＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2.答案：28．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________．解析：令u ＝2x ＋a ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，所以a ＝1.答案：19．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ，b 是常数)的导数．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x 3，又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ，所以y ＝a sin x3＋b cos 2 2x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .10．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )， 得y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.因为直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 能力提升]11．己知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：选D.y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x （e x ）2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x＋1e x ≥2，所以e x ＋1e x ＋2≥4， 所以y ′∈[－1，0)，即tan α∈[－1，0)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．在等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝__________．解析：因为f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，所以f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.答案：4 09613．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝014．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程；(2)求S (t )的解析式．解：(1)因为y ＝e －x ，所以y ′x ＝(e －x )′＝－e －x ，当x ＝t 时，y ′x ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0.(2)令y ＝0，得x ＝t ＋1.令x ＝0，得y ＝e －t (t ＋1)．所以S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．[C 拓展探究]15．设曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．解：作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1，0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1，0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.最短距离d＝。
